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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Spanisch
En este libro se traza la gran historia de los descubrimientos de la física, desde la revolución científica de Galileo y Newton hasta la física de hoy y del futuro próximo.
La comprensión de la física se aborda tanto desde un punto de vista teórico, exponiendo las definiciones de cada campo en particular y los supuestos que subyacen a cada teoría, como a nivel práctico, llegando a resolver más de 350 ejercicios relacionados con problemas de física de todo tipo.
El acercamiento a la física está dado por el conocimiento progresivo, exponiendo los distintos capítulos en un orden lógico para que el lector pueda construir un camino continuo en el estudio de dicha ciencia.
Todo el libro está dividido en cinco secciones bien diferenciadas: la física clásica, las revoluciones científicas que tuvieron lugar a principios del siglo XX, la física del microcosmos, la física del macrocosmos y, finalmente, los problemas actuales que son el punto de partida de la física del futuro. .
El documento se erige como un trabajo integral sobre física, sin dejar de lado ningún aspecto de las muchas facetas que puede asumir.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Tabla de Contenido
“El Libro de Física: Volumen 2”
SEGUNDA PARTE: LAS REVOLUCIONES DE PRINCIPIOS DEL SIGLO XX
FÍSICA CUÁNTICA
TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL
TERCERA PARTE: FÍSICA DEL MICROCOSMOS
FÍSICA DE LA MATERIA
FÍSICA QUÍMICA
TEORÍA DEL CAMPO CUÁNTICO
FÍSICA NUCLEAR
FÍSICA DE PARTÍCULAS E INTERACCIONES
CUARTA PARTE: FÍSICA DEL MACROCOSMOS
TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL
ASTRONOMÍA
ASTROFÍSICA
COSMOLOGÍA
FÍSICA DE LOS AGUJEROS NEGROS
QUINTA PARTE: LOS PROBLEMAS DE HOY Y LA FÍSICA DEL MAÑANA
INTENTOS DE UNIFICACIÓN
LA TEORIA DEL TODO
“El Libro de Física: Volumen 2”
SIMONE MALACRIDA
En este libro se traza la gran historia de los descubrimientos de la física, desde la revolución científica de Galileo y Newton hasta la física de hoy y del futuro próximo.
La comprensión de la física se aborda tanto desde un punto de vista teórico, exponiendo las definiciones de cada campo en particular y los supuestos que subyacen a cada teoría, como a nivel práctico, llegando a resolver más de 350 ejercicios relacionados con problemas de física de todo tipo.
El acercamiento a la física está dado por el conocimiento progresivo, exponiendo los distintos capítulos en un orden lógico para que el lector pueda construir un camino continuo en el estudio de esa ciencia.
Todo el libro está dividido en cinco secciones bien diferenciadas: la física clásica, las revoluciones científicas que tuvieron lugar a principios del siglo XX, la física del microcosmos, la física del macrocosmos y, finalmente, los problemas actuales que son el punto de partida de la física del futuro. .
El documento se erige como un trabajo integral sobre física, sin dejar de lado ningún aspecto de las muchas facetas que puede asumir.
ÍNDICE ANALÍTICO
––––––––
SEGUNDA PARTE : LAS REVOLUCIONES DE PRINCIPIOS DEL SIGLO XX
––––––––
13 – FÍSICA CUÁNTICA
––––––––
14 – TEORÍA DE LA RELAVIDAD ESPECIAL
––––––––
PARTE TRES : FÍSICA DEL MICROCOSMOS
––––––––
15 – FÍSICA DE LA MATERIA
––––––––
16 – FÍSICA QUÍMICA
––––––––
17 – TEORIA DE CAMPOS CUÁNTICOS
––––––––
18 – FÍSICA NUCLEAR
––––––––
19 – FÍSICA DE PARTÍCULAS E INTERACCIONES
––––––––
CUARTA PARTE : FÍSICA DEL MACROCOSMOS
––––––––
20 – TEORÍA DE LA RELATIVIDAD GENERAL
––––––––
21- ASTRONOMIA _ _
––––––––
22- ASTROFÍSICA
––––––––
23- COS M OLOGÍA _
––––––––
24 – FÍSICA DE LOS AGUJEROS NEGROS
––––––––
QUINTA PARTE : LOS PROBLEMAS DE HOY Y LA FÍSICA DEL MAÑANA
––––––––
25 – INTENTOS DE UNIFICACIÓN
––––––––
26 – LA TEORÍA DEL TODO
SEGUNDA PARTE: LAS REVOLUCIONES DE PRINCIPIOS DEL SIGLO XX
13
FÍSICA CUÁNTICA
La primera teoría "revolucionaria" que vamos a explicar se refiere a la física cuántica que estará indisolublemente unida al microcosmos.
