Das Buch der Mathematik: Band 3 E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend von den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.
Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht als auch aus der Sicht der Sicht und Definitionen jedes bestimmten Typs und auf praktischer Ebene angenommen, um mehr als 1.000 Übungen zu lösen.
Der Ansatz zur Mathematik wird durch progressives Wissen vergeben und die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge aufgedeckt, damit der Leser einen kontinuierlichen Weg in der Untersuchung dieser Wissenschaft aufbauen kann.
Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analyse und Geometrie verabreichte fortgeschrittene Mathematik und schließlich den Teil der Statistiken, Algebra und Logik.
Das Schreiben steht als All-inclusive-Arbeit in Bezug auf die Mathematik und lässt keinen Aspekt der vielen Facetten aus, die es übernehmen kann.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

„Das Buch der Mathematik: Band 3

INTEGRAL- UND INTEGRAL-DIFFERENTIAL-GLEICHUNGEN

SPEKTRALTHEORIE

Mathematik und Diskrete Geometrie

FRAKTALE GEOMETRIE

NUMERISCHE BERECHNUNG

NUMERISCHE ANALYSE

DRITTER TEIL: STATISTIK, FORTGESCHRITTENE ALGEBRA UND FORTGESCHRITTENE LOGIK

KOMBINATORISCHE BERECHNUNG

ELEMENTARE STATISTIK

ZUFÄLLIGE VARIABLEN UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN

STATISTISCHE INFERENZ

STOCHASTISCHE PROZESSE

FORTGESCHRITTENE ALGEBRA

ALGEBRAISCHE STRUKTUREN

GALOIS-THEORIE

KOMBINATORISCHE GEOMETRIE

Zahlentheorie

ERWEITERTE MATHEMATISCHE LOGIK

„Das Buch der Mathematik: Band 3

SIMONE MALACRIDA

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend mit den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.

Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht angegangen, indem Theoreme und Definitionen jedes einzelnen Typs erläutert werden, als auch auf praktischer Ebene, indem mehr als 1.000 Aufgaben gelöst werden.

Die Herangehensweise an die Mathematik ist durch progressives Wissen gegeben, wobei die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge dargestellt werden, so dass der Leser einen kontinuierlichen Pfad im Studium dieser Wissenschaft aufbauen kann.

Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analysis und Geometrie gegebene fortgeschrittene Mathematik und schließlich der Teil über Statistik, Algebra und Logik.

Die Schrift versteht sich als umfassendes mathematisches Werk, das keinen Aspekt der vielen Facetten auslässt, die es annehmen kann.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

ANALYTISCHER INDEX

37 – INTEGRAL- UND INTEGRAL-DIFFERENTIAL-GLEICHUNGEN

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38 – SPEKTRALTHEORIE

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39 – MAT HEMATIK UND DISKRETE GEOMETRIE

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40 – FRAKTALE GEOMETRIE

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41 – NUMERISCHE BERECHNUNG

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42 – NUMERISCHE ANALYSE

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DRITTER TEIL : STATISTIK , FORTGESCHRITTENE ALGEBRA UND FORTGESCHRITTENE LOGIK

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43 – K OMBINATORISCHE BERECHNUNG

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44 – ELEMENTARE STATISTIK

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45 – ZUFÄLLIGE VARIABLEN UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN

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46 – STATISTISCHE SCHLUSSFOLGERUNG

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47 – STOCHASTISCHE PROZESSE I

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48 – FORTGESCHRITTENE ALGEBRA

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49 – ALGEBRAISCHE STRUKTUREN

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50 – GALOIS-THEORIE

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51 – KOMBINATORISCHE G EOMETRIE

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52 – ZAHLENTHEORIE

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53 – FORTGESCHRITTENE MATHEMATISCHE LOGIK

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37

INTEGRAL- UND INTEGRAL-DIFFERENTIAL-GLEICHUNGEN

Einführung und Definitionen

Eine Integralgleichung ist eine Gleichung, die die Unbekannte unter dem Zeichen des Integrals darstellt.

