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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
Folgende Themen werden in diesem Buch behandelt:
Einführung in die Topologie
topologische Strukturen wie Räume, Gruppen und Varietäten
Topologische Eigenschaften
topologische Abfolgen
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Inhaltsverzeichnis
„Einführung in die Topologie“
EINFÜHRUNG
GRUNDLEGENDES KONZEPT
TOPOLOGISCHE STRUKTUREN
TOPOLOGISCHE EIGENSCHAFTEN
TOPOLOGISCHE NACHFOLGE
„Einführung in die Topologie“
SIMONE MALACRIDA
Folgende Themen werden in diesem Buch behandelt:
Einführung in die Topologie
topologische Strukturen wie Räume, Gruppen und Varietäten
Topologische Eigenschaften
topologische Abfolgen
Simone Malacrida (1977)
Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.
ANALYTISCHER INDEX
––––––––
EINFÜHRUNG
––––––––
I – GRUNDLEGENDES KONZEPT
Graphen und topologische Geometrie
Kontinuität
Kardinalität
––––––––
II - TOPOLOGISCHE STRUKTUREN
Topologische Räume
Innen, Schließung und Umgebung
Metrische Räume
Teilräume, Einbettungen und topologische Produkte
Hausdorff-Räume
––––––––
III - TOPOLOGISCHE EIGENSCHAFTEN
Dichte und Gleichmäßigkeit
Verbindung
Abdeckungen
Kompaktheit
Theoreme von Wallace und Baire
Topologische Gruppen
Topologische Varietäten _ _
Morphismen
––––––––
IV - TOPOLOGISCHE NACHFOLGE
Nachfolge
Vollständigkeit und Kompaktheit metrischer Räume
EINFÜHRUNG
Dieses Buch behandelt ein mathematisches Thema von grundlegender Bedeutung, das durch die Topologie gegeben ist.
Der Begriffssprung zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik wurde bekanntlich erst nach der Einführung der mathematischen Analysis deutlich.
Die Tatsache, dass diese Disziplin lokal und nicht punktuell war, führte zum Studium und zur Entwicklung der Topologie, verstanden als das Studium von Orten und Räumen nicht nur im geometrischen Sinne, sondern in einem viel weiteren Sinne.
Daher nimmt die Topologie eine entscheidende Rolle für das Verständnis der mathematischen Analysis und aller anderen damit verbundenen Disziplinen wie Funktionen- und Komplexanalysis, Differential- und Tensorgeometrie ein.
Die Topologie hat ihre Wurzeln in der mathematischen Logik, in der Theorie der Mengen und der Funktionen, wobei einige grundlegende Aspekte wie die Konzepte der Kardinalität, der Zählbarkeit und der Beziehungen, die hergestellt werden können, geändert wurden.
Darauf baut sich eine Reihe sukzessiver Ergebnisse auf wie topologische, metrische und geregelte Räume, Gruppen, Varietäten mit Eigenschaften wie Vollständigkeit, Kompaktheit und Zusammenhang.
Letztendlich untersucht die Topologie den "Lebensraum", in dem sich die mathematische Analyse bewegt, und definiert die Mehrheit der Hypothesen der letzteren Theoreme.
I
GRUNDLEGENDES KONZEPT
Graphen und topologische Geometrie
––––––––
Ein Graph G ist ein geordnetes Paar von Mengen V und E, wobei V die Menge von Knoten und E die Menge von Kanten ist, sodass die Elemente von E Paare von Elementen von V sind.
Zwei durch einen Bogen verbundene Knoten werden Endpunkte des Bogens genannt, und der Bogen wird durch das Zahlenpaar seiner Endpunkte identifiziert.
Ein Bogen mit zwei zusammenfallenden Extremen wird als Schleife bezeichnet, während mehrere Bögen, die dieselben Extreme verbinden, einen Mehrfachbogen erzeugen.
Ein Graph ohne Schleifen und Mehrfachkanten heißt einfach, ansonsten heißt er Multigraph.
Der Graph, der durch Eliminieren aller Schleifen und Ersetzen jeder Mehrfachkante durch eine einzelne Kante mit denselben Endpunkten erhalten wird, wird Skelett eines Graphen genannt.
Die Anzahl der Kanten, die an einem Knoten vorhanden sind, wird als Grad des Knotens bezeichnet.
Der minimale und maximale Grad eines Graphen sind jeweils der Grad des Knotens mit der minimalen Anzahl von zusammenhängenden Kanten und der Grad des Knotens mit der maximalen Anzahl von zusammenhängenden Kanten.
Ein Graph wird als regulär bezeichnet, wenn der maximale und der minimale Grad zusammenfallen, und in diesem Fall wird der Graph als regulär von der Ordnung bezeichnet, die dem Grad entspricht.
Ein Graph heißt planar, wenn sich in der Ebene die Kanten nur an den Knoten schneiden.
Ein planarer Graph heißt maximal, wenn er durch Hinzufügen eines neuen Knotens nicht mehr planar ist.
Jeder planare Graph ohne Schleifen ist tetrapartit, dh er beachtet den Vierfarbensatz.
Ein Graph ohne Kanten heißt Nullgraph, insbesondere ist der Graph, der weder Kanten noch Knoten enthält, null.
Wenn zwischen zwei Knoten ein Pfad existiert, werden sie als verbunden bezeichnet.
Ein Graph ist zusammenhängend, wenn alle seine Knoten zusammenhängend sind.
Die Nachbarschaft eines Knotens ist die Menge von Knoten, die mit dem Referenzknoten verbunden sind.
In einem verbundenen Graphen ist die Exzentrizität eines Knotens der maximale Abstand von einem Knoten zum anderen.
Die Verbindungsrelation zwischen den Knoten ist eine Äquivalenzrelation und in den einzelnen Äquivalenzklassen können Teilgraphen definiert werden.
Ein isolierter Knoten ist ein Knoten, der mit keinem anderen Knoten verbunden ist und der den Grad Null hat.
Ein verbundener planarer Graph, der ohne Grenzüberschneidungen gezeichnet wird, hat eine Euler-Charakteristik gleich zwei.
Ein Graph, der mit einer Menge von Knoten W, einer Teilmenge von V, definiert ist, wird in Bezug auf den Startgraphen als induzierter Teilgraph bezeichnet.
Ein gerichteter Graph ist durch gerichtete Bögen gekennzeichnet, das heißt durch Bögen, die eine Richtung haben: Ein Knoten, der am Eingang durch einen gerichteten Bogen erreicht wird, heißt Kopf, einer, der am Ausgang erreicht wird, heißt Schwanz.
In einem gerichteten Graphen besteht eine Ordnungsbeziehung zwischen den Knoten.
