Das Buch der Mathematik: Band 1 E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend von den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.
Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht als auch aus der Sicht der Sicht und Definitionen jedes bestimmten Typs und auf praktischer Ebene angenommen, um mehr als 1.000 Übungen zu lösen.
Der Ansatz zur Mathematik wird durch progressives Wissen vergeben und die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge aufgedeckt, damit der Leser einen kontinuierlichen Weg in der Untersuchung dieser Wissenschaft aufbauen kann.
Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analyse und Geometrie verabreichte fortgeschrittene Mathematik und schließlich den Teil der Statistiken, Algebra und Logik.
Das Schreiben steht als All-inclusive-Arbeit in Bezug auf die Mathematik und lässt keinen Aspekt der vielen Facetten aus, die es übernehmen kann.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

„Das Buch der Mathematik: Band 1“

EINFÜHRUNG

ERSTER TEIL: ELEMENTARE MATHEMATIK

ELEMENTARE MATHEMATISCHE LOGIK

Elementare Rechenoperationen

MENGENLEHRE

Wörtliche Berechnung

EBENE EUKLIDISCHE GEOMETRIE

SOLIDE EUKLIDISCHE GEOMETRIE

ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN

ELEMENTARE ANALYTISCHE GEOMETRIE

GONIOMETRISCHE FUNKTIONEN UND TRIGONOMETRIE

EXPONENTIAL-, LOGARITHMISCH- UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN

FUNKTIONSTHEORIE

KOMPLEXE ZAHLEN

ZWEITER TEIL: MATHEMATISCHE ANALYSE, FUNKTIONSANALYSE UND ERWEITERTE GEOMETRIE

ALLGEMEINE TOPOLOGIE

GRENZEN

KONTINUIERLICHE FUNKTIONEN

DIFFERENZIALRECHNUNG

INTEGRALE BERECHNUNG

STUDIE DER REALEN VARIABLEN FUNKTIONEN

NACHFOLGE UND NUMERISCHE REIHEN

NACHFOLGE UND FUNKTIONSERIEN

POWER-, TAYLOR- UND FOURIER-SERIE

VEKTOREN UND VEKTORMATHEMATIK

Matrizen und Matrizenmathematik

ERWEITERTE ANALYTISCHE GEOMETRIE

NICHT EUKLIDISCHE GEOMETRIE

„Das Buch der Mathematik: Band 1“

SIMONE MALACRIDA

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend mit den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.

Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht angegangen, indem Theoreme und Definitionen jedes einzelnen Typs erläutert werden, als auch auf praktischer Ebene, indem mehr als 1.000 Aufgaben gelöst werden.

Die Herangehensweise an die Mathematik ist durch progressives Wissen gegeben, wobei die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge dargestellt werden, so dass der Leser einen kontinuierlichen Pfad im Studium dieser Wissenschaft aufbauen kann.

Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analysis und Geometrie gegebene fortgeschrittene Mathematik und schließlich der Teil über Statistik, Algebra und Logik.

Die Schrift versteht sich als umfassendes mathematisches Werk, das keinen Aspekt der vielen Facetten auslässt, die es annehmen kann.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

ANALYTISCHER INDEX

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EINLEITUNG _ _ _

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ERSTER TEIL: ELEMENTARE MATHEMATIK

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1 – ELEMENTARE MATHEMATISCHE LOGIK

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2 – ELEMENTARE ARITHMETISCHE OPERATIONEN

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3 – MENGENTHEORIE

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4 – Wörtliche Berechnung

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5 – EBENE EUKLIDISCHE GEOMETRIE

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6 – FESTE EUKLIDISCHE GEOMETRIE

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7 – ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN

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8 – ELEMENTARE ANALYTISCHE GEOMETRIE

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9 – GONIOMETRISCHE FUNKTIONEN UND TRIGONOMETRIE

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10 – EXPONENTIAL-, LOGARITHMUS- UND HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN

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11 – FUNKTIONSTHEORIE

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12 – KOMPLEXE ZAHLEN

ZWEITER TEIL : MATHEMATISCHE ANALYSE, FUNKTIONSANALYSE UND FORTGESCHRITTENE GEOMETRIE

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13 – ALLGEMEINE TOPOLOGIE

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14 - LIM I T S

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15 – KONTINUIERLICHE FUNKTIONEN

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16 – DIFFERENTIALBERECHNUNG

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17- INTEGRALE BERECHNUNG

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18 – UNTERSUCHUNG VON FUNKTIONEN DER REALEN VARIABLEN

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19 – NACHFOLGE UND NUMMERNREIHE

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20 – NACHFOLGE UND FUNKTIONSERIEN

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21 – SERIE POWER, TAYLOR UND FOURIE R

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22 – V EKTOREN UND VEKTORMATHEMATIK

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23 – MATRIKEN UND MATRIXMATHEMATIK

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24 – FORTGESCHRITTENE ANALYTISCHE GEOMETRIE

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25 – NICHT- EUKLIDISCHE GEOMETRIE

EINFÜHRUNG

In der heutigen Gesellschaft ist Mathematik die Grundlage der meisten naturwissenschaftlichen und technischen Disziplinen wie Physik, Chemie, Ingenieurwissenschaften aller Bereiche, Astronomie, Wirtschaftswissenschaften, Medizin, Architektur.

Darüber hinaus bestimmen mathematische Modelle den Alltag, zum Beispiel im Transportwesen, in der Energiewirtschaft und -verteilung, in der Telefon- und Fernsehkommunikation, in der Wettervorhersage, in der Planung der landwirtschaftlichen Produktion und in der Abfallwirtschaft, in der Definition von Geldströmen, in der Kodifizierung von Industrieplänen und so weiter, da die praktischen Anwendungen nahezu unbegrenzt sind.

Daher ist Mathematik eine der grundlegenden Grundlagen für die Bildung einer zeitgemäßen Kultur jedes einzelnen Individuums, und dies wird sowohl aus den Schulprogrammen deutlich, die von den frühesten Jahren an den Mathematikunterricht einführen, als auch aus der engen Beziehung zwischen dem gewinnbringenden Lernen von Mathematik Mathematik und die soziale und wirtschaftliche Entwicklung einer Gesellschaft.

Dieser Trend ist nicht neu, da er eine direkte Folge jener Revolution ist, die zu Beginn des siebzehnten Jahrhunderts stattfand, die die wissenschaftliche Methode als das Hauptwerkzeug zur Beschreibung der Natur einführte und deren Ausgangspunkt gerade durch die Überlegung gegeben war, dass die Mathematik es könnte der Schlussstein sein, um zu verstehen, was uns umgibt.

Die große „Stärke“ der Mathematik liegt in mindestens drei verschiedenen Punkten.

Erstens ist es dank ihr möglich, die Realität mit wissenschaftlichen Begriffen zu beschreiben, dh indem man einige Ergebnisse vorhersieht, noch bevor man die wirkliche Erfahrung gemacht hat.

Ergebnisse vorherzusagen bedeutet auch, die Unsicherheiten, Fehler und Statistiken vorherzusagen, die notwendigerweise entstehen, wenn das Ideal der Theorie in die extremste Praxis umgesetzt wird.

Zweitens ist Mathematik eine Sprache mit einzigartigen Eigenschaften.

Es ist künstlich, wie von Menschen gebaut.

Es gibt andere künstliche Sprachen, wie das Morsealphabet; Aber der große Unterschied zur Mathematik besteht darin, dass sie eine künstliche Sprache ist, die die Natur und ihre physikalischen, chemischen und biologischen Eigenschaften beschreibt.

Das macht sie jeder anderen möglichen Sprache überlegen, da wir dieselbe Sprache sprechen wie das Universum und seine Gesetze. An dieser Stelle kann jeder von uns seine eigenen Ideologien oder Überzeugungen einbringen, ob säkular oder religiös.

Viele Denker haben hervorgehoben, dass Gott ein großer Mathematiker ist und dass Mathematik die bevorzugte Sprache ist, um mit dieser überlegenen Entität zu kommunizieren.

Die letzte Eigenschaft der Mathematik ist, dass sie eine universelle Sprache ist. Mathematisch gesehen könnte der Turmbau zu Babel nicht existieren.

Jeder Mensch, der über einige mathematische Grundlagen verfügt, weiß sehr gut, was mit bestimmten Symbolen gemeint ist, während Übersetzer und Wörterbücher benötigt werden, um sich mit geschriebenen Wörtern oder mündlichen Reden zu verstehen.

Wir wissen sehr gut, dass Sprache die Grundlage allen Wissens ist.

Gerade durch die Sprache lernt der Mensch in den ersten Lebensjahren eine Reihe grundlegender Informationen für die Entwicklung der Intelligenz.

Das menschliche Gehirn zeichnet sich gerade durch diese spezifische Besonderheit aus, eine Reihe komplexer Sprachen zu artikulieren, und dies hat uns alle bekannten Vorteile gegenüber allen anderen Arten des Tierreichs verschafft.

Sprache ist auch eine der Voraussetzungen philosophischer, spekulativer und wissenschaftlicher Erkenntnis, und Gadamer hat dies unmissverständlich und endgültig hervorgehoben.

Aber es gibt noch eine dritte Eigenschaft der Mathematik, die viel wichtiger ist.

Mathematik ist nicht nur eine künstliche und universelle Sprache, die die Natur beschreibt, sondern auch Problemlösung , daher ist sie Konkretheit aus Wissenschaft, da der Mensch immer darauf abzielte, Probleme zu lösen, die ihn belasten.