Immer wenn Sie eine Differentialgleichung lösen, ist die Lösungsformel eigentlich eine Integralgleichung, daher haben wir in den vorherigen Kapiteln bereits viel über solche Gleichungen gesagt. Eine lineare Integralgleichung hat folgende Form:

Wobei K(x,z) der Kern der Gleichung ist (die reell oder komplex, symmetrisch oder antisymmetrisch sein kann) und f(x) der bekannte Term ist.

Ist f(x) ungleich Null spricht man von Gleichungen zweiter Art, ist es gleich Null spricht man von Gleichungen erster Art.

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Integralgleichungen von Fredholm und Volterra

In Integralgleichungen ist das Integral so definiert, dass wir Integrationsextreme haben.

Wenn diese Extrema fest sind, spricht man von einer Fredholm-Integralgleichung, wenn stattdessen eines der Extrema in x variabel ist, wird die Gleichung von Volterra genannt.

Der Fredholm-Operator ist als ein beschränkter linearer Operator zwischen Banach-Räumen mit einem endlichdimensionalen Kern und Con-Kern definiert.

Wenn wir außerdem sagen, dass T ein Fredholm-Operator (von einem Raum X zu einem Y) und S ein linearer und beschränkter Operator (von dem Raum Y zu diesem X) ist, haben wir das

sind kompakte Operatoren auf X und Y.

Der Index eines Fredholm-Operators ist wie folgt definiert:

Die Menge der Fredholm-Operatoren bildet im Banachraum eine offene Menge von beschränkten und stetigen linearen Operatoren.

Der Index der Zusammensetzung zweier Fredholm-Operatoren ist gleich der Summe der Indizes der einzelnen Operatoren, außerdem hat der addierte Fredholm-Operator den entgegengesetzten Index zum Ausgangsoperator.

Schließlich gibt ihre Faltung bei einem gegebenen Fredholm-Operator und einem kompakten Operator wieder einen Fredholm-Operator zurück, der denselben Index wie der Ausgangsoperator hat.

Das Tensorprodukt zwischen einem Banachraum und seinem Dual ist ein vollständiger Raum, der mit der folgenden Norm ausgestattet ist:

Der durch Vervollständigung mit dieser Norm definierte Raum wird auf diese Weise bezeichnet (als B der generische Banachraum bezeichnet) .

Ein Fredholm-Kern ist ein Element dieses projektiven topologischen Raums.

Jedem Kern kann eine Spur und ein linearer Operator kanonischer Form zugeordnet werden:

Außerdem heißt jeder Kern p-summierbar, wenn die folgende Beziehung gilt:

Fredholms Theorie geht davon aus, dass der Fredholm-Kern vergleichbar ist mit einer Green-Funktion, Lösung der Differentialgleichung:

Wobei L ein linearer Differentialoperator ist.

Anwenden dieser Gleichung auf Sobolev-Räume und Schreiben der vorherigen Gleichung als Eigenwertgleichung:

Ein Ausdruck des Fredholm-Kerns kann abgeleitet werden:

Für die inhomogene Fredholm-Gleichung können wir den bekannten Term folgendermaßen umschreiben:

Und die Lösung ist gegeben durch:

Unter Verwendung der Spektraltheorie lautet der Auflösungsoperator wie folgt:

Und die Lösung ist gegeben durch:

Der Satz von Fredholm liefert eine hinreichende Bedingung für die Existenz von Lösungen von Fredholms Gleichungen: Der Kern muss quadratisch summierbar in einer geeigneten Menge sein.

Die Fredholm-Alternative liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz der Lösungen: Die Lösung muss orthogonal zum vollständigen Lösungssatz der entsprechenden Additionsgleichung sein, dh der Fredholm-Gleichung, die durch Ersetzen des Fredholm-Kerns durch seine Addition und jedes Skalars mit erhalten wird sein komplexes Konjugat.

In diesen Fällen kann das Resolvent in einer Potenzreihe durch die Liouville-Neumann-Reihe entwickelt werden:

Wenn der Kern kontinuierlich ist, hat jede integrale Fredholm-Gleichung eine eindeutige Lösung für jeden bekannten Term, und die Lösung, dargestellt durch die Liouville-Neumann-Reihe, ist gleichmäßig konvergent.

Die Fredholm-Determinante lautet wie folgt:

Während die Determinante der Resolvente die sogenannte Riemann-Zeta-Funktion ist:

Eine inhomogene Fredholm-Gleichung des ersten Typs mit unbegrenzten Integrationsextrema und einem so definierten Kern K(x,z)=K(xz) kann als Faltung von K(x,z) und y(z) angesehen werden, daher kann die Lösung sein geschrieben in Form einer Fourier-Transformation oder Anti-Fourier-Transformation:

Es gibt noch andere Integral- und Integro-Differentialgleichungen, mit denen die Physik zerstreut ist, insbesondere erinnern wir an die Maxwell-Gleichungen für den Elektromagnetismus, die Kompressibilitätsgleichung für die statistische Mechanik und Thermodynamik und die Boltzmann-Gleichung für die physikalische Statistik.

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Berechnung von Variationen

Ein grundlegendes Anwendungsgebiet von Integralgleichungen betrifft die Variationsrechnung, dh die Suche nach den Extremalpunkten der Funktionale.

Das fundamentale Lemma der Variationsrechnung besagt, dass bei einer stetigen Funktion in einer offenen Menge und einer stetigen und stetig differenzierbaren Funktion in derselben offenen Menge die folgende Bedingung gilt:

Und die stetige und stetig differenzierbare Funktion ist in beiden Extremen null, dann ist die andere Funktion im ganzen Satz null.

Dank diesem Lemma ist es möglich, von einer integralen Version der Variationsrechnung, wie dem Hamiltonschen Variationsprinzip, zur Auflösung von Differentialgleichungen, wie der von Euler-Lagrange, überzugehen.

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Übungen

Übung 1

Lösen Sie die folgende Integralgleichung:

Unter Hinweis auf die Faltungsregel der Laplace-Transformation:

Wir wenden die Laplace-Transformation auf beide Seiten an und nutzen die Linearität aus:

Kenntnis der Transformation der Sinusfunktion und der Faltungsregel:

Aus denen:

Isolieren der Transformation:

Was umgeschrieben werden kann als:

An diesem Punkt wenden wir die inverse Laplace-Transformation an und wir haben die Lösung:

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Übung 2

Lösen Sie die folgende Integro-Differentialgleichung:

Wir wenden die Laplace-Transformation an und erinnern uns an ihre Linearität:

Unter Hinweis auf die Transformation der Ableitung, der Einheit, des Sinus und der Faltungsregel haben wir:

Wir isolieren die Transformation:

Aufschlüsselung des Nenners:

Einfache Brüche faktorisieren:

Die Koeffizienten werden gegeben durch:

Deshalb:

An dieser Stelle bleibt nur die Anti-Transformation nach Laplace.

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Übung 3

Finden Sie die Lösung der Fredholm-Gleichung, ganzzahlig, inhomogen, linear und vom Typ II:

Wobei Lambda ein willkürlicher Parameter ist, während:

Sie sind gegebene und stetige Funktionen in [a,b]. K(x,y) heißt Kern der Gleichung und ist:

Betrachten Sie im Raum C[a,b]:

Die Definition von Entfernung impliziert, dass:

Wenn es passiert:

Die Abbildung A ist eine Kontraktion im Raum C[a,b]. Dieser Raum ist vollständig. Nach dem Kontraktionssatz stellt die Gleichung für ein ausreichend kleines Lambda eine und nur eine Lösung dar, die gegeben ist durch:

Übung 4

Lösen Sie im Sinne von Verteilungen die folgende Abel-Gleichung:

Unter Hinweis auf Eulers Gammafunktion kann Abels Gleichung geschrieben werden als:

Wo ist es:

Und das oben angegebene Produkt ist die Faltung im Sinne von Verteilungen.

Durch die Eigenschaften der Verteilungsfaltung haben wir:

Mit der expliziten Relation erhalten wir die Lösung:

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Übung 5

Finden Sie mit der Solver-Methode die Lösung von:

Der erste iterierte Kern ist tatsächlich null:

Daher ist der Kern orthogonal zu sich selbst und die Lösung erhält man einfach durch Einsetzen von g(x) unter das Integralzeichen:

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Übung 6

Lösen Sie mit der Kontraktionsmethode:

Wir notieren das:

Wenn wir das Maximum nehmen, haben wir:

Operator B ist eine Kontraktion. Ort:

Gefunden:

Diese Funktion ist also ein Fixpunkt und die Lösung.

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Übung 7

Berechnen Sie mit der Auflösungsmethode:

Ort:

Wir haben:

Die Resolvent-Methode kann verwendet werden, wenn:

In diesem Fall:

Die Lösung lautet daher:

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Übung 8

Finden Sie die Lösung der Volterra-Gleichung, indem Sie sowohl die Kontraktionsmethode als auch die Auflösungsmethode verwenden:

Für die Kontraktionsmethode nehmen wir:

Wir haben:

Für die Resolvent-Methode betrachten wir den abgeschnittenen Fredholm-Kernel:

Die iterierten Kerne werden gegeben durch:

Und damit lautet der Löser:

Die Lösung lautet daher:

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Übung 9

Eigenwerte und Eigenfunktionen der Integralgleichung berechnen:

Wo ist es:

Der Kern wird durch eine beschränkte Funktion definiert und ist quadratsummierbar in [0,1] x [0,1]. Es ist auch symmetrisch. Der Kern kann geschrieben werden als:

Die Eigenwerte und Eigenfunktionen sind gegeben durch:

Für:

Es gibt keine Lösungen, während für:

Es gibt unendlich viele Lösungen, die gegeben sind durch:

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Übung 10

Lösen Sie mit Fredholms alternativer Methode:

Wo ist es:

Der Kern ist durch eine beschränkte und summierbare quadratische Funktion definiert, außerdem ist er symmetrisch. Wir können es umschreiben als:

Die Eigenwertgleichung ist gegeben durch:

Es gibt nur Lösungen für:

Diese Lösungen sind:

Wir stellen fest, dass für jedes n gilt:

Dies bedeutet, dass es genau eine und nur eine Lösung unabhängig von g(x) gibt:

Diese Lösung ist:

Übung 11

Lösen Sie mit der Technik der entarteten Kerne:

Erinnern Sie sich, dass entartete Kerne die Form haben:

Wo ist es:

Sie sind linear unabhängige Vektoren.

Die Lösung kann geschrieben werden als:

In unserem Fall haben wir:

Durch Integrieren erhalten wir:

Dies führt zu folgendem System:

Die Lösung lautet daher:

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Übung 12

Finden Sie die Lösungen von:

Mit:

Wobei u die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt.

Die Euler-Lagrange-Gleichung ist gegeben durch:

Die einzige Lösung, die die Bedingungen an den Extremen erfüllt, ist:

Diese Lösung ist jedoch kein Minimum, da die Reihenfolge tatsächlich gegeben ist:

Wir haben:

In Anbetracht dessen:

Dann ist m=0. Das Funktional I lässt aber Minima in der Klasse der stückweise stetigen und regulären Funktionen zu, also in allen Funktionen, die eine endliche Anzahl von Unstetigkeiten erster Art in der Ableitung zulassen.

Daraus folgt, dass es möglich ist, unendlich viele Funktionen dieses Typs zu konstruieren, die die Gleichung erfüllen und Minima sind.

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Übung 13

Finden Sie die Lösungen des folgenden Integralfunktionals, das keine Lösungen in der Klasse der Funktionen hat :

Mit konvexer Integrandenfunktion e, so dass u die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt mit:

Du wirst haben:

Mit ced und reellen Konstanten. Es gibt keine Klassenlösungen . Auch in Anbetracht dessen:

Auch in der Klasse der stückweise regulären Funktionen gibt es keine Lösungen.

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Übung 14

Finden Sie das Extremal von:

Wo u die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt und wir haben:

Um die Euler-Lagrange-Gleichung zu erfüllen, gilt:

Und dann:

Funktionen sind eine Familie von Hyperbeln.

Mit den Randbedingungen erhalten wir:

Das Extremal ist dann:

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Übung 15

Finden Sie das Extremal von:

Mit:

Wir haben:

Aus denen:

Es ist eine Familie von Kreisen mit Mittelpunkt auf der Abszissenachse.

Die Lösung, falls vorhanden, ist eindeutig.

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Übung 16

Finden Sie die Lösungen des Funktionals:

Wo u die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt und wir haben:

Wir haben das:

Eine Lösung ist also:

Die Funktion muss in c stetig sein, also:

Darüber hinaus:

Und dann:

Es werden zwei Lösungen erhalten. Eins für:

Und sein:

Der andere für:

Und sein:

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Übung 17

Berechnen Sie mit der Methode der entarteten Kerne:

Wir haben:

Aus der Definition erhalten wir:

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Übung 18

Berechnen Sie mit der Methode der entarteten Kerne:

Wir haben:

Aus der Definition erhalten wir:

Übung 19

Eigenwerte und Eigenfunktionen der Integralgleichung berechnen:

Mit:

Der Kern ist begrenzt, summierbar und symmetrisch.

Es kann geschrieben werden als:

Der inverse Operator ist ein Differentialoperator erster Ordnung, so dass:

Dessen allgemeine Lösung ist:

Die normierten Eigenfunktionen sind:

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Übung 20

Lösen Sie mit Fredholms Alternative:

Der Kern ist begrenzt, summierbar und symmetrisch.

Es kann geschrieben werden als:

Die Gleichung, die die Eigenwerte bestimmt, lautet:

Welche Lösung hat nur für:

Wir haben daher:

Alle Eigenwerte sind von 1 verschieden und daher ist die Lösung für jedes g(x) eindeutig.

Da g(x)=0 ist die Lösung:

38

SPEKTRALTHEORIE

Definitionen

Sei H ein Hilbertraum. Im Folgenden nehmen wir immer an, dass H ein komplexer Raum ist.

Wir betrachten das Skalarprodukt und den Raum stetiger linearer Operatoren auf H .

Wenn ein Operator A gegeben ist, der zu diesem Raum gehört, werden wir sagen, dass eine komplexe Zahl zur Auflösungsmenge von A gehört, wenn es einen anderen Operator B gibt, der zu demselben Raum gehört, so dass:

Wobei ich den Identitätsoperator bezeichnet.

Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung, dass:

Sei eine bijektive Funktion von H selbst, mit B seine Umkehrfunktion (linear und stetig).

Die Menge der komplexen Zahlen, die nicht zur Auflösungsmenge von A gehören, heißt Spektrum von A und wird mit dem griechischen Buchstaben Sigma bezeichnet.

Die Menge aller Operatoren B, die als komplexe Zahl innerhalb der Lösungsmenge variiert, wird als Lösungsfamilie von A bezeichnet.

Bei einem Operator, der zu einem Raum linearer und stetiger Operatoren auf einem Hilbert-Raum gehört, beweist dies Folgendes:

- Das Spektrum von A ist eine nichtleere, abgeschlossene und beschränkte Teilmenge der komplexen Ebene.

- Die folgende Funktion ist innerhalb der Auflösungsfamilie von A analytisch

- definierte den Spektralradius als:

Es gilt folgende Formel:

Für jeden linearen und stetigen Operator kann man seinen Adjungierten (auch linear und stetig) so definieren, dass:

Wenn A mit seinem Adjungierten zusammenfällt, dann heißt der Operator selbstadjungiert.

Für einen selbstadjungierten Operator stimmt der Spektralradius mit der Norm überein.

Eine Folge davon ist, dass die Norm eines linearen und stetigen Operators gegeben ist durch:

Ein linearer und stetiger Operator heißt unitär, wenn er eine Inverse hat, die gleich seiner Adjungierten ist.

Für unitäre Operatoren gelten folgende Eigenschaften: