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Müssen Sie sich schnell in die Wirtschaftsmathematik einarbeiten? Dieses handliche Buch bietet Ihnen einen Kompaktkurs in die wichtigsten mathematischen Grundlagen, die Sie kennen müssen, wenn Sie im wirtschaftlichen Umfeld unterwegs sind: Algebra und Analysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Finanzmathematik. Anhand von Beispielen aus der Wirtschaftspraxis werden mathematische Zusammenhänge erklärt und veranschaulicht, sodass Sie sich schnell schlau machen können.
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Seitenzahl: 307
Wirtschaftsmathe kompakt für Dummies
, aber ist undefiniert.
Ausklammern:
1. binomische Formel:
2. binomische Formel:
3. binomische Formel:
abc-Formel:
Wenn ist, dann gilt: .
pq-Formel:
Wenn ist, dann gilt: .
Äquivalenzen:
Logarithmus von 1:
Logarithmus vonazur Basisa:
Natürlicher Logarithmus:
Logarithmus eines Produkts:
Logarithmus eines Quotienten:
Logarithmus einer Potenz:
Logarithmus eines Kehrwerts:
Die Summenregel:
Die Produktregel:
Die Quotientenregel:
Die Kettenregel:
X lässt sich nicht ausklammern
Wirtschaftsmathematik kompakt für Dummies
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
1. Auflage 2018
© 2018 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and/or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.
Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Gestaltungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern.
Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.
Der Verlag dankt Hugendubel Frankfurt für die Idee zu diesem Band.
Coverfoto: © Makysm Yemelyanov /Adobestock.deKorrektur: Johanna Rupp, Walldorf, Petra Heubach-Erdmann, Düsseldorf
Print ISBN: 978-3-527-71541-1ePub ISBN: 978-3-527-81809-9
Prof. Dr. Christoph Mayer studierte Betriebswirtschaftslehre an der Universität Mannheim und promovierte am dortigen Lehrstuhl für ABWL, Risikotheorie, Portfoliomanagement und Versicherungswirtschaft. Im Anschluss war er im Konzernrisikomanagement der EnBW Energie Baden-Württemberg AG tätig. Unter anderem führte er dort als Projektleiter die wahrscheinlichkeitsbasierte Modellierung relevanter Finanzkennzahlen ein. Im Jahr 2013 nahm er einen Ruf der Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden auf die Professur für Betriebswirtschaftslehre / Investition und Finanzierung an. Seit 2017 ist er zudem Mitglied des Vorstandes der Risk Management Association e.V.
Dr. Sören Jensen, CFA, studierte ebenfalls Betriebswirtschaftslehre an der Universität Mannheim und promovierte am dortigen Lehrstuhl für ABWL, Risikotheorie, Portfoliomanagement und Versicherungswirtschaft. Er arbeitet nun im strategischen Kapitalanlagemanagement bei einer großen Versicherung. Nebenbei führt er Seminare in der Privatwirtschaft zu den Themen Risikomanagement sowie Investment Management durch und hält eine Vorlesung zur Einführung in die Betriebswirtschaftslehre an der VWA München.
Marina Friedrich studierte Betriebswirtschaftslehre an der Universität Mannheim und der HEC Paris. Schon während ihres Studiums sammelte sie Lehrerfahrung in den Fächern Finanzmathematik, Quantitative Methoden und Management. Sie promoviert am Center for Doctoral Studies in Business an der Universität Mannheim im Bereich Management. Außerdem forscht und lehrt sie als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Lehrstuhl für ABWL, Public & Nonprofit Management.
Olivia Gwinner absolvierte an der Universität Mannheim und der University of the Sunshine Coast in Australien ihr Studium der Betriebswirtschaftslehre mit den Schwerpunkten Marketing und Management. Während ihres Studiums sammelte sie langjährige Lehrerfahrung als Tutorin für Finanzmathematik, Quantitative Methoden und Marketing. Mittlerweile promoviert sie am Lehrstuhl für Business-to-Business Marketing, Sales & Pricing der Universität Mannheim.
Cover
Titelseite
Impressum
Über die Autoren
Einführung
Über dieses Buch
Konventionen in diesem Buch
Törichte Annahmen über den Leser
Wie dieses Buch aufgebaut ist
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden
Wie es weitergeht
Teil I: Einfache Algebra
Kapitel 1: Das kleine Einmaleins der Wirtschaftsmathematik: Einfache Algebra
Mit Vorzeichen rechnen
Wichtige Rechengesetze und deren Anwendung
Mit Brüchen rechnen
Prozent und Promille
Potenzrechnung
Back to the roots: Mit Wurzeln rechnen
Lassen Sie sich von Logarithmen nicht aus dem Rhythmus bringen
Mehrere Terme ausmultiplizieren
Kapitel 2: Gleichungen lösen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Bruchgleichungen?! Immer schön rational bleiben
Wurzelgleichungen lösen
Exponentialgleichungen lösen
Teil II: Analysis
Kapitel 3: Folgen und Reihen
Grundlagen der Folgen
Arithmetische und geometrische Folgen
Immer der Reihe nach …
Kapitel 4: Die Funktion der Funktionen
Die Grundlagen der Funktionen
Geraden
Polynome
Rationale Funktionen
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funktionen
Beschränktes Wachstum
Kapitel 5: Eigenschaften von Funktionen
Schnittpunkte mit den Achsen
Grenzwerte
Stetige Funktionen
Kapitel 6: Testen Sie Ihr Fahrverhalten: Kurvendiskussion
Ableitungen bestimmen
Die Höhen und Tiefen des Lebens: Extrema finden
Aufgabenstellung aus der Wirtschaft
Kapitel 7: Mehrdimensionale Funktionen
Lassen Sie sich kein x für ein u vormachen – partielle Ableitungen bilden
Für alle, die höher hinauswollen – Ableitungen höherer Ordnung
Minima und Maxima bestimmen
Kapitel 8: Und jetzt andersherum – Integralrechnung
Stammfunktionen – die Rückwärts-Differentiation
Flächen unter Funktionskurven bestimmen
Teil III: Matrizen und Gleichungssysteme
Kapitel 9: Mehr Mathe mit mächtigen Matrizen
Verschiedene Matrizentypen
Addieren und Subtrahieren
Multiplizieren mit einem Skalar
Multiplizieren von Matrizen
Innerbetriebliche Materialverflechtung
Kapitel 10: Lineare Gleichungssysteme lösen
Zuerst auf die grafische Art und Weise
Dann durch Addition
Oder doch lieber durch Einsetzen?
Mehr als nur zwei Gleichungen
Betriebswirtschaftliche Anwendungen
Kapitel 11: Noch mehr Möglichkeiten mit Matrizen
Determinanten von Matrizen
Dichter schreiben in Versen – Sie ermitteln Inversen
Das Leontief-Modell
Teil IV: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kapitel 12: Warm-up für die Wahrscheinlichkeitsrechnung – Die wichtigsten Grundlagen
Mengennotationen verstehen und formulieren
Die verschiedenen Arten der Wahrscheinlichkeit und Regeln zur Berechnung
Unabhängige Ereignisse
Ausschließlichkeit von Ereignissen
Kapitel 13: Wahrscheinlichkeitsdiagramme – Ein Bild sagt mehr als tausend Worte
Venn-Diagramme interpretieren und zeichnen
Baum-Diagramme interpretieren und zeichnen
Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
Das Bayes-Theorem
Kapitel 14: Der richtige Umgang mit diskreten Verteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Ermittlung und Anwendung kumulativer Verteilungsfunktionen
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung diskreter Zufallsvariablen bestimmen
Kapitel 15: Die Normalverteilung verstehen und anwenden
Der Umgang mit Normalverteilungen
Rückwärtsrechnung
Kapitel 16: Besondere diskrete und stetige Verteilungen
Diskrete Verteilungen
Stetige Verteilungen
Kapitel 17: Das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz
Der zentrale Grenzwertsatz
Das Gesetz der großen Zahlen
Teil V: Finanzmathematik
Kapitel 18: Von Zinsen und Zinseszinsen
Lineare Verzinsung
Exponentielle Verzinsung
Unterjährige Verzinsung
Stetige Verzinsung
Effektiver Zinssatz
Kapitel 19: Eines ist sicher: Die Rentenrechnung
Jährliche gleich hohe Zahlungen
Unterjährige Rente
Kapitalverzehr
Wachsende oder fallende Renten
Ewige Renten
Kapitel 20: Tilgen, tilgen, tilgen!
Grundlegendes von Annuitäten bis Zinszahlung
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Laufzeit des Darlehens
Kapitel 21: Das Anleihen-Einmaleins
Mit Anleihen Geld an andere leihen
Immer schön fair bleiben – gerade beim Kurs einer Anleihe
Renditen ermitteln
Kapitel 22: To invest or not to invest – das ist hier die Frage
Zahlungsströme aufstellen und verstehen
Die Kapitalwertmethode verstehen und anwenden
Interne Zinssätze berechnen
Amortisationsdauern bestimmen
Teil VI: Der Top-Ten-Teil
Kapitel 23: Zehn Excel-Funktionen, die Ihnen das Leben leichter machen
Pivot-Tabelle
Daten filtern
Weiße Hintergrundfarbe
Bedingte Formatierung
Umbruchvorschau
Der S-Verweis
Absoluter Verweis
Doppelklick zum Kopieren von Formeln
Spur zum Nachfolger
Makro aufzeichnen
Kapitel 24: Zehn Orte zum mehr oder weniger effektiven Mathelernen
In den eigenen vier Wänden
Im Café
Im Garten
In der Bibliothek
Am Strand
Am Küchentisch
Im Keller
In der U-Bahn
Am Schreibtisch
Im Baumhaus
Tabelle für die Normalverteilung
Stichwortverzeichnis
End User License Agreement
Kapitel 8
Tabelle 8.1: Formeln zur Bestimmung von Stammfunktionen
Kapitel 10
Tabelle 10.1: Text in Tabellen – so ist es übersichtlicher.
Tabelle 10.2: Anfallende Primärkosten je Kostenstelle
Kapitel 14
Tabelle 14.1: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X
Tabelle 14.2: Kumulative Verteilungsfunktion von X
Tabelle 14.3: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Zufallsvariablen Z
Tabelle 14.4: Kumulative Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Z
Tabelle 14.5: Intervalle und ihre Komplemente
Tabelle 14.6: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zur Zufallsvariablen Z
Tabelle 14.7: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zur Zufallsvariablen Z
Kapitel 17
Tabelle 17.1: Vorhergesagte und tatsächliche Häufigkeiten
Kapitel 18
Tabelle 18.1: Kontostaffel bei linearer Verzinsung
Tabelle 18.2: Kontostaffel bei exponentieller Verzinsung
Tabelle 18.3: Kontostaffel bei unterjähriger Verzinsung und halbjährlicher Zinsgutschrift
Tabelle 18.4: Effektivzinssätze für die verschiedenen Zinsmodelle bei
K
0
= 100,
n
= 3 und
i
= 6 %
Kapitel 20
Tabelle 20.1: Tilgungsplan bei Ratentilgung
Tabelle 20.2: Tilgungsplan bei Annuitätentilgung
Kapitel 22
Tabelle 22.1: Zahlungsstrom der Erdbeereisproduktion
Tabelle 22.2: Zahlungsstrom der Textmarkerproduktion in Tabellenansicht
Tabelle 22.3: Zahlungsstrom beim zweimaligen Kuchenbacken
Tabelle 22.4: Zahlungsstrom der neuen Druckmaschine
Kapitel 4
Abbildung 4.1: Kosten in Abhängigkeit der telefonierten Minuten
Abbildung 4.2: Täglich verkaufte Eismenge im Jahresverlauf
Kapitel 5
Abbildung 5.1: Der Graph der Funktion
Kapitel 8
Abbildung 8.1: Graph von
Abbildung 8.2: Graph von
Abbildung 8.3: Graph von
Abbildung 8.4: Entrepreneurheims neues Gewerbegebiet
Kapitel 9
Abbildung 9.1: Die Verflechtung von Rohstoffen zu Endprodukten als Pfeildiagramm
Kapitel 10
Abbildung 10.1: Der Punkt, in dem sich die Geraden treffen, ist die Lösung des Gleichungssystems
Abbildung 10.2: Grafische Lösung eines Gleichungssystems mit drei Gleichungen
Abbildung 10.3: Die Leistungsverflechtungen als Pfeildiagramm
Kapitel 13
Abbildung 13.1: Beispiel für ein Venn-Diagramm mit Schnittmenge
Abbildung 13.2: Schritt 1 des Venn-Diagramms I
Abbildung 13.3: Schritt 2 des Venn-Diagramms I
Abbildung 13.4: Schritt 3 des Venn-Diagramms I
Abbildung 13.5: Schritt 4 des Venn-Diagramms I
Abbildung 13.6: Venn-Diagramm II
Abbildung 13.7: Markierungen im Venn-Diagramm II
Abbildung 13.8: Baumdiagramm für einen zweistufigen Prozess (Münzwurf)
Abbildung 13.9: Baumdiagramm bei zweimaligem Ziehen aus der Urne
Abbildung 13.10: Zweistufiges Baumdiagramm
Abbildung 13.11: Baumdiagramm zum Wertverlauf Ihrer Dummies AG Aktie
Abbildung 13.12: Baumdiagramm zu den Klausurnoten
Kapitel 14
Abbildung 14.1: Histogramm der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von X
Abbildung 14.2: Form einer kumulativen Verteilungsfunktion
Abbildung 14.3: Kumulative Verteilungsfunktion zu Z
Kapitel 15
Abbildung 15.1: Schaubild einer Normalverteilung
Abbildung 15.2: Normalverteilung mit
und
Abbildung 15.3: Form der Funktion der Lebensdauer Ihres Nasenhaarschneiders
Kapitel 21
Abbildung 21.1: Grafische Veranschaulichung des Zahlungsstroms einer Anleihe
Abbildung 21.2: Eine vierjährige Anleihe
Abbildung 21.3: Fairer Wert einer Anleihe mit einem Nominalzinssatz von 6 % p.a. sowie einem Rückzahlungskurs und Nennwert von 100 Euro
Abbildung 21.4: Zahlungsstrom einer am Markt notierten Anleihe
Kapitel 22
Abbildung 22.1: Grafische Veranschaulichung des Zahlungsstroms der Erdbeereisproduktion
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Inhaltsverzeichnis
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Stellen Sie sich vor, Sie gehen in eine Wirtschaft. Sie bestellen ein kühles, erfrischendes Getränk und eine deftige Mahlzeit zur Stärkung. Im Laufe des Abends trinken Sie vielleicht noch das ein oder andere leckere Getränk Ihrer Wahl. Bevor Sie sich dann zu später Stunde auf den Heimweg machen, müssen Sie natürlich noch Ihre Rechnung begleichen. Da Sie dem etwas zwielichtigen Wirt – warum haben Sie sich eigentlich ausgerechnet so eine Spelunke ausgesucht? – nicht über den Weg trauen, rechnen Sie vorab lieber mal aus, wie viel Sie ihm eigentlich schulden und wie viel Rückgeld Sie erwarten dürfen. Und was brauchen Sie, um diese Berechnungen durchzuführen? Wirtschaftsmathematik!
Wirtschaftsmathematische Fragestellungen begegnen Ihnen natürlich nicht nur in der Kneipe, sondern an ganz vielen Stellen im Berufsleben und auch im Alltag. Wenn Sie auf der Suche sind nach einer übersichtlichen und leicht verständlichen Einführung in die Wirtschaftsmathematik oder einer Auffrischung des Themas, halten Sie genau das richtige Buch in den Händen. Dieses Buch bietet Ihnen die theoretischen Grundlagen und zahlreiche praktische Beispiele aus den verschiedenen Bereichen der Wirtschaftsmathematik.
Wirtschaftsmathematik kompakt für Dummies richtet sich einerseits an Studierende der Wirtschaftswissenschaften, aber auch anderer Studiengänge. Und natürlich an all diejenigen, die sich kompakt in das Thema einarbeiten möchten.
Wenn Sie gerade mit dem Studium der Wirtschaftswissenschaften begonnen haben und Ihnen die mathematischen Vorlesungen zu theoretisch sind, sollten Sie dieses Buch durcharbeiten. Es wiederholt die wichtigsten Inhalte der Wirtschaftsmathematik und bietet anhand von anschaulichen Beispielen unzählige Möglichkeiten zur Anwendung Ihres theoretischen Wissens.
Auch wenn Sie einen nicht wirtschaftswissenschaftlichen Studiengang absolvieren, benötigen Sie oftmals eine betriebswirtschaftliche Grundbildung. Mit diesem Buch finden Sie die richtige Herangehensweise an Fragestellungen und lösen diese zielgerichtet.
Auch wenn Ihre Schulzeit schon ein paar Tage zurückliegt, können Sie mit diesem Buch rechnen. Wirtschaftsmathematik begegnet Ihnen schließlich nicht nur in der Schule oder im Studium, sondern lauert hinter jeder Ecke, sowohl im Alltag als auch im Berufsleben. Da kann eine Auffrischung sicherlich nicht schaden.
Bei diesem Kompaktbuch handelt es sich um ein benutzerfreundliches Mathematikbuch. Wo immer es möglich ist, wurde auf Fachchinesisch verzichtet. Praktische Beispiele veranschaulichen die Theorie, sodass Sie ohne Zusatzmaterialien gleich voll durchstarten können. Bis Sie ein wahrer Meister der Wirtschaftsmathematik sind!
Die folgenden Konventionen sollen Ihnen helfen, sich in diesem Buch schnell zurechtzufinden.
Wichtige Begriffe werden bei ihrem ersten Auftreten in diesem Buch
kursiv
gekennzeichnet und erklärt.
Die Kapitel bieten eine kurze, übersichtliche Darstellung der theoretischen Grundlagen.
Praxisbeispiele verdeutlichen die Anwendung der Theorie
Zwischendurch finden Sie hilfreiche Tipps, mit denen Sie in Zukunft alle Fragestellungen problemlos beantworten können.
Als Leser dieses Buches sollten Sie …
… schon einmal etwas vom Begriff Mathematik gehört haben.
… Arbeitsmaterialien wie Taschenrechner, Stift und Papier bereithalten, um sich selbst zu testen, ob Sie die Beispiele eigenständig lösen könnten.
… bereit sein, ein wenig Zeit und Mühe aufzubringen. Obwohl wir natürlich versucht haben, den Stoff so intuitiv und simpel wie möglich darzustellen, gilt auch hier: Ohne Fleiß kein Preis. Ganz ohne etwas Zeit und Mühe in die Lösung der Aufgaben zu stecken, werden Sie in Sachen Wirtschaftsmathematik nicht viel weiterkommen.
Dieses Buch besteht aus den fünf Teilen Algebra, Analysis, lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Finanzmathematik. Diese Teile sind wiederum in mehrere Kapitel gegliedert, in denen Beispiele mit Lösungen vorgestellt werden.
Die wichtigsten Grundlagen finden Sie in Teil I – von der einfachen Algebra bis hin zum Lösen von Gleichungen. Die Beispiele in diesem Teil eignen sich wunderbar zum Warmwerden. Wenn danach das grundlegende Handwerkszeug wieder sitzt, kann in den folgenden Teilen nichts mehr schiefgehen!
Teil II richtet sich an den Analytiker in Ihnen – Sie werden sich hier ausschließlich mit Analysis befassen. Nachdem Sie Folgen und Reihen wiederholt haben, können Sie sich voll und ganz den Funktionen widmen. Denn diese sind nicht nur in der (Hoch)Schule wichtig, sondern auch für viele wirtschaftliche Fragestellungen äußerst hilfreich. Anhand verschiedenster Aufgaben lernen Sie zunächst alle wichtigen Eigenschaften von Funktionen kennen. Dann sind Sie fit für Kurvendiskussionen: Schnittpunkte berechnen, Extrema bestimmen und Funktionen zeichnen wird nach diesem Teil ein Leichtes für Sie sein. Zum Abschluss werden Sie sich sogar mit mehrdimensionalen Funktionen beschäftigen und durch die Integralrechnung auch verstehen, wieso es der e-Funktion auf Partys schwerfällt sich zu integrieren.
Wenn Sie systematische Lösungen mögen, sind Sie in diesem Teil genau richtig. Denn hier dürfen Sie mit Matrizen rechnen. Komplizierte Gleichungssysteme werden mit der Matrixrechnung gleich viel überschaubarer. Mit ihr bringen Sie Ordnung in Ihre Zahlenwelt. Dies ist auch für viele ökonomische Probleme äußert hilfreich: Sie wollen beispielsweise wissen, wie viele Rohstoffe Sie für die Produktion Ihres Endprodukts benötigen? Oder welche Preise Sie setzen sollten? All diese Fragen zu beantworten, wird nach Teil III ein Kinderspiel für Sie sein.
Sie möchten wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Sie nach Teil III bereits aufgegeben haben. Dazu sollten Sie unbedingt mit Teil IV weitermachen, denn hier üben Sie alle wichtigen Aspekte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie wiederholen zunächst grundlegende Notationen, um dann Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen berechnen zu können. Außerdem lernen Sie verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen kennen, mit deren Hilfe Sie Entscheidungen treffen können. Die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Fehlentscheidung wäre, nach Teil III aufzugeben? Wohl sehr hoch!
Welches Thema darf in einem Wirtschaftsmathematikbuch nicht fehlen? Das liebe Geld natürlich. Teil V widmet sich diesem voll und ganz. Sie möchten die Höhe Ihrer Rente berechnen? Oder endlich wissen, wie genau die Zinsen auf Ihrem Konto eigentlich zustande kommen? Oder auch wenn Sie groß denken und gerne wissen möchten, ob Ihre geplante Millioneninvestition vorteilhaft ist, sind Sie in diesem Teil gut aufgehoben.
Zum Abschluss, wie in jedem …für Dummies-Buch: die Top-Ten-Listen. Diesmal mit zehn hilfreichen Excel-Funktionen und zehn Orten, die sich besonders gut zum Mathelernen eignen.
Im Buch werden Sie öfter über einige Symbole stolpern. Diese sollen Sie auf Besonderheiten und wichtige Informationen aufmerksam machen.
Neben diesem Symbol finden Sie Definitionen oder andere Informationen, die Sie sich merken sollten.
Die Glühbirne weist Sie auf wichtige Tipps und Tricks hin, die Ihnen das Leben leichter machen und Sie schneller zur Lösung der Aufgaben führen.
Achtung! Dieses Symbol soll Sie auf häufig gemachte Fehler hinweisen, die Sie unbedingt vermeiden sollten.
Zuerst einmal sollten Sie Ihr Getränk austrinken, die Rechnung begleichen, sich dabei nicht vom zwielichtigen Wirt übers Ohr hauen lassen und dann nach Hause gehen – oder an einen anderen tollen Ort zum Mathelernen. Anregungen dafür finden Sie übrigens im letzten Kapitel dieses Buchs. Und dann geht's endlich los mit den Grundlagen in Kapitel 1. Falls Sie keine Auffrischung Ihres Grundwissens benötigen, können Sie aber auch an einer anderen Stelle einsteigen. Wenn Sie dann in ein paar Wochen nach dem Durcharbeiten aller Seiten wieder in der Wirtschaft sitzen und ein zwangloses Gespräch beginnen möchten, haben Sie ein Thema mehr zum Einstieg:
Das Wetter
Der Tatort vom letzten Sonntag
Staudensellerie
Politik
Fußball
Die Gesellschaft im Allgemeinen
Hydrokulturen im Speziellen
Wirtschaftsmathematik
Teil I
IN DIESEM TEIL …
Mit der Mathematik ist es wie mit dem Kochen: Wie wollen Sie ein kompliziertes Drei-Gänge-Menü kochen, wenn Sie nicht wissen, wie man ein Ei aufschlägt oder das Messer richtig hält? Genau: gar nicht! Und wie wollen Sie Tilgungsraten bestimmen, mit Matrizen hantieren oder Ihre Gewinnchancen beim Lotto ausrechnen (übrigens eine sehr ernüchternde Rechnung), wenn Sie die Grundlagen der Mathematik nicht kennen? Wieder richtig geraten: gar nicht! Aber Sie haben Glück – genau diese notwendigen Grundlagen finden Sie in Teil I dieses Buches. Los geht es mit einfacher Algebra, bevor Sie sich dem Lösen von Gleichungen widmen. Hier können Sie Ihr Basiswissen auffrischen, wenn Sie schon länger nichts mehr mit Mathematik am Hut hatten und schon seit einigen Jahren aus der Schulbank herausgewachsen sind. Nach der Lektüre dieses ersten Teils sollte das Jonglieren mit Brüchen, Potenzen und Wurzeln ein Kinderspiel für Sie sein. Worauf warten Sie noch?! Satteln Sie die Pferde, schärfen Sie die Messer, spitzen Sie die Bleistifte und werden Sie Wirtschaftsmathematik-Profi!
Kapitel 1
IN DIESEM KAPITEL
Mit Vorzeichen und Klammern rechnen
Wichtige Rechengesetze kennenlernen und anwenden
Sich mit Brüchen und Prozenten anfreunden
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen berechnen
Mehrere Terme ausmultiplizieren
Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen der Algebra und legt damit das Fundament für die folgenden Kapitel. Vieles, was hier behandelt wird, haben Sie sicherlich schon einmal angewendet – im Alltag, im Job, im Studium oder im Mathematikunterricht. Hier haben Sie die Möglichkeit, Ihr Wissen aufzufrischen und die Grundlagen zu wiederholen.
Haben Sie sich schon mal gefragt, warum eins plus eins zwei ergibt? Und wie werden eigentlich negative Zahlen addiert? Die Addition von zwei Zahlen wird mit dem Pluszeichen »+« gekennzeichnet:
Dabei nennt man und Summanden. Addiert man sie, das heißt, rechnet sie zusammen, erhält man die Summe. Natürlich können auch mehr als zwei Zahlen addiert werden.
Die Subtraktion, auch bekannt als Minusrechnung, ist die Umkehroperation der Addition. Was bedeutet das? Betrachten Sie beispielsweise die Zahl 5. Wenn Sie 3 zu 5 addieren, ist das Ergebnis 8. Die Addition können Sie umkehren, indem Sie 3 wieder von 8 abziehen. Das Ergebnis ist 5 – die ursprüngliche Zahl. Die Subtraktion wird mit dem Minuszeichen »–« aufgeschrieben.
Man nennt Minuend und Subtrahend. ist das Ergebnis der Subtraktion und wird als Differenz zwischen und bezeichnet. Die Subtraktion kann auch als Addition der Gegenzahl verstanden werden. Statt von abzuziehen, können Sie also auch zu addieren:
Bei der Multiplikation und der Division multiplizieren oder dividieren Sie zunächst die Beträge der Zahlen. Der Betrag einer Zahl ist die Zahl ohne ihr Vorzeichen. Über das Vorzeichen des Ergebnisses entscheiden die Vorzeichen der Zahlen, die Sie miteinander malnehmen beziehungsweise durcheinander teilen.
Bei der Multiplikation oder Division von zwei Zahlen ist das Ergebnis positiv, falls beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben. Haben die beiden Zahlen unterschiedliche Vorzeichen, dann ist das Ergebnis negativ.
Bei dem nachfolgenden Beispiel werden nicht nur zwei, sondern drei negative Zahlen miteinander multipliziert. Können Sie trotzdem sagen, welches Vorzeichen das Ergebnis haben muss?
Wenn nur negative Zahlen miteinander multipliziert werden, ist das ganz einfach. Wenn es eine gerade Anzahl an Zahlen ist, ist das Ergebnis positiv. Wenn es eine ungerade Anzahl an Zahlen ist, so wie hier, ist das Ergebnis negativ. Falls Ihnen nicht sofort klar ist, warum das so ist, probieren Sie es doch einfach mal mit ein paar Zahlen aus. Wenn Sie die Beträge der Zahlen in diesem Beispiel miteinander multiplizieren, erhalten Sie 3 · 5 · 2 = 30. Das Vorzeichen muss ein Minus sein, also ist das Ergebnis –30.
Eine Besonderheit gibt es bei der Multiplikation mit null, wie das folgende Beispiel zeigt:
Das Ergebnis dieser Multiplikation ist 0.
Ist bei einer Multiplikation mindestens einer der Faktoren 0, so ist das Ergebnis der Multiplikation immer 0, unabhängig von den anderen Faktoren.
Es gibt einige wichtige Rechengesetze, die Ihnen das Leben leichter machen. Das Kommutativgesetz besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge Zahlen addiert oder miteinander multipliziert werden. Das Ergebnis ist immer das gleiche.
Kommutativgesetz der Addition:
Kommutativgesetz der Multiplikation:
Das Assoziativgesetz sagt aus, dass Sie die Gruppierungen von Operationen verändern können, ohne dass sich dadurch das Ergebnis ändert. Oder einfacher ausgedrückt: Sie können Klammern setzen, wie Sie möchten.
Assoziativgesetz der Addition:
Assoziativgesetz der Multiplikation:
Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation, aber NICHT für die Subtraktion und die Division.
Ein weiteres wichtiges Rechengesetz, das die Multiplikation mit der Addition beziehungsweise Subtraktion verbindet, ist das Distributivgesetz.
Distributive Multiplikation über die Addition:
Distributive Multiplikation über die Subtraktion:
Wie Sie sehen, können Sie nach dem Distributivgesetz jeden Term innerhalb einer Klammer mit dem Koeffizienten außerhalb der Klammer multiplizieren, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Umgekehrt funktioniert es natürlich auch, dann spricht man vom Ausklammern.
Das folgende Beispiel zeigt, wie die Anwendung der Rechengesetze Berechnungen vereinfachen kann:
Wenn man Zahlen miteinander multipliziert, kann man – wie im ersten Schritt geschehen – die Klammern nach dem Assoziativgesetz weglassen. Das Ergebnis ändert sich durch die Änderung der Reihenfolge, in der die Multiplikationen durchgeführt werden, nicht. Im zweiten Schritt kommt das Kommutativgesetz zur Anwendung. Demnach können Sie die Reihenfolge der Zahlen, die miteinander multipliziert werden, vertauschen. Schließlich werden die Zahlen durch das Setzen von Klammern neu gruppiert. Hier können Sie also wieder das Assoziativgesetz nutzen. Zum Schluss berechnen Sie die Ausdrücke in den Klammern und kombinieren sie miteinander. Natürlich müssen Sie diese Zwischenschritte nicht alle aufschreiben. Wenn Sie die Aufgabe im Kopf lösen können und das Ergebnis sofort aufschreiben, ist es umso besser!
Häufig kommen in der Mathematik nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen zur Anwendung. Natürlich gelten die Rechengesetze auch für Variablen, wie man am nachfolgenden Beispiel sehen kann.
Variablen verhalten sich immer wie Zahlen.
Hier kommt im ersten Schritt das Distributivgesetz zur Anwendung, beim ersten Term über die Addition, beim zweiten Term über die Subtraktion. Danach können Sie nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation die Reihenfolge der Zahlen und Variablen in den einzelnen Termen verändern. So lässt sich als und schließlich als aufschreiben. Genauso kann zu vereinfacht werden. Denken Sie hier daran, dass das Ergebnis der Multiplikation von zwei negativen Ausdrücken positiv ist. Nun können Sie die einzelnen Komponenten addieren beziehungsweise subtrahieren. Da ist, bleibt übrig. Das ist auch die Lösung, da der Ausdruck nicht weiter vereinfacht werden kann.
Übrigens: Wie Sie wissen, ist es nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation egal, ob Sie oder schreiben, wenn Sie mal rechnen. Meistens werden die Buchstaben in solchen Fällen nach dem Alphabet geordnet. Sie sollten auf jeden Fall wissen, dass und das Gleiche bedeuten. kann also beispielsweise zu zusammengefasst werden.
In diesem Abschnitt lernen Sie, wie Sie mit Brüchen rechnen können. Ein Bruch besteht aus einem Zähler, einem Bruchstrich und einem Nenner. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter. Der Zähler wird durch den Nenner geteilt, also zum Beispiel:
Der Nenner eines Bruchs darf nie null sein!
Vertauscht man den Zähler und den Nenner eines Bruchs, so erhält man seinen Kehrwert. Der Kehrwert von ist also . Multipliziert man eine Zahl – außer Null – mit ihrem Kehrwert, so ist das Ergebnis immer 1.
Die Multiplikation von Brüchen ist ganz einfach:
Natürlich können Sie nicht nur zwei Brüche miteinander multiplizieren, sondern auch mehrere. Dazu multiplizieren Sie einfach die Zähler aller Brüche miteinander und teilen dies durch das Produkt aller Nenner, wie dieses Beispiel illustriert:
Wenn Sie das hier tun, ergibt sich . Diesen Bruch können Sie noch kürzen. Das bedeutet, dass Sie den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl teilen. In diesem Fall können Sie durch 10 teilen und erhalten dann das Ergebnis .
Alternativ können Sie direkt im Produkt der Brüche kürzen:
Hier werden die 2 im Zähler des ersten Bruchs und die 5 im Zähler des zweiten Bruchs mit der 10 im Nenner des dritten Bruchs gekürzt, da ergibt. Da die Multiplikation mit 1 das Ergebnis nicht verändert, kann sie auch weggelassen werden.
Wenn Sie einen Bruch durch einen anderen Bruch teilen möchten, tun Sie dies, indem Sie den ersten Bruch unverändert lassen und mit dem Kehrwert – also der Umkehrung – des zweiten Bruchs multiplizieren:
Die Addition und Subtraktion von Brüchen sind etwas komplizierter.
Sie können Brüche nur addieren oder subtrahieren, wenn sie den gleichen Nenner haben.
Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, werden sie addiert, indem Sie die beiden Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten:
Wenn Sie hingegen zwei Brüche zusammenrechnen möchten, die unterschiedliche Nenner haben, so müssen Sie die beiden Brüche zunächst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Dazu multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl. Der Wert des Bruchs verändert sich dadurch nicht. Nach der Erweiterung können Sie die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten. Formal dargestellt sieht das so aus:
Schauen Sie sich auch die Addition von Brüchen an einem konkreten Beispiel an:
Zunächst müssen beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. In diesem Fall ist der kleinste gemeinsame Nenner 12. Sie können auch einen anderen gemeinsamen Nenner verwenden, dann werden die Zahlen allerdings größer und das Rechnen damit schwieriger. Das Ergebnis ist aber das gleiche. Um den Nenner 12 zu erhalten, wird der erste Bruch mit 4 erweitert, das heißt, sowohl der Zähler als auch der Nenner werden mit 4 multipliziert. Der zweite Bruch wird mit 3 erweitert. Anschließend werden die Zähler der beiden Brüche addiert, der Nenner bleibt unverändert. So ergibt sich die Lösung . Das können Sie entweder so stehen lassen oder alternativ als aufschreiben. Diese Schreibweise bedeutet . Wenn Sie das ausrechnen, erhalten Sie . Die beiden Schreibweisen bedeuten also das Gleiche.
Natürlich können die verschiedenen Grundrechenarten auch bei Rechnungen mit Brüchen miteinander kombiniert werden, wie das folgende Beispiel zeigt:
Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Dazu schreibt man einfach die Zahl in den Zähler und 1 in den Nenner, zum Beispiel: , und so weiter.
Hier kommt alles zusammen!
Zunächst addieren Sie die Ausdrücke in der Klammer. Dafür finden Sie den gemeinsamen Nenner 15 und es ergibt sich
.
Dies multiplizieren Sie mit der Zahl, die vor der Klammer steht:
. Damit haben Sie den ersten Teil schon gelöst.
Als Nächstes teilen Sie
durch
. Dafür rechnen Sie
.
Zum Schluss addieren Sie
und sind damit fertig.
War doch gar nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick aussieht, oder?!
Ein Prozent ist ein Hundertstel. Sie können also als ausdrücken.
Sie können jede Prozentzahl auch als Dezimalzahl ausdrücken, indem Sie den Bruch ausrechnen.