Esta teoría permitirá explicar muchos de los fenómenos que habían desencadenado la crisis de la física clásica, introduciendo nuevos horizontes científicos.
––––––––
Solución de Planck para el espectro del cuerpo negro
Una de las principales discrepancias que llevó a la superación de la física clásica fue la explicación del espectro del cuerpo negro.
Según el esquema conocido, la energía podía asumir cualquier valor posible y, por tanto, la distribución estadística de la energía seguía la conocida ley de Boltzmann, derivada de la termodinámica clásica:
Esto condujo a una distribución del espectro del cuerpo negro que se conoció como la fórmula de Rayleigh-Jeans:
en total acuerdo con los datos experimentales para la región infrarroja, pero no para la región ultravioleta, como ya se mencionó en el párrafo anterior.
En 1900, Planck planteó la hipótesis de que la energía no podía asumir ningún valor continuo posible, sino solo algunos datos discretos de la siguiente expresión:
donde n es un entero positivo y ha constante definida como la constante de Planck.
Al hacerlo, la distribución estadística de la energía (promediada sobre las sumas discretas y no sobre las integrales continuas) se convierte en:
y la distribución espectral del cuerpo negro tomó una nueva forma, en completo acuerdo con los datos experimentales, también en la región ultravioleta.
El pasaje lógico planeado por Planck fue de extraordinaria importancia.
Por primera vez se admitió que la energía, o cualquier entidad física, era una cantidad discreta y no podía asumir ningún valor.
Planck introdujo el concepto de energía discreta para hacer coincidir la teoría con los datos experimentales sobre el espectro del cuerpo negro y llamó a estos valores de energía permitidos como "cuantos". A partir de entonces, la teoría resultante asumió el término física cuántica y se utilizó el adjetivo quantum como calificativo de cada parte de esta teoría.
Por lo tanto, el espectro del cuerpo negro estaba explicado en esta nueva visión, pero no todos los demás problemas y, además, no había una teoría general que proporcionara todos estos resultados empíricos.
––––––––
Solución de Einstein para el efecto fotoeléctrico
En 1905 (notablemente el mismo año de la publicación de la teoría especial de la relatividad), Einstein propuso una solución para explicar la fenomenología del efecto fotoeléctrico.
Einstein aceptó la hipótesis de Planck y la aplicó al efecto fotoeléctrico.
La energía de una onda electromagnética dependía únicamente de la frecuencia.
El efecto fotoeléctrico descrito por los experimentos de Hertz encontró una fácil explicación si se aceptaba la hipótesis de una energía cuantizada dependiente únicamente de la frecuencia de la onda electromagnética.
Es por esto que por debajo de cierta frecuencia no había emisión de electrones, ya que no había suficiente energía para "estimular" esta emisión y esto también explicaba que la energía de los electrones emitidos fuera proporcional a la frecuencia.
Einstein llamó a los "cuantos" de luz, y de ondas electromagnéticas en general, con el nombre de fotones.
––––––––
El modelo de Bohr
La hipótesis de Planck había explicado de alguna manera las dos inconsistencias relacionadas con el espectro del cuerpo negro y el efecto fotoeléctrico.
Quedaba abierta la cuestión de la estabilidad de la materia y de dar una explicación general de por qué la energía era una cantidad discreta y discontinua.
En 1913 Bohr propuso un primer modelo de átomo que seguía las reglas de la física cuántica, pero tuvo que introducir postulados para explicar la estabilidad de la materia.
Inspirado por los experimentos de Rutherford, entendió que el electrón cargado negativamente giraba alrededor de un núcleo atómico cargado positivamente e introdujo algunas variaciones al modelo atómico anterior.
En primer lugar, también cuantizó el momento angular de un electrón que giraba alrededor del núcleo introduciendo una dependencia directa con la constante de Planck, como hizo años antes con la energía (las reglas de cuantización fueron posteriormente ampliadas y completadas por Sommerfeld en 1916).