Um die letzten Zweifel an der Sache auszuräumen, ist es ratsam, einige konkrete Beispiele zu nennen, die sich auf die Zeit vor Jahrtausenden beziehen.

Die Entdeckung irrationaler Zahlen durch Pythagoras, vor allem Pi und die Quadratwurzel, war keine bloße theoretische Spekulation.

Dieser mathematischen Symbolik lag die Lösung zweier sehr konkreter Probleme zugrunde.

Da die Häuser einen quadratischen Grundriss hatten, musste einerseits die innere Diagonale genau berechnet werden, um den Materialverlust beim Bau der Mauern zu minimieren, andererseits war Pi die mathematische Verbindung zwischen geraden und krummlinigen Strecken, wie der Radius eines Rades und sein Umfang.

Angesichts konkreter Probleme hat der menschliche Intellekt diese mathematische Sprache erfunden, deren Eigenschaft gerade darin besteht, Probleme durch Beschreibung der Natur zu lösen.

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Der erste Teil dieses Buches hat den ausdrücklichen Zweck, die Grundlagen der elementaren Mathematik zu vermitteln, das heißt des gesamten Teils der Mathematik vor der Einführung der mathematischen Analyse.

Die in diesem Teil dargelegten Begriffe und Konzepte waren zum Teil bereits in der Antike bekannt (z. B. zur Zeit der Griechen), insbesondere hinsichtlich des Teils der elementaren Logik, zusammen mit elementaren Operationen und geometrischen Beziehungen.

Die restlichen Kapitel des ersten Teils beschreiben das Wissen, das die Menschheit im Laufe der Jahrhunderte erworben hat, insbesondere nach der großen Explosion des Denkens in der Renaissance bis zum Ende des 17. Jahrhunderts.

Diese Grenze gilt als Abgrenzung zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik, gerade weil die Ende des 17. Jahrhunderts von Newton und Leibnitz eingeführte mathematische Analyse den qualitativen Sprung zu neuen Horizonten und zur wirklichen Beschreibung der Natur in mathematischen Begriffen ermöglichte.

Genau aus diesem Grund folgt die Darlegung der Themen einer logischen Reihenfolge, obwohl jeder Abschnitt für sich ein vollständiges Thema darstellt, was eine kontinuierliche Erweiterung des Wissens auf der Grundlage des zuvor Gelernten ermöglicht.

Der erste Teil des Buches deckt sich mehr oder weniger mit dem, was bis zum Ende des Gymnasiums gelehrt wurde (nur für naturwissenschaftliche Gymnasien, mit dem Ende des vierten und nicht des fünften Jahres).

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Der zweite Teil des Buches liefert alle Grundlagen der fortgeschrittenen Mathematik und umfasst darin sowohl die große Disziplin der mathematischen Analyse als auch alle unterschiedlichen Gebiete, die in den letzten zwei Jahrhunderten entstanden sind, darunter, um nur einige zu nennen, das Differential und fraktale Geometrie, nichteuklidische Geometrien, algebraische Topologie und Funktionsanalyse.

Fast alle diese Begriffe wurden nach der Einführung des Formalismus der mathematischen Analysis Ende des 17. Jahrhunderts entwickelt, und seitdem hat sich der Weg der Mathematik immer parallel zwischen diesem Sektor und allen anderen möglichen Teildisziplinen so allmählich fortgesetzt Seite an Seite und haben eigenständige Wege eingeschlagen.

Es bleibt zu verstehen, warum die mathematische Analyse diese Wasserscheide zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik eingeführt hat.

Es gibt zwei Bereiche, die sich in diesem Diskurs ergänzen.

Einerseits war es erst mit der Einführung der mathematischen Analyse möglich, mit einem geeigneten Formalismus die Gleichungen zu beschreiben, die Naturphänomene physikalischer, chemischer oder anderer Herkunft, beispielsweise sozialer oder wirtschaftlicher Natur, beherrschen.

Mit anderen Worten, die mathematische Analyse ist das Hauptwerkzeug zum Aufbau jener Mechanismen, die es uns ermöglichen, Ergebnisse vorherzusagen, Technologien zu entwerfen und über neue Verbesserungen nachzudenken, die eingeführt werden können.

Andererseits besitzt die mathematische Analysis ihrem Wesen nach eine spezifische Eigentümlichkeit, die sie deutlich von der bisherigen Elementarmathematik unterscheidet.

Es sieht nach örtlichen Erwägungen vor, nicht ausschließlich pünktlich.

Allein der Übergang von der Pünktlichkeit zur Lokalität wird es ermöglichen, einen Diskurs der Globalität aufzubauen, der weit über das bisher Erkennbare hinausgeht.

Dieser Teil stellt Konzepte vor, die normalerweise auf Universitätsniveau in verschiedenen Analysis- und Geometriekursen behandelt werden.

Im dritten Teil des Buches werden Themen von allgemeinem Interesse behandelt, die von der mathematischen Analyse getrennt werden können, wie fortgeschrittene Algebra, Statistik und fortgeschrittene Logik.

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Jedes einzelne Kapitel des Buches kann als eigenständiges Gebiet der Mathematik betrachtet werden, aber nur durch die Analyse aller Themen wird es möglich sein, die Weite der Mathematik zu berühren, und aus diesem Grund spiegelt die Reihenfolge der Kapitel eine Kontinuität wider Abfolge von Wissen zum Fortschritt.

Tatsächlich hat die Mathematik eine nahezu unbegrenzte Breite an Sektoren und Anwendungen.

Es gibt keine Wissenschaft, die ohne mathematische Konzepte auskommt, und es gibt keine Anwendung, die nicht mathematische Begriffe entlehnt und sie mit bestimmten Sprachen entwickelt hat.

Auf diese Weise wurden viele Disziplinen und viele Theorien geboren, die in diesem Buch nicht vorgestellt werden. Um nur einige Beispiele zu nennen, können wir die Spieltheorie und die Finanzmathematik im Wirtschaftsbereich, die Anwendungen der Gruppentheorie und die fortgeschrittene Algebra für die theoretische Physik und die Elementarteilchen einschließen Evolution des Tensorkalküls für Probleme der Kosmologie und Astrophysik.

Aus diesem Grund ist dieses Buch, obwohl es sehr umfangreich ist, sicherlich nicht vollständig und allumfassend.

Es werden über 1.000 Übungen gemacht, aber die Anzahl der möglichen Probleme und Übungen ist nahezu unbegrenzt.

Außerdem gibt es im ganzen Buch keine Beweise von Sätzen, die die Sperrigkeit und das Verständnis weiter belastet hätten.

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Die auf einzelne Disziplinen und Technologien angewandte Evolution der Mathematik hat zu extremen Verzweigungen und einer kontinuierlichen Evolution geführt, die bis heute andauert.

Dies hat eine wichtige Konsequenz: Die Mathematik ist eine „lebende“, zeitgenössische und zukünftige Wissenschaft und wird nicht auf eine historische Rolle reduziert.

Das Gesagte gilt nicht nur für die unzähligen Anwendungen, sondern auch für die "reine" Mathematik, dh für die in diesem Handbuch vorgestellten mathematischen Probleme.

Wenn man einen Historismus über die zum Ausdruck gebrachten Begriffe und Ergebnisse macht, kann man deutlich erkennen, dass einige Annahmen und einige Demonstrationen sehr neu sind (ein Beispiel ist vor allem die Demonstration der Poincaré-Vermutung), das heißt, sie fanden im 21. Jahrhundert statt.

Nicht umsonst gibt es Preise für noch offene Probleme, die sowohl historisch sind, wie Hilberts berühmte Fragen aus dem frühen 20. Jahrhundert, als auch sehr modern in Bezug auf Computerrechnen, Logik, Komplexitäts- und Chaostheorie als geometrische und algebraische Konzepte.

Als lebendige Wissenschaft, ebenso wie eine universelle Sprache, wird die Mathematik ständig mit neuen Wörtern und neuen Konstrukten bereichert, und deshalb ist das, was in diesem Buch präsentiert wird, nur ein Sprungbrett zu noch fortgeschrittenerem und spezifischerem Wissen.

Die Herausforderung anzunehmen, ein neues Kapitel oder ein einzelnes Kapitel in dieser fesselnden Geschichte der einzigen universellen künstlichen Sprache zu schreiben, die die Natur beschreibt, ist Teil der Evolution unserer Spezies und deshalb ist jeder von uns aufgerufen, daran teilzunehmen.

ERSTER TEIL: ELEMENTARE MATHEMATIK

1

ELEMENTARE MATHEMATISCHE LOGIK

Einführung

Die mathematische Logik befasst sich mit der mathematischen Kodierung intuitiver Konzepte im Zusammenhang mit dem menschlichen Denken.

Sie ist der Ausgangspunkt für jeden mathematischen Lernprozess und daher macht es durchaus Sinn, die elementaren Regeln dieser Logik am Anfang des gesamten Diskurses darzulegen.

Wir definieren ein Axiom als eine Aussage, die als wahr angenommen wird, weil sie als selbstverständlich angesehen wird oder weil sie der Ausgangspunkt einer Theorie ist.

Logische Axiome werden durch jede logische Struktur erfüllt und werden in Tautologien (per Definition wahre Aussagen ohne neue Aussagekraft) oder trotzdem als wahr geltende Axiome unterteilt, die ihre universelle Gültigkeit nicht beweisen können.

Nichtlogische Axiome sind niemals Tautologien und werden Postulate genannt.

Sowohl Axiome als auch Postulate sind unbeweisbar.

Im Allgemeinen werden die Axiome, die eine Theorie begründeten und begründeten, Prinzipien genannt.

Ein Theorem hingegen ist ein Satz, der ausgehend von Anfangsbedingungen (sog. Hypothesen) durch ein logisches Verfahren namens Demonstration zu Schlussfolgerungen (sog. Thesen) gelangt.

Sätze sind also per Definition beweisbar.

Andere beweisbare Aussagen sind die Lemmata, die normalerweise einem Theorem vorausgehen und ihm die Grundlage geben, und die Folgerungen, die stattdessen auf den Beweis eines gegebenen Theorems folgen.

Eine Vermutung hingegen ist eine Aussage, die aufgrund allgemeiner Überlegungen, Intuition und gesundem Menschenverstand für wahr gehalten, aber noch nicht in Form eines Theorems nachgewiesen wurde.

Symbologie

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Die mathematische Logik bewirkt, dass Symbole eingreifen, die dann in allen einzelnen Bereichen der Mathematik wiederkehren. Diese Symbole sind vielfältig und gehören zu verschiedenen Kategorien.

Die Gleichheit zwischen zwei mathematischen Elementen wird mit dem Symbol von angezeigt , wenn sich diese Elemente stattdessen voneinander unterscheiden, wird das Symbol der Ungleichheit durch angegeben .

Auf dem Gebiet der Geometrie ist es auch sinnvoll, den so bezeichneten Begriff der Kongruenz und der Ähnlichkeit einzuführen .

In der Mathematik kann auch Proportionalität definiert werden, bezeichnet mit .

In vielen Fällen müssen mathematische und geometrische Konzepte definiert werden, das Definitionssymbol ist dies .

Schließlich wird die Negation durch einen Balken über dem logischen Begriff angegeben.

Dann gibt es quantitative logische Symbole, die sprachlichen Begriffen entsprechen. Die Existenz eines Elements wird so angezeigt , die Eindeutigkeit des Elements so , während der Ausdruck „für jedes Element“ so transkribiert wird .

Andere Symbole verweisen auf Ordnungslogiken, dh auf die Möglichkeit, die einzelnen Elemente nach quantitativen Kriterien aufzulisten, und bringen Informationen weit über den Begriff der Ungleichheit hinaus.

Wenn ein Element größer als ein anderes ist, wird es mit dem Größer-als-Symbol > gekennzeichnet, wenn es kleiner ist, mit dem von Kleiner <.

In ähnlicher Weise gilt für Mengen das Inklusionssymbol, um eine kleinere Menge zu bezeichnen .

Diese Symbole können mit Gleichheit kombiniert werden, um Erweiterungen zu generieren, einschließlich der Konzepte „größer als oder gleich“ und „kleiner als oder gleich“ .

Offensichtlich kann man auch die Negation der Inklusion durch gegeben haben .

Eine andere Kategorie logischer Symbole bringt das Konzept der Zugehörigkeit ins Spiel.

Wenn ein Element zu einer anderen logischen Struktur gehört, wird es mit angezeigt , wenn es nicht dazugehört, mit .

Einige logische Symbole transkribieren, was normalerweise in den logischen Prozessen der verbalen Konstruktion stattfindet.

Die Implikation eines hypothetischen Nebensatzes (das klassische „if...then“) wird so kodiert , während die logische Co-Implikation („if and only if“) so kodiert wird .

Das sprachliche Konstrukt „so dass“ wird in der Verwendung des Doppelpunkts zusammengefasst:

Schließlich gibt es logische Symbole, die die Ausdrücke „und/oder“ (einschließlich Disjunktion), „und“ (logische Konjunktion), „oder“ (exklusive Disjunktion) codieren.

In den ersten beiden Fällen kann ein Korrespondent in der Vereinigung zwischen mehreren Elementen gefunden werden, die mit gekennzeichnet ist , und in der Schnittmenge zwischen mehreren Elementen .

Alle diese Symbole werden als logische Konnektoren bezeichnet.

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Prinzipien

Es gibt vier logische Prinzipien, die im elementaren Logikschema absolut gültig sind (aber nicht in einigen fortgeschrittenen Logikschemata).

Diese Prinzipien sind Tautologien und waren bereits in der antiken griechischen Philosophie als Teil des logischen Systems von Aristoteles bekannt.

1) Identitätsprinzip: Jedes Element ist sich selbst gleich.

2) Prinzip der Bivalenz: Ein Satz ist entweder wahr oder falsch.

3) Grundsatz der Widerspruchsfreiheit: Wenn ein Element wahr ist, ist seine Negation falsch und umgekehrt. Daraus folgt notwendigerweise, dass dieser Satz nicht wahr sein kann

4) Prinzip des ausgeschlossenen Dritten: Es ist nicht möglich, dass zwei widersprüchliche Aussagen beide falsch sind. Diese Eigenschaft verallgemeinert die vorherige, da die Widerspruchsfreiheit nicht ausschließt, dass beide Aussagen falsch sind.

Eigentum

Außerdem können für eine generische logische Operation die folgenden Eigenschaften in einer generischen logischen Struktur G definiert werden (es wird nicht gesagt, dass alle diese Eigenschaften für jede Operation und für jede logische Struktur gültig sind, es hängt von Fall zu Fall ab).

Reflexionseigenschaft :

Für jedes Element, das zur logischen Struktur gehört, bezieht sich die logische Operation, die an demselben Element ausgeführt wird, intern auf die logische Struktur.

Idempotenz-Eigenschaft :

Für jedes Element, das zu der logischen Struktur gehört, führt die an demselben Element durchgeführte logische Operation zu demselben Element.

Existenzeigenschaft des neutralen Elements :

Für jedes Element, das zu der logischen Struktur gehört, gibt es ein weiteres Element, so dass die darauf ausgeführte logische Operation immer das Startelement zurückgibt.

Existenzeigenschaft des inversen Elements :

Für jedes Element, das zu der logischen Struktur gehört, gibt es ein anderes Element, so dass die darauf ausgeführte logische Operation immer das neutrale Element zurückgibt.

Kommutativgesetz :

Bei zwei Elementen, die zu der logischen Struktur gehören, ändert sich das Ergebnis der an ihnen durchgeführten logischen Operation nicht, wenn die Reihenfolge der Elemente geändert wird.

transitive Eigenschaft :

Bei drei Elementen, die zu der logischen Struktur gehören, hängt die an der Kette von Elementen durchgeführte logische Operation nur vom ersten und letzten ab.

Assoziatives Eigentum :

Wenn drei Elemente gegeben sind, die zu der logischen Struktur gehören, ändert sich das Ergebnis der logischen Operation, die von ihnen durchgeführt wird, nicht gemäß der Reihenfolge, in der die Operationen durchgeführt werden.

Verteilungseigenschaft :

Bei drei Elementen, die zu der logischen Struktur gehören, ist die logische Operation, die an einer Gruppe von zwei von ihnen und an der anderen durchgeführt wird, äquivalent zu der logischen Operation, die an Gruppen von zwei durchgeführt wird.

Die Begriffe Gleichheit, Kongruenz, Ähnlichkeit, Proportionalität und Zugehörigkeit besitzen all diese eben aufgeführten Eigenschaften.

Ordnungssymbole erfüllen nur die transitiven und reflexiven Eigenschaften.

In diesem Fall wird die Idempotenzeigenschaft nur dadurch erfüllt, dass auch die Reihenfolge mit Gleichheit eingeschlossen wird, während die anderen Eigenschaften nicht gut definiert sind.

Die logische Implikation erfüllt die reflexiven, idempotenten und transitiven Eigenschaften, während sie die kommutativen, assoziativen und distributiven Eigenschaften nicht erfüllt.

Auf der anderen Seite befriedigt die Co-Implikation sie alle ebenso wie logische Konnektoren wie die logische Konjunktion und die inklusive Disjunktion.

Äquivalenzrelation genannt .

Im Allgemeinen gelten die beiden dualen Theoreme von De Morgan :

Diese Theoreme beinhalten die Definitionen von logischen Konnektoren und der Verteilungseigenschaft.

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Boolesche Logik

Für logische Konnektoren lassen sich mit dem Formalismus der sogenannten Booleschen Logik Wahrheitstabellen definieren, die auf den den einzelnen Aussagen zuzuordnenden "wahren" oder "falschen" Werten basieren.

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VERWEIGERUNG

v

F

F

v

Die Negation ist wahr, wenn der Satz falsch ist und umgekehrt.

LOGISCHE VERBINDUNG

F

F

F

F

v

F

v

F

F

v

v

v

Die logische Konjunktion ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.

INKLUSIVE DISJUNKTION

F

F

F

F

v

v

v

F

v

v

v

v

Die inklusive Disjunktion ist nur dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.

EXKLUSIVE DISJUNKTION

F

F

F

F

v

v

v

F

v

v

v

F

Exklusive Disjunktion ist falsch, wenn beide Aussagen falsch (oder wahr) sind.

LOGISCHE IMPLIKATION

F

F

v

F

v

v

v

F

F

v

v

v

Die logische Implikation ist nur dann falsch, wenn die Ursache wahr und die Konsequenz falsch ist.

LOGISCHE KOMPLIKATION

F

F

v

F

v

F

v

F

F

v

v

v

Logische Co-Implikation ist wahr, wenn beide Aussagen wahr (oder falsch) sind.

Falls die logische Implikation wahr ist, wird A eine hinreichende Bedingung für B genannt, während B eine notwendige Bedingung für A genannt wird.

Die logische Implikation ist die Hauptmethode zum Beweis von Theoremen, wenn man bedenkt, dass A die Hypothesen darstellt, B die Thesen, während das Verfahren der logischen Implikation der Beweis des Theorems ist.

Die logische Co-Implikation ist eine Äquivalenzrelation.

In diesem Fall sind A und B logisch äquivalente Begriffe und sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingungen füreinander.

Unter Hinweis auf die exponierten Eigenschaften kann die logische Co-Implikation auch ausgedrückt werden als:

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Anwendungen der Logik: Beweis von Theoremen

Der mathematische Beweis eines Theorems kann auf zwei großen logischen Kategorien basieren.

Auf der einen Seite gibt es die Deduktion, die ausgehend von für wahr gehaltenen (oder bereits zuvor bewiesenen) Hypothesen die Gültigkeit einer These allein aufgrund der formalen und logischen Kohärenz der demonstrativen Argumentation bestimmt. Im Allgemeinen wird diesem Muster folgend ein Mechanismus angewendet, der vom Universellen zum Besonderen reicht.

Andererseits haben wir die Induktion, die von Einzelfällen ausgehend ein allgemeines Gesetz abstrahiert. Wie in der Geschichte der Logik immer wieder hervorgehoben wird, ist jede Induktion eigentlich eine Vermutung, und daher sind diese Sätze, wenn wir die induktive logische Methode anwenden wollen, als Axiome zu betrachten.

In der modernen Logik, auf die wir in diesem Abschnitt nicht eingehen werden, da sie sich mit fortgeschrittenen Konzepten befasst, die weit über den Rahmen dieser einfachen elementaren Grundlagen hinausgehen, wird die induktive Methode nicht als die richtige logische Argumentation akzeptiert, um Thesen mathematisch zu beweisen.

Die deduktive Methode ist daher die Hauptmethode des mathematischen Beweises.

Es wird unterschieden in die direkte Methode, bei der ausgehend von den Hypothesen die These tatsächlich nachgewiesen wird, und in die indirekte Methode, bei der die These als wahr angenommen wird und der logische Weg zu den Hypothesen rückwärts rekonstruiert wird.

Die indirekte Methode wiederum kann sich des Widerspruchsbeweises bedienen, der durch die Verneinung der These zu einem logischen Widerspruch führt und somit die These für das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten bewiesen bleibt.

Die Widerspruchsmethode besteht also nicht darin, zu beweisen, dass sie wahr ist, sondern dass sie falsch ist.

Manchmal kann man auf den Beweis des sogenannten Kontranominals zurückgreifen, um zum Beweis des Satzes zu gelangen.

Dies ergibt sich aus der folgenden logischen Beziehung.

Wenn es wahr ist , dann ist es zwangsläufig auch wahr .

In einigen bestimmten Bereichen der Mathematik, zum Beispiel in der Geometrie, können bestimmte demonstrative Konstrukte wie die der Ähnlichkeit und der Äquivalenz verwendet werden.

Logische Demonstrationsverfahren sind konstruktiv und iterativ in dem Sinne, dass frühere Ergebnisse verwendet werden können, um neue Thesen zu demonstrieren (dies ist beispielsweise der Fall bei Lemmata und Korollaren) oder dieselben logischen Verfahren ausreichend oft verwendet werden können, um den Beweis zu führen der Abschlussarbeit.

Schließlich weisen wir darauf hin, dass mathematische Theoreme, gerade weil sie bewiesen werden müssen, absolut weder wahr noch falsch sind; es sind die Hypothesen, die die Richtigkeit oder das Gegenteil der Thesen bestimmen.

Gerade aus diesem Grund ist durch den Mechanismus der Hypothesenschwächung eine allgemeine Erweiterung des mathematischen Wissens gegeben.

Wenn eine allgemeine These unter geeigneten Hypothesen bewiesen wird, welche der letzteren kann "gelockert" werden, um dieselbe These zu erhalten?

Wenn dagegen andere Hypothesen geändert werden, welche neuen Thesen lassen sich ableiten?

Dies sind die Hauptfragen, die zur Überwindung von Vorkenntnissen sowohl in Logik als auch in Mathematik führen.

Anwendungen der Booleschen Logik: elektronische Rechner

Die Boolesche Logik, auch Boolesche Algebra genannt, ist die Grundlage moderner elektronischer Taschenrechner.

Tatsächlich basiert ein Computerspeicher oder ein Prozessor desselben oder eines Smartphones auf einzelnen Einheiten, die durch logische Operationen verbunden sind.

In elektronischen Taschenrechnern wird jeder einzelne Befehl von Hochsprachen (z. B. Betriebssystemen) codiert, die wiederum auf Programmiercodes mittlerer Ebene basieren.

Diese Codes werden von anderen Programmen vermittelt, die direkt auf den physischen Teil der Maschine einwirken.

Das Herzstück jedes elektronischen Taschenrechners ist eine Logikeinheit, die in der Lage ist, eine große Anzahl logischer Operationen pro Sekunde zu codieren und auszuführen.

In der Elektronik werden logische Operationen wie folgt definiert:

- Die Negation heißt NICHT

- Die logische Verknüpfung heißt AND

- Die inklusive Disjunktion heißt OR

- Die exklusive Disjunktion heißt XOR.

Außerdem heißen die Negationen der vorherigen NAND, NOR und XNOR.

Elektronische Taschenrechner bestehen aus Milliarden elementarer Logikzellen, von denen jede eine dieser logischen Operationen codiert.

Das binäre Zahlensystem, das nur aus zwei Ziffern 0 und 1 besteht, eignet sich sehr gut zur Interpretation der Booleschen Logik. Die Ziffer 0 entspricht dem Status "falsch", die Ziffer 1 dem Status "wahr".

In der Informatik werden diese Ziffern Bits genannt.

Physikalisch besteht der falsche Zustand aus einem erdfreien Stromkreis (dh ohne Anlegen einer elektrischen Spannung), während der wahre Zustand aus einem polarisierten Stromkreis besteht.

Durch Anlegen einer direkten Referenzspannung (viele Jahre waren es durchgehend 5 Volt, aber heute gibt es eine Tendenz, diesen Wert von 3,3 Volt auf 2,1 bis auf 1,8 oder 1,3 oder 0,9 Volt zu senken), ist es möglich, die verschiedenen logischen Zustände zu identifizieren und bauen die physikalischen Grundlagen eines elektronischen Taschenrechners auf.

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Einsicht: Syllogismus und mathematische Logik

Der Syllogismus entwickelt sich um diese Argumentation herum, die in drei Aussagen unterteilt ist:

Erster Satz: Alle Menschen sind sterblich.

Zweiter Satz: Sokrates ist ein Mensch.

Dritte Aussage: Sokrates ist sterblich.

Übersetzt mit der Symbologie der mathematischen Logik wird es (genannt A die Menge aller Menschen, b das identifizierende Element von Sokrates und C die Tatsache, sterblich zu sein):

Es ist klar, dass diese Argumentation logisch einwandfrei ist.

Das eigentliche Problem liegt genau in der ersten Aussage.

Zu sagen „alle Menschen sind sterblich“ bedeutet an sich schon zu wissen, dass Sokrates als Mensch sterblich ist. Mit anderen Worten, die erste Aussage leitet sich von einer bereits a priori bekannten Induktion ab und ist als solche eine Vermutung, die nicht bewiesen werden kann, aber als wahr angenommen wird (der gesunde Menschenverstand sagt uns, dass dies der Fall ist).

Als solches erzeugt der Syllogismus, der eine auf einer ersten induktiven Aussage basierende Argumentation ist, kein wirkliches Wissen.

Am Ende des dritten Satzes wissen wir, dass Sokrates sterblich ist, aber in Wirklichkeit wussten wir es schon am Anfang, denn um behaupten zu können, dass alle Menschen sterblich sind, mussten wir Sokrates selbst notwendigerweise schon mit einbeziehen.

Die moderne Logik missachtet die Verwendung des Syllogismus zur Bereicherung des Wissens und stützt sich auf andere logische Konstrukte, die auf der Ableitung und Demonstration von Theoremen basieren.

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Übungen

Übung 1

Beweisen Sie den ersten Satz von De Morgan mit logischen Eigenschaften.

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Der erste Satz von De Morgan besagt:

Wenden wir das Distributivgesetz der Negation in Bezug auf die logische Konjunktion an, kommen wir zum Ergebnis des Satzes von De Morgan.

Ebenso ist der zweite Satz bewiesen.

Eine alternative Beweismethode ist die Verwendung von Wahrheitstabellen.

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Übung 2

Erstellen Sie die Wahrheitstabelle für das folgende logische Konstrukt.

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F

F

F

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v

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v

F

v

v

v

v

v

v

v

v

F

F

F

v

F

F

F

F

Durch Anwendung der inklusiven Disjunktion auf die beiden Tabellen ist klar, dass das logische Konstrukt immer wahr ist.

Es handelt sich also um eine Tautologie.

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Übung 3

Begründen Sie durch Boolesche Logik die Richtigkeit der Methode zum Nachweis des Kontranomens.

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Die Methode zum Nachweis des Kontranomen basiert darauf, die These zu leugnen und zu zeigen, dass diese Leugnung die Leugnung der Hypothesen impliziert.

Logisch bedeutet es, zuzugeben, dass, wenn es wahr ist , es notwendigerweise auch wahr ist .

Aus der Booleschen Logik wissen wir, dass die logische Implikation nur dann falsch ist, wenn die Ursache wahr und die Konsequenz falsch ist.

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Wie man sieht, stimmen die beiden Wahrheitstabellen überein.

2

Elementare Rechenoperationen

Einführung

Zusätzlich zur Logik stützt sich das mathematische Alphabet auf Zahlen, die konzeptionelle Abstraktionen sind, um die verschiedenen Mengen eines bestimmten Elements zu codieren.

Fast alle numerischen Alphabete, wie auch unseres, basieren auf Zeichen, die durch Zahlen gegeben sind; In unserem dezimalen Zahlensystem sind die Ziffern zehn, einschließlich Null, was eine Nullmenge anzeigt.

Eine Zahl ergibt sich aus der Zusammensetzung mehrerer Ziffern; von rechts beginnend stellt die letzte Ziffer die Einer dar, die vorletzte die Zehner, die vorletzte die Hunderter, die viertletzte die Tausender.

Wir können elementare Operationen in Bezug auf jedes numerische Alphabet definieren, der Einfachheit halber berücksichtigen wir nur das Dezimalsystem, das wir ausgiebig verwenden.

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Addition und Subtraktion

Die Addition berücksichtigt die Zunahme einer Menge durch eine andere (oder andere).

Die einzelnen Größen heißen Summanden, das Ergebnis der Addition heißt Summe.

Für die Addition gelten die kommutativen und assoziativen Eigenschaften, außerdem ist das neutrale Element durch Null gegeben.

Die Addition erfüllt auch eine Ordnungseigenschaft, da die Summe immer größer als die einzelnen Summanden ist und umgekehrt jeder Summande immer kleiner als die Summe ist.

Das mathematische Symbol für die Addition ist +.

Die Subtraktion hingegen berücksichtigt die Reduzierung einer Größe durch eine andere (oder andere).

Die zu subtrahierende Größe heißt Minuend, die zu subtrahierende Größe Subtrahend, das Ergebnis Differenz.

Für die Subtraktion gilt die assoziative Eigenschaft, das neutrale Element ist immer durch Null gegeben und eine Ordnungseigenschaft ist erfüllt, da die Differenz immer kleiner als der Minuend und umgekehrt der Minuend immer größer als die Differenz ist.

Das mathematische Symbol der Subtraktion ist minus –.

Ein Sonderfall der Subtraktion tritt auf, wenn der Subtrahend größer als der Minuend ist.

In diesem Fall ist die Differenz negativ, dh kleiner als Null.

Negative Zahlen haben genau die gleiche Form wie positive Zahlen, außer mit dem Präfix - .

Dabei sehen wir, dass die Subtraktion nicht das Kommutativgesetz erfüllt, sondern ein anderes, das antikommutativ heißt:

Diese Formulierung ermöglicht es uns, die Konzepte der Addition und Subtraktion zu vereinheitlichen.

Wir können die Zeichen + und – einzelnen Zahlen zuordnen und nicht der Operation.

Daher ist die Subtraktion eine Addition zwischen einer positiven und einer negativen Zahl, wobei die bekannte Vorzeichenregel angewendet wird, nach der eine gerade Anzahl übereinstimmender Zeichen (zwei plus oder zwei minus) ein positives Vorzeichen ergibt, während eine gerade Anzahl nicht übereinstimmender Zeichen ( ein Plus und ein Minus) ergibt ein negatives Vorzeichen.

Umgekehrt ist es bei einer ungeraden Anzahl übereinstimmender und nicht übereinstimmender Vorzeichen.

In dieser vereinheitlichenden Sicht gilt das Kommutativgesetz immer, da die Subtraktion in die Addition fällt. Darüber hinaus hat jede Zahl eine Umkehrung in Bezug auf die Additions-/Subtraktionsoperation, die durch ihr negatives Gegenstück gegeben ist.

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Multiplikation und Division

Die Multiplikation ist eine Operation, die die iterierte Addition gleicher Zahlen zusammenfasst.

Die zu multiplizierenden Zahlen heißen Faktoren, das Ergebnis heißt Produkt.

Das Multiplikationszeichen wird durch gegeben , auch wenn in der Mathematik häufiger der Punkt verwendet wird oder das Multiplikationszeichen ganz weggelassen wird (was in den allermeisten Fällen der Fall ist).

Bei der Multiplikation gilt das Kommutativ- und Assoziativgesetz, außerdem gilt bei Addition und Subtraktion das Distributivgesetz:

Das neutrale Element ist durch Eins gegeben (jede mit 1 multiplizierte Zahl ergibt sich immer selbst), während die Regel der zuvor exponierten Zeichen immer gilt.

Außerdem gibt es für die Multiplikation auch ein Nullelement, das genau durch Null gegeben ist (jede mit Null multiplizierte Zahl ergibt immer Null).

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation.

Die zu dividierende Zahl heißt Dividend, die dividierende Zahl Divisor und das Ergebnis Quotient.

Das Divisionszeichen ist gegeben durch , manchmal wird auch der Schrägstrich / verwendet.

Die für die Multiplikation aufgeführten Eigenschaften gelten nicht für die Division.

Das neutrale Element ist durch Eins gegeben (jede durch 1 geteilte Zahl ergibt sich immer selbst) und die Vorzeichenregel gilt immer.

Die Operation Division durch Null ist jedoch nicht definiert.

Wenn der Dividende größer als der Divisor ist, ist der Quotient größer als 1, und wenn der Dividende kleiner als der Divisor ist, ist der Quotient kleiner als 1.

Die Divisionsoperation liefert nicht ganzzahlige Zahlen, dh Zahlen, die nur mit Ziffern kleiner als die Einheit definiert werden können.

Für solche Zahlen wird die Konvention verwendet, ein Komma zwischen dem oberen und dem unteren Teil zu setzen.

Die Nachkommastellen drücken jeweils Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw. aus.

Wenn der Dividende ein Vielfaches des Divisors ist, ist der Quotient eine ganze Zahl und wird Quote genannt, und in diesem Fall ist der Dividende durch den Divisor teilbar, wobei der Rest Null ist.

Eine Zahl ist immer durch sich selbst (ergibt den Wert 1) und durch 1 (ergibt den Wert selbst) teilbar.

Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind, heißen Primzahlen.

Zahlen, die durch 2 teilbar sind, heißen gerade, solche, die nicht durch 2 teilbar sind, heißen ungerade.

Ein Quotient kann immer als Summe einer Quote und eines Restes ausgedrückt werden.

Nicht ganzzahlige Quotienten können eine begrenzte Anzahl von Dezimalstellen oder eine unendliche Anzahl solcher Stellen haben.

Im letzteren Fall sprechen wir von periodischen Zahlen, da sich die Dezimalziffern (ganz oder teilweise) immer in der gleichen Reihenfolge wiederholen.

Die Periodizität wird mit einem Zeichen über der oder den periodischen Ziffer(n) angezeigt.

Beispielsweise ist der aus der Division zwischen 1 und 3 erhaltene Quotient durch eine Zahl mit unendlich vielen Dezimalstellen, die alle gleich 3 sind, gegeben und wird wie folgt angegeben .

Eine andere Möglichkeit, die Division auszudrücken, ist das Konzept des Bruchs.

In diesem Fall heißen der Dividend und der Divisor Zähler bzw. Nenner.

Da die Division durch Null nicht definiert ist, kann der Nenner eines Bruchs niemals gleich Null sein.

Ein Bruch wird mit dem Bruchzeichen –– gekennzeichnet, der Zähler steht im oberen Teil, der Nenner im unteren Teil.

Ein Bruch heißt auf seine kleinsten Glieder reduziert oder irreduzibel, wenn Zähler und Nenner Primzahlen sind, also nicht mehr durcheinander teilbar sind und einen Bruch ergeben.

Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, ist der Bruch größer als 1 und wird als uneigentlich bezeichnet.

Umgekehrt ist es kleiner als 1 und wird als echt bezeichnet.

Schließlich ist der Bruch offensichtlich, wenn der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist (denn in diesem Fall ist der Bruch tatsächlich eine ganze Zahl).

Wir definieren den Kehrwert einer Zahl als diejenige Zahl, die multipliziert mit der ersten immer 1 ergibt.

Mit anderen Worten, der Kehrwert einer Zahl ist ihr inverses Element in Bezug auf die Multiplikation.

Mit dieser Definition und der Notation von Brüchen können wir den Begriff der Division mit dem der Multiplikation vereinheitlichen.

Eine Division ist nichts anderes als eine Multiplikation zwischen dem Dividenden und dem Kehrwert des Divisors;.

Zum Beispiel:

Wir definieren das kleinste gemeinsame Vielfache (abgekürzt lcm) von zwei oder mehr ganzen Zahlen, das kleinste positive ganzzahlige Vielfache aller betrachteten Zahlen.

Wenn eine dieser Zahlen null ist, dann ist dieser lcm null.

Wir definieren den größten gemeinsamen Teiler (abgekürzt GCD) von zwei oder mehr ganzen Zahlen, die nicht alle gleich Null sind, die größte positive ganze Zahl, durch die alle Zahlen geteilt werden können.

Im Fall von zwei Zahlen, wenn eine davon Null ist, dann ist GCD gleich der anderen Zahl.

Zwei Primzahlen zueinander haben einen ggT gleich 1.

Potenzieren und Wurzelziehen

Die Potenzierung ist eine Operation, die die iterierte Multiplikation gleicher Zahlen summiert.

Die mehrfach multiplizierte Zahl heißt Basis, die Anzahl der iterierten Multiplikationen heißt Exponent.

Der Exponent und die Basis können ganze Zahlen oder Dezimalzahlen sein, sowohl positiv als auch negativ.

Das Symbol für die Potenzierung wird durch die hochgestellte Basis gegeben, wo beispielsweise der Exponent steht

und lautet "zwei auf drei erhöht" oder "zwei auf drei".

Wenn der Exponent gleich 2 ist, spricht man von Quadrieren, wenn er gleich 3 ist, von Kubieren.

Jede Exponentiation einer Nullbasis ergibt immer Null, während wenn die Basis Eins ist, das Ergebnis immer Eins ist.

Eins und Null sind also die beiden neutralen Elemente der Potenzierung.

Eine negative Basis ergibt eine negative Potenz, wenn der Exponent ungerade ist, eine positive, wenn der Exponent gerade ist, während eine positive Basis immer eine positive Potenz ergibt.

Bei gleicher Basis entspricht der negative Exponent dem Kehrwert der Zahl: zum Beispiel

Daher gibt es eine Verbindung zwischen den Operationen der Multiplikation, Division und Potenzierung, die sich auch auf die Konzepte der neutralen und inversen Elemente erstreckt.

Angesichts der Potenzierung können wir die Konzepte von Einheiten, Zehnern, Hundertern und Tausendern überprüfen.

Einheiten sind jene Ziffern, die den Wert von , Zehner , Hunderter und Tausender multiplizieren .

Deshalb heißt unser Rechensystem dezimal, da es Potenzen zur Basis 10 folgt.

Die Umkehroperation zur Potenzierung wird als Wurzelziehen bezeichnet und mit dem Symbol gekennzeichnet, bei dem der Exponent der Wurzel oben links stehen muss.

Die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird, heißt Radikal, während das Ergebnis Radikal heißt.

Wenn wir das obige Beispiel nehmen, haben wir

wobei 8 das Radikal ist, 3 der Exponent ist und das Radikal 2 ist.

Wenn der Exponent gleich 2 ist, spricht man von einer Quadratwurzel, wenn er gleich 3 ist, von einer Kubikwurzel.

Wenn die Radikale ganze Zahlen sind, werden die jeweiligen Radikale als vollkommen bezeichnet (quadratische Quadratzahlen im Fall der Quadratwurzel, perfekte Kubikzahlen im Fall der Kubikwurzel).

Alle anderen Radikale sind Dezimalzahlen, haben aber unendlich viele sich nicht wiederholende Nachkommastellen.

Wenn der Exponent der Wurzel gerade ist, muss die Wurzel zwangsläufig größer oder gleich Null sein, ist sie ungerade, kann die Wurzel entweder positiv oder negativ sein.

Schließlich ist das Wurzelziehen von Eins und Null immer gleich Eins bzw. Null, unabhängig vom Exponenten. Eins und Null sind also die beiden neutralen Elemente des Wurzelziehens.

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Numerische Ausdrücke und Zahlensysteme

Mathematische Ausdrücke enthalten Zahlen (ganze Zahlen, Dezimalzahlen, in Form von Brüchen, Potenzen oder Wurzeln) und mathematische Operationen, wie die bisher gezeigten.

Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen haben Vorrang vor Addition und Subtraktion in dem Sinne, dass bei einem Ausdruck wie diesem 2x3+4 zuerst die Multiplikation zwischen 2 und 3 erfolgt und dann dieses Ergebnis mit 4 summiert wird.

Wenn Sie unterschiedliche Prioritäten setzen wollen, müssen Sie Klammern einführen: Die geschweiften Klammern haben Vorrang vor den eckigen und letztere vor den runden.

Wenn der vorherige Ausdruck beispielsweise als 2x(3+4) geschrieben worden wäre, müsste man zuerst 3+4 addieren und dieses Ergebnis dann mit 2 multiplizieren.

Das von uns verwendete System ist das Dezimalsystem, aber es gibt viele andere, die sich jeweils durch eine andere Anzahl von Ziffern auszeichnen.

Aus der Eigenschaft der Potenzen können wir verstehen, wie ein anderes Zahlensystem als das Dezimalsystem eine andere Basis hat.

Insbesondere die Binärsysteme (deren Ziffern nur 0 und 1 sind) und die Hexadezimalsysteme (zusätzlich zu den zehn Ziffern unseres Systems gibt es auch die Buchstaben A, B, C, D, E, F).

Schließlich ist es für geometrische Systeme sinnvoll, innerhalb des Dezimalsystems eine Methode der sexagesimalen Stellennummerierung zu definieren, die also die geometrischen „Zahlen“, Grad genannt, nicht in Hundertstel, sondern in 60er-Brüche unterteilt.

Dieses System ist das gleiche, das wir zum Messen der Zeit in Minuten und Sekunden verwenden.

3

MENGENLEHRE

Einführung

Wir definieren das primitive und intuitive Konzept der mathematischen Menge als eine Sammlung von Objekten, genannt Elemente, die mit Kleinbuchstaben und Mengen mit Großbuchstaben gekennzeichnet sind.

Wenn ein Element zu einer gegebenen Menge gehört, wird es mit dem logischen Symbol der Zugehörigkeit angezeigt.

Zwei Mengen fallen genau dann zusammen, wenn sie die gleichen Elemente haben.

Eine Menge heißt endlich, wenn sie endlich viele Elemente hat, umgekehrt heißt sie unendlich.

Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge heißt Kardinalität und wird mit card(A) bezeichnet.

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Operationen

Auf Mengen können die bereits im ersten Kapitel beschriebenen logischen Operationen Vereinigung, Durchschnitt und Negation durchgeführt werden.

Vereinigung entspricht inklusiver Disjunktion, während Schnittmenge logischer Konjunktion entspricht.

Wir können auch die Differenz zwischen Menge B und Menge A auf die gleiche Weise definieren, wie wir die Differenz zweier Zahlen definieren.

Wir definieren das kartesische Produkt als die Menge aller möglichen geordneten Paare (a,b), wobei a zur Menge A und b zur Menge B gehört.

Das kartesische Produkt sieht so aus:

Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie keine Elemente gemeinsam haben

Wo die leere Menge auf dem zweiten Mitglied vorhanden ist.

Eine Menge, die in einer anderen enthalten ist, heißt echte Teilmenge , wenn auch Gleichheit gilt, heißt sie uneigentlich.

Die leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen vorhandenen Menge.

Stattdessen wird die Teilemenge als diejenige Menge bezeichnet, die durch die Elemente gebildet wird, die sich aus den Teilmengen der Ausgangsmenge zusammensetzen.

Wenn wir A als Startmenge bezeichnen, ist die Menge der Teile P(A) und diese Beziehung gilt immer:

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Numerische Sätze

Wir können numerische Mengen konstruieren, das heißt Mengen, deren Elemente Zahlen sind.

Die Menge der natürlichen Zahlen, bezeichnet mit N, ist die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Die Menge der relativen Zahlen, die mit Z bezeichnet wird, ist die Menge sowohl positiver als auch negativer ganzer Zahlen.

Die Menge der rationalen Zahlen, die mit Q bezeichnet wird, ist die Menge der Zahlen, die als Verhältnisse zwischen zwei positiven und negativen ganzen Zahlen erhältlich sind.

Die Menge der irrationalen Zahlen, die mit I bezeichnet wird, ist die Menge der sich nicht wiederholenden Dezimalzahlen, die nicht als Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden können.

Die Menge der reellen Zahlen, bezeichnet mit R, ist die Vereinigung der Menge der irrationalen Zahlen mit denen der rationalen Zahlen.

Daher gelten zwischen diesen Mengen die folgenden Eigenschaften:

In der Menge der natürlichen Zahlen sind die Addition und Multiplikation zwischen zwei natürlichen Zahlen definiert, außerdem gelten die assoziativen, kommutativen, distributiven Eigenschaften und die Existenz des neutralen Elements (Null für Addition und Eins für Multiplikation).

Eine solche Menge ist abgeschlossen in dem Sinne, dass Summe und Produkt natürlicher Zahlen auch natürliche Zahlen sind.

Die Menge der natürlichen Zahlen kann axiomatisch aus den Peano-Axiomen erhalten werden, die jeweils sind:

1) Es gibt eine natürliche Zahl, die der Nullgröße namens Null entspricht.

2) Jede natürliche Zahl a hat eine natürliche Nachfolgerzahl, die als S(a) bezeichnet wird

3) Null ist kein Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl

4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger

5) Besitzt eine Eigenschaft P die Null und der Nachfolger jeder natürlichen Zahl, die diese Eigenschaft besitzt, so besitzen alle natürlichen Zahlen die Eigenschaft

Aus dem Vorhergehenden ist ersichtlich, dass Peanos letztes Axiom vom Induktionsprinzip Gebrauch macht.

In der Menge der relativen Zahlen gelten die gleichen Eigenschaften, die für die Menge der natürlichen Zahlen erwähnt wurden, mit der Hinzufügung der Operation der Subtraktion und der Existenz des entgegengesetzten Elements (das das Negative der ausgewählten Zahl ist).

In der Menge der rationalen Zahlen gelten die gleichen Eigenschaften, die für die Menge der relativen Zahlen erwähnt wurden, mit der Hinzufügung der Divisionsoperation, die immer definiert ist, außer für Nenner gleich Null.

In der Menge der irrationalen Zahlen ist das Wurzelziehen eindeutig definiert, sofern das Radikal einer geraden Wurzel größer oder gleich Null ist.

In der Menge der reellen Zahlen sind alle obigen Operationen mit den beiden Existenzbedingungen definiert, die sich aus der Menge der rationalen Zahlen (Nenner ungleich Null) und aus der Menge der irrationalen Zahlen (Radikal mit gerader Wurzel größer oder gleich Null) ableiten. .

Die Menge der reellen Zahlen ist bezüglich Addition und Multiplikation ein Körper, da die assoziativen, kommutativen, distributiven und Existenzeigenschaften der neutralen und inversen Elemente bezüglich der beiden genannten Operationen gelten.

Außerdem ist diese Menge total geordnet, da für die absteigenden bzw. ansteigenden Ordnungsrelationen zusätzlich zur Dichotomie-Eigenschaft (bei zwei nicht übereinstimmenden reellen Zahlen, oder eine größer als andere oder umgekehrt) die reflexiven, antisymmetrischen und transitiven Eigenschaften gelten umgekehrt).

Um die Wahrheit zu sagen, sind sowohl die Eigenschaften der totalen Ordnung als auch die Eigenschaft, ein Körper zu sein, auch der Menge der rationalen Zahlen eigen.

Der große Unterschied der reellen Zahlen besteht darin, dass die Ordnung vollständig ist, dh jede nichtleere Teilmenge von R hat ein Supremum in R.

Dies ist das Axiom von Dedekind, und es leitet sich direkt aus der Einbeziehung der irrationalen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen ab.

Dieser Unterschied findet sich auch in der Kardinalität dieser Zahlenmengen wieder.

Tatsächlich haben sie, obwohl sie alle unendliche Mengen sind, nicht die gleiche Kardinalität, dh es gibt Unendlichkeiten unterschiedlicher Ordnung.

Zwei Mengen werden als äquikardinal oder äquipotent bezeichnet, wenn zwischen ihren Elementen eine Eins-zu-eins-Korrespondenz hergestellt werden kann, dh wenn jedem Element von A ein und nur ein Element von B zugeordnet ist und umgekehrt.

Die Eigenschaft der Äquikardinalität ist eine Äquivalenzrelation, und wir können endliche Mengen in Äquivalenzklassen unterteilen, von denen jede durch eine natürliche Zahl dargestellt werden kann.

An diesem Punkt hat die Klasse von Mengen, die in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit der Menge der natürlichen Zahlen gebracht werden kann, dieselbe Mächtigkeit wie diese und heißt die Mächtigkeit des Zählbaren (die Menge heißt daher zählbar, auch wenn es ist unendlich).

Dabei sehen wir, dass N und Z die Mächtigkeit des Abzählbaren besitzen.

Cantor bewies, dass auch Q die Kardinalität des Zählbaren hat, also unter geeigneten Äquivalenzklassen in eine Eins-zu-Eins-Beziehung zur Menge der natürlichen Zahlen gesetzt werden kann.

Andererseits kann die Menge der reellen Zahlen nicht in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit der der natürlichen Zahlen gebracht werden, da irrationale Zahlen vorhanden sind, die in keiner Weise in eine Äquivalenzklasse aufgenommen werden können, da sie ein unendliches Non haben -periodische Dezimalziffern.

Die Menge der reellen Zahlen hat also keine Kardinalität des Abzählbaren, sondern hat Kardinalität des Kontinuums.

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Übungen

Übung 1

Beweisen Sie, dass in der Menge der natürlichen Zahlen die assoziativen, kommutativen, distributiven Eigenschaften und die Existenz des neutralen Elements (Null für Addition und Eins für Multiplikation) gelten.

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In der Menge der natürlichen Zahlen sind die Operationen Addition und Multiplikation definiert.

Das Kommutativgesetz der Addition ergibt sich aus der Kombination der Axiome Nummer 2 und Nummer 4 von Peano.

Die kommutative Eigenschaft der Multiplikation leitet sich von letzterem ab, wobei daran erinnert wird, dass Multiplikation nichts anderes als eine Summe ist (eine Zahl mit einer anderen zu multiplizieren bedeutet, die Zahl selbst so oft zu addieren, wie die Ziffer, mit der sie multipliziert wird).

Das Assoziativgesetz der Addition ergibt sich aus den Axiomen 2 und 4 und aus dem Kommutativgesetz.

Identisch für den Fall der Multiplikation.

Aus diesen beiden Eigenschaften leitet sich die distributive von Addition und Multiplikation ab.

Das neutrale Element der Addition ist Peanos erstes Axiom.

Das neutrale Element der Multiplikation ist der erste Nachfolger von Null.

4

Wörtliche Berechnung

Operationen

In der Mathematik ist die Literalrechnung weit verbreitet, dh das Ersetzen von Zahlen durch Buchstaben, die beliebige Zahlenwerte annehmen können. Die Wahl der Buchstaben ist völlig willkürlich und berührt nicht die Allgemeingültigkeit dessen, was wir erklären werden. Dieser Bereich der Mathematik wird Algebra genannt, und die Operationen, die wir auflisten werden, werden algebraisch genannt.

Dabei können die Additions- und Subtraktionsoperationen wie folgt geschrieben werden:

Und auf die gleiche Weise können die Eigenschaften dieser Operationen umgeschrieben werden.

Identisch haben wir für die Multiplikation (in Erinnerung an die verschiedenen Symbole und die Möglichkeit, sie wegzulassen):

Für die Multiplikation können wir also das Distributivgesetz bezüglich Addition und Subtraktion umschreiben:

Diese Eigenschaft wird, wenn man sie in die entgegengesetzte Richtung liest, dh von rechts nach links, gemeinsame Faktorgruppierung genannt und ist entscheidend für die Entwicklung von Ausdrücken, die den wörtlichen Kalkül enthalten.

Für Brüche gelten die folgenden Multiplikations- und Additions-/Subtraktionseigenschaften:

Eine wörtliche Beziehung, die gcd und lcm zwischen zwei Zahlen verbindet, ist gegeben durch:

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Machtoperationen

Potenzierung und Wurzelziehen werden somit bezeichnet

Und sie lesen sich als „a hoch n-te Potenz“ und „n-te Wurzel von a“ –

Die Eigenschaften sind wie folgt:

Daher ist das Produkt von Potenzen mit gleicher Basis durch die Summe der Potenzen gegeben, während die Exponentiation einer Potenz durch das Produkt der Potenzen gegeben ist.

Erinnern wir uns daran, dass negative Exponenten auf Bruchsymbole zurückführen:

Wir haben die folgende Doppeleigenschaft in Bezug auf die Aufteilung zwischen Mächten mit derselben Basis:

Das heißt, die Teilung zwischen Potenzen mit derselben Basis ist durch die Differenz der Potenzen gegeben.

Wenn sich stattdessen die Basen ändern, aber die Exponenten gleich sind, haben wir:

Die beiden gerade erwähnten Eigenschaften werden als gemeinsame Faktorgruppierung der Leistung bezeichnet.

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Operationen an Radikalen

Unter Hinweis darauf, dass gebrochene Exponenten zum Wurzelziehen führen:

Wir haben die folgenden Eigenschaften von Radikalen:

Die erste Eigenschaft fasst die Definitionen von Potenzieren und Wurzelziehen zusammen und besagt, dass es sich um Umkehroperationen handelt, dh die Potenzierung mit der n-ten Potenz einer n-ten Wurzel einer Zahl gibt die Zahl selbst zurück.

Die zweite Eigenschaft besagt, dass die n-te Wurzel einer m-ten Wurzel durch eine Wurzel gegeben ist, deren Index das Produkt von n mal m ist.

Die dritte Eigenschaft gibt die Austauschbarkeit der Wurzel- und Exponentiationsoperationen an.

Die letzte Eigenschaft heißt Rationalisierung des Nenners (umgekehrt gelesen heißt sie Irrationalisierung).

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Existenzbedingungen

Alle in diesem Kapitel vorgestellten Operationen sind nur unter zwei verschiedenen Bedingungen definiert, die wir von nun an Existenzbedingungen nennen werden.

Die erste wird durch den Nenner eines Bruchs gegeben, der immer von Null verschieden sein muss.

Die zweite ergibt sich aus der Wurzel einer geraden Wurzel, die immer größer oder gleich Null sein muss.

In Formeln haben wir:

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Monom

Wir definieren Monom als einen algebraischen Ausdruck, in dem weder Addition noch Subtraktion vorkommt, bestehend aus einem numerischen Koeffizienten und einem wörtlichen Teil.

Der Grad eines Monoms ist die Summe der darin enthaltenen Exponenten.

Zwei Monome werden als ähnlich bezeichnet, wenn sie den gleichen wörtlichen Teil haben, der auf die gleichen Exponenten erhoben wird.

Die Multiplikation und Division von Monomen ergeben sich aus den Regeln, die bei der Rede von Potenzen ausgedrückt werden, zum Beispiel haben wir mit K und H beliebige numerische Koeffizienten:

Polynome

Durch Addition und Subtraktion von Monomen, die einander nicht ähnlich sind, entstehen Polynome.

Wenn das Polynom aus zwei Monomen besteht, wird es Binom genannt, wenn es stattdessen drei Monome gibt, wird es Trinom genannt.

Der Grad eines Polynoms ist der maximale Grad der einzelnen Monome, aus denen das Polynom besteht. Ein Polynom vom Grad null ist eine numerische Konstante, wenn es vom Grad eins ist, wird es als linear bezeichnet, vom Grad zwei quadratisch (oder konisch), vom Grad drei kubisch.

Das Produkt von Polynomen ergibt sich aus der Summe der Produkte jedes einzelnen Monoms des ersten Polynoms mit allen anderen Monomen des zweiten Polynoms, wobei die bekannte Regel des Distributivgesetzes angewendet wird.

Mit der Einführung von Polynomen wird es natürlich, alle wörtlichen Ausdrücke zu verallgemeinern.

Solche Ausdrücke können zu Identitäten führen, wenn wörtliche Teile miteinander verglichen werden, oder zu Gleichungen.

Wenn ein Wert eines wörtlichen Teils des Polynoms so ist, dass er das gesamte Polynom aufhebt, wird er die Wurzel des Polynoms genannt.

Die Suche nach den Wurzeln eines Polynoms ist entscheidend für die Lösung mathematischer Probleme und nutzt die Eigenschaften der Zerlegung von Polynomen in Primfaktoren, dh die Umkehrung des oben erwähnten Distributivgesetzes.

Die Division zwischen zwei Polynomen führt zur Bildung von zwei Polynomen, von denen eines durch den Quotienten und das andere durch den Rest gegeben ist, beide mit einem niedrigeren Grad als das Ausgangspolynom.

Wenn das Restpolynom Null ist, bedeutet dies, dass die beiden Ausgangspolynome untereinander teilbar sind und dass eine Primfaktorzerlegung durchgeführt wurde.

Dieser Satz ist als Restsatz bekannt. Eine Folgerung ergibt sich aus dem Satz von Ruffini, wonach a eine Wurzel des Polynoms ist, wenn ein Polynom durch (xa) teilbar ist.

Daraus leitet sich die wohlbekannte Ruffini-Regel ab, die es erlaubt, sobald die Wurzel eines Polynoms identifiziert wurde, es zu zerlegen und das Quotientenpolynom zu erhalten, das offensichtlich einen niedrigeren Grad als das Ausgangspolynom hat.

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Bemerkenswerte Produkte

Einige nützliche Ergebnisse für die Zerlegung von Polynomen liefern die sogenannten bemerkenswerten Produkte:

Quadrat eines Binoms:

Quadrat eines Trinoms:

Würfel eines Binoms:

Differenz der Quadrate:

Summe und Differenz zwischen Würfeln:

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Übungen

Übung 1

Lösen Sie den folgenden wörtlichen Ausdruck:

Wenden wir das Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition an, haben wir:

Begriffe hinzufügen und neu anordnen:

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Übung 2

Lösen Sie die folgende Bruchrechnung:

Die ersten beiden Terme verdichten sich zum Bruch:

Mit dem gleichen Nenner wie der dritte Term haben wir einfach:

Anmerkung: Die verwendete „Kreuzprodukt“-Regel ermöglicht es, die Berechnungen gegenüber der normalen Berechnung des größten gemeinsamen Teilers mit dem Nenner und der Multiplikation der restlichen Faktoren mit den Zählern stark zu vereinfachen. Dies ist einer der vielen Fälle, in denen die Mathematik einen "klugen" Weg bevorzugt, dh einen eleganten (und schnellen!) Weg, um Probleme zu lösen, ohne sich in nutzlosen, langwierigen Berechnungen zu verzetteln, die zu irgendwelchen Fehlern führen.

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Übung 3

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler der folgenden Zahlen: 15 und 18.

Der größte gemeinsame Teiler ist offensichtlich 3.

Die Regel erlaubt es uns, unnötige Berechnungen zu vermeiden, indem sie besagt, dass das kleinste gemeinsame Vielfache einfach gegeben ist durch 15 x 18 geteilt durch 3 oder 90.

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Übung 4

Lösen Sie die folgenden Ausdrücke:

A)

B)

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a) Der Ausdruck entwickelt sich so und erinnert an die Eigenschaften von Potenzen:

Wobei im dritten Schritt die gemeinsame Nenner-Bruchoperation durchgeführt wurde und im letzten Schritt der Term, der in allen wörtlichen Ausdrücken im Zähler auftaucht, als gemeinsamer Teiler gesammelt wurde.

Der Ausdruck ist nur definiert, wenn sowohl b als auch c nicht Null sind.

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b) Aus den Eigenschaften von Potenzen haben wir:

Der Ausdruck ist nur definiert, wenn sowohl a als auch b ungleich Null sind.

Übung 5

Lösen Sie die folgenden Radikale:

A)

B)

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a) Aus den Eigenschaften der Radikale ergibt sich:

Wo in der letzten Passage die Eigenschaft des „Eintragens“ ausgenutzt wurde, also b unter die dreißigste Wurzel zu bringen, um den negativen Exponenten innerhalb der Wurzel zu entfernen.

Eine schnellere Methode zum Lösen des Radikals wäre gewesen, sich daran zu erinnern, dass Wurzeln mit gebrochenen Exponentialen identifiziert werden können, dh:

Durch diese Methode können wir sehen, dass die Berechnung von Radikalen nichts anderes ist als eine Anwendung der Eigenschaften von Potenzen.

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B)

Im ersten Durchgang wurde der Begriff unter der Kubikwurzel als gemeinsamer Faktor gesammelt, während anschließend die Regeln der Radikale angewendet wurden.

Auch in diesem Fall hätten wir mit den normalen Eigenschaften der Potenzen fortfahren können.

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Übung 6

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Bestimmen Sie die Existenzbedingungen der folgenden Ausdrücke im Bereich der reellen Werte:

A)

B)

C)

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a) Es geht darum, Nenner ungleich Null aufzuerlegen, daher ist die Existenzbedingung jeder Wert von a, der zu R gehört, außer 0 und 3.

––––––––

b) Es geht darum, die Radikale größer oder gleich Null zu setzen. Es müssen also beide Bedingungen gelten:

––––––––

c) Wurzeln können jeden Wert annehmen, da Wurzeln einen ungeraden Index haben. Die einzige Existenzbedingung betrifft den Nenner, der von Null verschieden sein muss.

Der Ausdruck ist also auf der ganzen Menge R außer a=1 definiert.

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Übung 7

––––––––

Lösen Sie die folgenden Operationen mit Monomen:

A)

B)

––––––––

a) Es handelt sich um die Anwendung der normalen Ermächtigungsregeln:

––––––––

b) Wie in der ersten Übung:

––––––––

Übung 8

Lösen Sie die folgenden Polynome, indem Sie sie in Primfaktoren zerlegen:

A)

B)

C)

––––––––

a) Mit dem gemeinsamen Faktor erhalten wir:

––––––––

b) Durch Ausführen der Operationen und anschließendes Sammeln des gemeinsamen Faktors haben wir:

––––––––

c) Der erste Bruch vereinfacht sich wie folgt:

Für den zweiten Bruch wird die Polynomdivision durchgeführt, also:

Wobei Q der Quotient und R der Rest ist.

Das bedeutet, das Polynom zu finden, das multipliziert mit (a-1) den Zähler ergibt.

Der zweite Bruch bleibt also:

Das Ergebnis ist daher:

Wobei im letzten Schritt das bemerkenswerte Produkt, das durch die Differenz zwischen Quadraten gegeben ist, angewendet wurde.

––––––––

Übung 9

––––––––

Lösen Sie die folgenden Polynomausdrücke:

A)

B)

C)

––––––––

a) Die Aufgabe kann auf zwei Arten gelöst werden. Entweder indem man die Regel auf die Quadrate eines Binoms anwendet und nachrechnet (sinnlose Mühe, die wir dem Leser überlassen), oder indem man sich den Gesichtsausdruck ansieht und die mathematischen Regeln geschickt anwendet.

Es ist ein Unterschied zwischen Quadraten, also haben wir:

––––––––

b) Erläuterung der Konten, die wir haben:

––––––––

c) Zähler und Nenner des Bruchs sind Differenzen zwischen Quadraten, daher:

Weitere Vereinfachungen sind nicht möglich.

––––––––

Übung 10

––––––––

Faktorisieren Sie das folgende Polynom mit der Ruffini-Regel:

––––––––

Wenden wir das Schema nach der Regel von Ruffini an, so haben wir:

1

3

0

-2

-2

1

0

1

4

4

0

1

4

4

2

0

Das Polynom wird daher zerlegt in:

Das Polynom in Klammern hat eine Nullstelle, die von Hand nicht leicht zu berechnen ist, außer durch Rückgriff auf numerische Berechnungstechniken, die den Rahmen dieser Diskussion sprengen würden.

5

EBENE EUKLIDISCHE GEOMETRIE

Elementare Definitionen

Geometrie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Formen und Figuren in einem bestimmten Umfeld befasst.

Im Folgenden geben wir die Grundlagen der Elementargeometrie an, die bereits im antiken Griechenland weitgehend entwickelt wurde.

Der primitive Begriff der Geometrie ist der als dimensionslose und unteilbare Größe gedachte Punkt, der die Position charakterisiert und durch sie charakterisiert wird.

Eine unendliche und aufeinanderfolgende Menge von Punkten wird als Segment bezeichnet, wenn diese Menge durch zwei Punkte begrenzt wird, die Extrema genannt werden.

Zwei Segmente sind aufeinander folgend, wenn sie einen gemeinsamen Endpunkt haben, während sie extern sind, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben.

Zwei Segmente heißen inzident, wenn sie nur einen gemeinsamen Punkt haben, den sogenannten Schnittpunkt, der jedoch kein Extrem ist.

Der Mittelpunkt eines Segments ist der Punkt, der das Segment genau in zwei Hälften teilt.

Eine unendliche und aufeinanderfolgende Menge von Punkten wird als gerade Linie bezeichnet, wenn diese Menge nicht durch einen Endpunkt begrenzt ist, während sie als Halblinie bezeichnet wird, wenn es nur einen Endpunkt gibt.

Ein Segment kann daher als Teil einer Geraden angesehen werden.

Zwei aufeinanderfolgende Segmente sind benachbart, wenn sie zur selben Linie gehören.

Linien, Segmente und Halblinien sind durch eine einzige Dimension namens Länge gekennzeichnet.