Al hacerlo, comenzamos a comprender cómo la cuantización era un proceso mucho más generalizado de lo que implicaba la relación de Planck.
Posteriormente, postuló que un electrón giraba alrededor del núcleo en órbitas predefinidas (cuantificadas) sin emitir radiación electromagnética (todo para explicar la estabilidad del átomo).
La emisión de radiación electromagnética se produce únicamente cuando el electrón "salta" de una órbita a otra y la energía emitida (o absorbida) respeta tanto la relación de Planck como el principio de conservación de la energía.
Los radios de las órbitas estables también se cuantifican y se relacionan con el número cuántico principal y el número atómico de la siguiente manera:
La segunda fracción es exactamente el radio del nivel fundamental de hidrógeno, siendo el átomo más simple de todos formado por un solo electrón y un solo protón.
La energía de estas órbitas estables viene dada por
que para n=1 corresponde exactamente a la energía del primer estado ligado del hidrógeno.
El átomo de Bohr representa el primer intento sistemático de reconciliar la nueva teoría cuántica con lo que se ha encontrado experimentalmente en otras disciplinas, como el electromagnetismo y la química, pero tenía el defecto de tener que postular ciertas suposiciones para explicar la estabilidad de la materia y no estaba en concordancia con lo que se midió para átomos distintos al de hidrógeno.
Además, no se explicaba el dualismo entre onda y partícula, que se había vuelto tan evidente desde la publicación de las ecuaciones de Maxwell.
––––––––
Nuevos descubrimientos: efecto Compton
Un paso más hacia una nueva teoría general se obtuvo en 1920 con la explicación del efecto Compton.
Considerando los rayos X dispersados por los electrones y combinando la ecuación de la energía de Planck con la de la energía de Einstein para la relatividad especial se explicó la evidencia experimental de que la variación de la longitud de onda dependía del ángulo de incidencia según la siguiente fórmula:
––––––––
Solución de De Broglie para la dualidad onda-partícula
Solo la comparación entre dos ecuaciones de energía, la de la física cuántica y la de la relatividad especial, llevó a la última pieza necesaria para superar esos problemas mencionados anteriormente.
En 1924, De Broglie marcó uno de esos hitos destinados a subvertir por completo conceptos hasta entonces considerados separados.
Partiendo de estas cuatro ecuaciones (la primera es la ecuación de energía según la relatividad especial, la segunda es la relación de Planck, la tercera es la definición de velocidad de la luz según las ecuaciones de Maxwell, la cuarta es la definición de cantidad de movimiento):
obtenido con sencillos pasos matemáticos la siguiente relación:
Esta relación conecta una cantidad de onda, como la longitud de onda, con una cantidad material, como el momento, diciendo que su producto es igual a una constante.
De Broglie intuyó que esta relación era la base fundamental para superar el eterno dualismo entre la naturaleza ondulatoria y la naturaleza corpuscular de las entidades físicas, afirmando simplemente que cada una de ellas es, al mismo tiempo, onda y partícula y planteando ese dualismo no como un problema, sino como una nueva frontera.
A través de esta relación se calculó la longitud de onda del electrón, que por lo tanto no solo era una partícula, sino también una onda.
––––––––
Young y las dos fisuras
El científico inglés Young había realizado, allá por 1801, experimentos con la luz para demostrar su naturaleza ondulatoria.
Los científicos entendieron cómo este aparato experimental podría ser útil para confirmar, o no, el dualismo onda-partícula.
Tome una fuente de luz débil y una placa fotográfica.
Entre ellos, coloque una barrera opaca con dos rendijas paralelas.
Construya una configuración experimental similar en la que la fuente débil de luz se reemplace por una fuente débil de electrones.
Si las fuentes emiten un fotón (o un electrón) a la vez, la placa queda impresa con puntos únicos de luz, por lo que los fotones y electrones se comportan como partículas.
Si, por el contrario, se aumenta el número de fotones (o electrones) emitidos, la placa muestra las clásicas franjas de interferencia propias de la naturaleza corpuscular.
Además, y este es el aspecto más impactante, aunque los fotones y los electrones se comportan como partículas si se emiten individualmente, no es posible determinar por cuál de las dos rendijas pasaron.
La naturaleza dual está presente de manera intrínseca, es decir, no es posible separar un solo comportamiento de este dualismo.
Sin que él lo supiera (las placas fotográficas del siglo XIX eran de hecho insensibles a los débiles haces de luz), Young había ideado un experimento que podría haber resuelto el dualismo onda-partícula ¡unos buenos 125 años antes!
––––––––
Mecánica cuántica según Schrödinger
Todas estas evidencias experimentales y teóricas, que se sucedían a lo largo de veinte años, necesitaban una explicación general que las incluyera a todas, así como en el siglo XIX las ecuaciones de Maxwell incorporaron las experiencias de Volta, Ampére, Oersted y Faraday.
Fue el informe de De Broglie el que dio el impulso final a los argumentos cuánticos.
En 1926, con cuatro artículos diferentes, Schrödinger demostró que la mecánica ondulatoria de De Broglie cumplía las reglas de cuantización de Bohr y, siguiendo el paralelismo entre la óptica y la mecánica (es decir, entre la naturaleza ondulatoria y corpuscular), estableció una nueva ecuación que se convirtió en la base de la mecánica cuántica.
La mecánica de Newton se convirtió en una aproximación de la mecánica cuántica para energías “grandes” y para escalas espaciales mucho mayores que la longitud de onda establecida por la relación de De Broglie.
La nueva ecuación se derivó naturalmente de la mecánica de Newton simplemente aplicando la relación de De Broglie y las siguientes reglas de correspondencia (consideremos el caso unidimensional, al menos por ahora):
Dónde está:
En lugar de cantidades continuas como E y p, se introdujeron operadores discretos, de acuerdo con el procedimiento de cuantificación.
La ecuación de Schrödinger asume esta forma general (para casos multidimensionales, solo piense en las dependencias también en las coordenadas y y z):
Esta ecuación revela múltiples aspectos que explican casi todas las nuevas propiedades de la mecánica cuántica.
Las soluciones de esta ecuación son "funciones de onda", nombre dado por el propio Schrödinger para recordar la base de la mecánica ondulatoria.
1) En primer lugar, en esta ecuación aparece un potencial genérico V(x).
Dependiendo de la forma de este potencial (escalón, hueco, oscilador armónico, etc.) existen diferentes soluciones para esta ecuación.
2) En segundo lugar, existen fuertes similitudes entre esta ecuación y lo que se deriva de las ecuaciones de Maxwell, con las reescrituras apropiadas. Por lo tanto, se pueden hacer correspondencias simples y establecer una especie de cálculo numérico paralelo , teniendo siempre en cuenta las grandes diferencias básicas (cantidades continuas por un lado, cantidades discretas por el otro).
3) La tercera observación se refiere al factor tiempo, que es un factor de fase puro. Esta observación, junto con el hecho de que el segundo lado de la ecuación es en sí mismo un número complejo, marca una gran diferencia con las ecuaciones de Maxwell.
En el caso de que las funciones de onda se puedan expresar de esta forma
La ecuación de Schrodinger toma una forma simplificada, en relación con los estados estacionarios:
que es una ecuación con valores propios, dados por la energía, mientras que u(x) son las funciones propias.
La ecuación de Schrödinger es, por tanto, una ecuación de energía.
La energía solo puede asumir valores predefinidos, en otras palabras esta ecuación prevé la cuantización de la energía y este es un primer resultado a favor de ella.
Veremos en breve cómo las predicciones coinciden con las comprobaciones experimentales.
––––––––
La vista probabilística
Antes de continuar conviene hacer una aclaración necesaria.
A la pregunta “¿qué representa la función de onda?”, la mecánica cuántica sólo puede dar esta respuesta “la solución de la ecuación de Schrödinger”.
Dicho de otra manera, no hay correspondencia entre la función de onda y una cantidad física "observable".
Por sí misma, la función de onda no representa nada.
Este será uno de los problemas filosóficos que explicaremos al final de este capítulo.
La verdadera novedad de la mecánica cuántica, sin embargo, estuvo dada por el hecho de que el módulo cuadrado de la función de onda representa la probabilidad de encontrar la onda/partícula en un lugar dado en un momento dado.
La evolución de una mecánica determinista a una probabilística arrojó nueva luz sobre la física misma.
La física atómica, base de todos los demás sectores dado que el átomo es la base constitutiva de la materia, previó que no es posible afirmar con certeza dónde se encuentra una determinada partícula, sino sólo establecer su probabilidad.
La interpretación probabilística de la ecuación de Schrödinger fue dada solo un año después de 1926 por Born.
Con esta aclaración y estudiando las ecuaciones de Schrödinger a medida que variaban los potenciales V(x), se amplió el conocimiento de la física clásica, alcanzando nuevos horizontes científicos.
––––––––
Las innovaciones frente a la mecánica clásica
Un primer punto fue la predicción de que la función de onda también podría extenderse a áreas que, en cambio, la física clásica consideraba "prohibidas".
En el caso del escalón de potencial, por ejemplo, la mecánica cuántica predice que la onda/partícula puede superar el escalón aunque la energía asociada sea menor, lo que es imposible para la física clásica.
Este efecto, conocido como efecto túnel, es la base de gran parte de la forma en que funcionan las computadoras modernas, como las computadoras y los teléfonos celulares. De hecho, la física cuántica fue la precursora de muchos campos, como la física del estado sólido, la materia, los semiconductores y la nanotecnología.
Asimismo, dentro del área clásicamente permitida, existen puntos particulares en los que la probabilidad de encontrar la onda/partícula es nula.
Un segundo punto es la comprobación de que la energía sólo puede asumir valores discretos por debajo de unos umbrales, por ejemplo el citado escalón de potencial, mientras que por encima de ellos se convierte en "espectro continuo".
Un tercer punto viene dado por la energía de punto cero.
De la ecuación de Schrödinger podemos ver cómo la solución de energía más baja nunca es cero, sino un múltiplo de ½ hf que se define precisamente como energía de punto cero, es decir, la mínima posible. Por lo tanto, la ecuación de Planck debe modificarse en este sentido (con n entero positivo):
––––––––
Las soluciones
Considerando la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas y realizando la solución por la parte radial, encontramos como soluciones las funciones u(r) dadas por los conocidos polinomios de Laguerre, el primero de los cuales es el siguiente:
donde el subíndice 10 se refiere a los dos números discretos utilizados para identificar este polinomio.
El primer subíndice es precisamente n, el número cuántico principal ya introducido por Bohr, mientras que el segundo subíndice l da cuenta de la "forma" (esférica si es igual a cero, como en este ejemplo) y puede variar solo para números enteros positivos menores que no.
En esencia, el primer polinomio de Laguerre, como se expresó anteriormente, es la parte radial de la función de onda referida al estado fundamental del átomo de hidrógeno.
Releyéndolo en clave probabilística, el módulo cuadrado de esta función es la probabilidad de encontrar el electrón en el átomo de hidrógeno.
Se ve claramente como la probabilidad es cero cerca del núcleo atómico (r=0) mientras que la probabilidad de encontrar el electrón en algún lugar es igual al evento cierto dado que, para un A adecuado, se cumple la siguiente relación:
La mecánica cuántica explica por tanto por qué el electrón no "cae" hacia el núcleo atómico bajo la fuerza de atracción de Lorentz y también predice que no hay órbitas fijas, dado que no es aplicable el determinismo clásico, a favor del probabilismo cuántico.
El nombre que se les da a estas áreas de probabilidad de encontrar el electrón es el de orbital.
El número cuántico l, por lo tanto, da la forma de los orbitales en función de la probabilidad de encontrar o no el electrón en esa área específica.
Para el primer estado ligado del hidrógeno, es fácil comprobar que la máxima probabilidad de encontrar el electrón se da precisamente en el caso del radio de Bohr y que, en ese radio, la energía del enlace se encuentra en el estado estable, es decir, la menor energía. principio.
A diferencia de la mecánica ondulatoria, la ecuación de Schrödinger explica muy bien incluso los átomos más complejos y no solo el hidrógeno.
Además, con la definición de los orbitales, viene una fácil comprensión teórica de las propiedades de la tabla periódica y la regla del octeto.
La física atómica descrita por la mecánica cuántica engloba buena parte de los experimentos de físico-química y física de la materia, en particular los espectros atómicos y moleculares, sobre todo después de lo que vamos a decir en breve.
––––––––
Principios de incertidumbre y evolución del operador
La mecánica cuántica también se puede expresar en forma de operador, recordando las relaciones de Hamilton de la mecánica clásica y aplicándolas al caso cuántico.
Las leyes de Newton podrían escribirse de esta manera elegante:
con p y q observables continuos (momento y posición) también llamados operadores canónicos, mientras que H era la función hamiltoniana (continua) definida como:
Un logro fundamental de la mecánica clásica fue la conmutación de los operadores canónicos; en otras palabras qp-pq=0.
Aplicando las reglas de correspondencia mencionadas para la energía y el momento, en mecánica cuántica los operadores canónicos se asociaron con los operadores discretos de la siguiente manera:
Mientras que la función hamiltoniana tomó la forma de un operador discreto llamado hamiltoniano:
Con este simbolismo, la ecuación general de Schrödinger y la de los estados estacionarios simplemente se convierten en las siguientes:
En mecánica cuántica, los operadores canónicos no conmutan. De hecho, existe esta relación:
Lo cual es una consecuencia directa (y que también explica) del principio de incertidumbre de Heisenberg, enunciado solo unos años después de 1926.
En particular, Heisenberg afirmó que toda cantidad física que no conmutaba con otra sufría la siguiente desigualdad:
donde [A,B] es el conmutador definido como AB-BA mientras que es un operador discreto genérico y el simbolismo es el del bra-ket utilizado por Dirac (que volveremos a encontrar en breve en esta descripción).
En el caso de los operadores canónicos, esta desigualdad se reduce a la conocida formulación del principio de incertidumbre:
Esta desigualdad establece que no es posible determinar, con absoluta precisión y al mismo tiempo, la posición y la velocidad de una partícula en particular.
Si quisiéramos saber la posición de un electrón mediante un experimento con medidores adecuados, no podríamos decir nada sobre su velocidad y viceversa.
Esta afirmación, absolutamente válida, pierde su significado en el mundo macroscópico, cuando las distancias son muy superiores a la longitud de onda, pero es de fundamental importancia en el mundo atómico y nuclear.
Además, se introdujeron dos nuevos conceptos en física.
El primero es el del indeterminismo.
La mecánica cuántica no sólo llevó a la física de una visión absoluta a una probabilística, sino que introdujo una nueva "perturbación" dada por la indeterminación de las variables físicas.
Esto también provocó efectos disruptivos a nivel filosófico, del mismo modo que la relatividad había relativizado precisamente conceptos anteriormente absolutos, como el espacio y el tiempo.
Sin embargo, el verdadero foco lo daba el propio concepto de medida y el papel del observador.
Estaba claro que el experimento en sí iba a cambiar el estado de una cantidad física (en lo sucesivo denominada "observable") y que nada se podía decir sobre el valor de ese observable antes y después del experimento.
Así surgió una discrepancia muy evidente entre la realidad física y la realidad observada y la medición en sí era una forma de "revelar" los observables.
Este problema físico y filosófico de la mecánica cuántica aún permanece abierto.
Otros dos observables que no conmutan son la energía y el tiempo, para los cuales:
Por lo tanto, existe un límite para el valor mínimo de "espaciado" de energía y este mínimo coincide precisamente con la energía de punto cero.
De manera similar, los pulsos de tiempo no se pueden discernir por debajo de este límite cuántico y esto se puede encontrar, por ejemplo, en los láseres.
Para explicar los espectros atómicos fue necesario recurrir a la cuantización del momento angular, introduciendo un nuevo número cuántico que puede asumir valores enteros desde –la +l.
Además, la mecánica cuántica preveía una nueva cantidad ligada al momento total, a la que se le dio el nombre de espín, que en nada era comparable al momento angular clásico.
El giro explicó muchos hallazgos prácticos, incluida la regla del octeto y la ocupación de los niveles electrónicos, y también explicó otras diferencias en los espectros atómicos.
Asociado con el espín estaba la introducción del último número cuántico.
Las reglas de cuantización de la mecánica cuántica de operadores son, por lo tanto, las siguientes, con los valores propios relativos, las funciones propias y los números cuánticos y generaliza las reglas de Sommerfeld:
––––––––
ejercicios de nivel universitario
Ejercicio 1
Considere la familia de estados:
Y el hamiltoniano unidimensional:
Muestre que en el límite clásico, la evolución temporal del estado resuelve la ecuación clásica de Hamilton:
––––––––
El límite clásico es para:
Tomando la derivada con respecto a la coordenada canónica, tenemos:
Recordando la ecuación de Schrödinger:
Igualando los términos real e imaginario:
Pasar al límite clásico significa despreciar el primer término de la primera ecuación, por lo tanto:
Por lo tanto, derivando la primera ecuación para q:
Esa es la tesis.
––––––––
Ejercicio 2
Dado un potencial:
Demuestre que el hamiltoniano asociado admite al menos un estado ligado.
––––––––
Tomemos como función de prueba:
Por lo tanto:
La energía cinética es:
El valor medio del potencial es:
Ir al límite:
Pero por el teorema de Lebesgue:
Por lo tanto:
Lo cual coincide con admitir la existencia de al menos un estado ligado.
––––––––
Ejercicio 3
Demuestre que los niveles discretos de energía de una partícula sujeta a un potencial sumable V(x) que tiende a cero en el infinito satisfacen:
––––––––
Dado que el potencial tiende a cero en el infinito, los estados ligados tienen energías negativas.
Por lo tanto:
Tales funciones son continuas y tienden a cero en el infinito.
Por el teorema de Weierstrass habrá un máximo.
En este punto tendrás:
A partir del cual:
––––––––
Ejercicio 4
Dado un pozo de potencial V(x) para x>0 y tal que V(x) es infinito para x<0, determine la cuantización de Bohr-Sommerfeld para la energía en el régimen semiclásico.
––––––––
Definimos:
Como U es igual, la condición de Bohr-Sommerfeld es:
Por lo tanto:
Para V debemos tomar los estados propios impares, es decir, n=2m+1
Y la condición de cuantificación es:
––––––––
Ejercicio 5
Dado un perfil de potencial que tiende a cero como menos infinito ya un valor constante distinto de cero como más infinito, busque la dependencia energética del coeficiente de penetración.
––––––––
Para:
En el caso de menos infinito tenemos:
Y entonces:
En el caso de más infinito:
Las corrientes entrantes y salientes serán:
Y el coeficiente de penetración es:
Si en cambio:
El coeficiente de penetración tenderá a cero.
––––––––
Ejercicio 6
Encuentre la ecuación unidimensional de Schrödinger que describe las partículas que vienen desde menos infinito con un momento p>0 y que se reflejan en una barrera de potencial infinito que se mueve con v<0.
Tenemos:
Cuya condición de contorno es:
La solución general es:
Con:
La condición de contorno dicta que:
––––––––
Ejercicio 7
Considerar:
Estado propio simultáneo de:
y
Calcule el valor medio y la fluctuación media de la proyección del momento angular en la dirección n del estado en cuestión que forma un ángulo alfa con el eje z.
––––––––
Se trata de calcular:
Sin embargo:
Para i=1 o i=2 se puede escribir:
Entonces el valor promedio es:
El término cuadrático está dado por:
Podemos notar que:
Es más:
Sustituyendo, tenemos:
Finalmente, la fluctuación será:
––––––––
Ejercicio 8
Para una partícula de espín ½ busca las funciones:
Describir los estados de la partícula que tiene una proyección de espín dada en los ejes x, y, z.
Tenemos:
Donde los vectores propios están presentes en el segundo miembro.
Por lo tanto:
Donde las sigmas son las matrices de Pauli.
Para el eje x:
Por lo tanto:
Y normalizando:
Siguiendo el mismo procedimiento, para el eje y tenemos:
Finalmente, para el eje z:
––––––––
Ejercicio 9
Determine el espectro de energía para dos bosones idénticos de espín s=0 que interactúan según el potencial:
––––––––
El hamiltoniano del sistema es:
Si ponemos:
El hamiltoniano del movimiento relativo es:
Y entonces:
Los valores propios son:
A lo que corresponden las funciones propias:
Como esta función debe ser simétrica, esta suma debe ser par:
Además, el espectro de energía es:
Con N entero par no negativo.
––––––––
Ejercicio 10
Dado el sistema descrito por:
Pruebalo:
Y que un estado estacionario tiene:
––––––––
De la definición de posición y cantidad de movimiento tenemos:
El valor medio para cada componente del impulso es:
––––––––
Ejercicio 11
Demuestre que para un sistema cuántico si F y G son constantes de movimiento, también lo es [F,G].
––––––––
Si F y G son constantes de movimiento tenemos:
Por lo tanto:
Ejercicio 12
Una partícula de masa m se mueve con movimiento unidimensional en presencia de un potencial:
Calcule el valor medio y la desviación estándar de las variables de posición y momento en los estados propios de energía.
––––––––
Para un pozo de potencial, las funciones propias y los valores propios vienen dados por:
Como las funciones de onda son pares, tenemos:
Además, para un estado vinculado, siempre se cumple lo siguiente:
La raíz cuadrada media del impulso es:
Mientras que de la posición:
––––––––
Ejercicio 13
Un haz monocromático de partículas de masa m se mueve a lo largo del eje x en presencia de un potencial:
Determine para qué valor de E el flujo transmitido es igual al flujo reflejado.
––––––––
Para tal haz, la función de onda se puede escribir como:
Dónde está:
Tenemos que imponer las condiciones de continuidad en 0 para la función de onda y discontinuidad de su derivada (debido a la presencia del delta de Dirac en el potencial).
Tenemos:
Y entonces:
Para que el cuadrado de los coeficientes sea igual, debe ser:
O:
––––––––
Ejercicio 14
Resuelva la ecuación de Schrödinger para un potencial:
Calcula funciones propias y valores propios.
––––––––
Dado que el potencial siempre es positivo, los valores propios de H serán positivos.
Lugar:
Las funciones propias son:
Para las condiciones de continuidad de las funciones propias y discontinuidad de sus derivadas:
O:
De ello se deduce que todo valor positivo de E es un valor propio del hamiltoniano.
Mediante la colocación de:
Tenemos:
––––––––
Ejercicio 15
El estado de una partícula de masa m se describe mediante la función de onda:
Utilizando la ecuación de Schrödinger, encuentre el potencial V(x) y la energía E para los cuales esta función de onda es una función propia.
––––––––
Sustituyendo la función de onda en la ecuación de Schrödinger, obtenemos:
Asumiendo que:
Tenemos:
––––––––
Ejercicio 16
Considere el paso potencial en 3 dimensiones.
Derive las leyes de reflexión y refracción para una onda plana incidente oblicuamente y determine las condiciones para la reflexión total.
––––––––
En coordenadas cartesianas, el hamiltoniano es:
Para la separabilidad tenemos:
Habiendo colocado la dirección de incidencia en el plano xz, de modo que la componente de energía en y sea cero.
La función propia será:
Lugar:
Tenemos:
Con:
Imponiendo las condiciones de continuidad en x=0 para la función de onda y su derivada, obtenemos los coeficientes de reflexión y transmisión:
Hay reflexión total sólo si:
Y la onda se propaga en la dirección z.
En términos de vectores de onda, los ángulos son:
––––––––
Ejercicio 17
La función de onda del estado fundamental del hidrógeno es:
Dónde está
Es el radio de Bohr.
Determine a qué distancia del núcleo es mayor la densidad de probabilidad de encontrar el electrón.
Determine el valor esperado de la posición del electrón.
––––––––
La distribución de probabilidad integrada en el ángulo sólido es:
El máximo es para:
Se encuentra que es:
El valor esperado de la posición es:
––––––––
Ejercicio 18
El estado de una partícula de masa m se describe mediante la función de onda:
¿Cuáles son los posibles resultados de una medición de la componente z del momento angular de la partícula en este estado?
¿Cuál es la probabilidad de obtener cada uno de estos resultados?
¿Cuál es el valor esperado para la componente z del momento angular?
Podemos reescribir la función de onda como:
Entonces, los valores posibles para la componente z del momento angular son 0 e
Vemos que la función de onda está normalizada:
Y entonces las probabilidades serán:
El valor esperado será:
––––––––
Ejercicio 19
Considere una partícula de espín ½ y mida:
¿Cuáles son los posibles resultados de la medición?
Si posteriormente se mide la componente a lo largo de y, ¿cuál es la probabilidad de encontrar ?
Observamos que:
Dado que los valores propios del segundo miembro son:
Entonces nosotros tenemos:
Después de la medición, el giro de la partícula estará en el plano xz y, por lo tanto, la probabilidad de cualquiera de los dos valores propios posibles de la componente a lo largo de y es ½.
––––––––
Ejercicio 20
Una partícula de masa m está sumergida en un pozo de potencial como este:
