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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Spanisch
La mayor parte de las matemáticas se presenta en este libro, desde los conceptos básicos y elementales hasta las áreas más complejas y avanzadas.
Las matemáticas se abordan tanto desde un punto de vista teórico, exponiendo teoremas y definiciones de cada tipo particular, como a nivel práctico, llegando a resolver más de 1.000 ejercicios.
El acercamiento a las matemáticas está dado por el conocimiento progresivo, exponiendo los distintos capítulos en un orden lógico para que el lector pueda construir un camino continuo en el estudio de esa ciencia.
Todo el libro se divide en tres secciones bien diferenciadas: las matemáticas elementales, las matemáticas avanzadas dadas por el análisis y la geometría, y finalmente la parte relativa a la estadística, el álgebra y la lógica.
La escritura se erige como un trabajo que incluye todo lo relacionado con las matemáticas, sin dejar de lado ningún aspecto de las muchas facetas que puede asumir.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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“El Libro de Matemática: Volumen 1”
SIMONE MALACRIDA
La mayor parte de las matemáticas se presenta en este libro, desde los conceptos básicos y elementales hasta las áreas más complejas y avanzadas.
Las matemáticas se abordan tanto desde un punto de vista teórico, exponiendo teoremas y definiciones de cada tipo particular, como a nivel práctico, llegando a resolver más de 1.000 ejercicios.
El acercamiento a las matemáticas está dado por el conocimiento progresivo, exponiendo los distintos capítulos en un orden lógico para que el lector pueda construir un camino continuo en el estudio de esa ciencia.
Todo el libro se divide en tres secciones bien diferenciadas: las matemáticas elementales, las matemáticas avanzadas dadas por el análisis y la geometría, y finalmente la parte relativa a la estadística, el álgebra y la lógica.
La escritura se erige como un trabajo que incluye todo lo relacionado con las matemáticas, sin dejar de lado ningún aspecto de las muchas facetas que puede asumir.
Simone Malacrida (1977)
Ingeniero y escritor, ha trabajado en investigación, finanzas, política energética y plantas industriales.
ÍNDICE ANALÍTICO
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INTRODUCCIÓN
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PRIMERA PARTE: MATEMÁTICAS ELEMENTALES
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1 – LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAL
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2 – OPERACIONES ARITMÉTICAS ELEMENTALES
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3 – TEORÍA DE CONJUNTOS
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4 – CÁLCULO LITERAL
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5 – GEOMETRÍA EUCLIDEA PLANA
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6 – GEOMETRÍA EUCLIDEA SÓLIDA
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7 – ECUACIONES Y DESIGUALDADES ALGEBRAICAS
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8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA ELEMENTAL
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9 – FUNCIONES GONIOMÉTRICAS Y TRIGONOMETRÍA
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10 – FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS E HIPERBÓLICAS
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11 – TEORÍA DE FUNCIONES
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12 – NÚMEROS COMPLEJOS
SEGUNDA PARTE : ANÁLISIS MATEMÁTICO, ANÁLISIS FUNCIONAL Y GEOMETRÍA AVANZADA
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13 – TOPOLOGÍA GENERAL
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14- LÍMITES _ _
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15 – FUNCIONES CONTINUAS
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16 – CÁLCULO DIFERENCIAL
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17- CÁLCULO INTEGRAL
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18 – ESTUDIO DE FUNCIONES DE VARIABLES REALES
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19 – SUCESIÓN Y SERIE NUMÉRICA
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20 – SUCESIÓN Y SERIE DE FUNCIONES
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21 – SERIE POWER, TAYLOR Y FOURIE R
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22 – V ECTORES Y MATEMÁTICAS VECTORIALES
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23 – MATRICES Y MATEMÁTICAS DE MATRICES
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24 – GEOMETRÍA ANALÍTICA AVANZADA
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25 – GEOMETRÍA NO EUCLIDEA
INTRODUCCIÓN
En la sociedad actual, las matemáticas son la base de la mayoría de las disciplinas científicas y técnicas como la física, la química, la ingeniería de todos los sectores, la astronomía, la economía, la medicina, la arquitectura.
Además, los modelos matemáticos rigen la vida cotidiana, por ejemplo en el sector del transporte, en la gestión y distribución de energía, en las comunicaciones telefónicas y televisivas, en la previsión meteorológica, en la planificación de la producción agrícola y en la gestión de residuos, en la definición de flujos monetarios, en la codificación de planos industriales, etc., ya que las aplicaciones prácticas son casi infinitas.
Por tanto, las matemáticas son uno de los cimientos fundamentales para la formación de una cultura contemporánea de cada individuo y se desprende tanto de los programas escolares que introducen, desde los primeros años, la enseñanza de las matemáticas como de la estrecha relación entre el aprendizaje provechoso de las las matemáticas y el desarrollo social y económico de una sociedad.
Esta tendencia no es nueva, ya que es consecuencia directa de aquella revolución acaecida a principios del siglo XVII que introdujo el método científico como principal herramienta para describir la Naturaleza y cuyo punto de partida estuvo precisamente dado por la consideración de que las matemáticas podían ser la piedra angular para entender lo que nos rodea.
La gran "fuerza" de las matemáticas reside en al menos tres puntos distintos.
En primer lugar, gracias a ella es posible describir la realidad en términos científicos, es decir, previendo algunos resultados incluso antes de tener la experiencia real.
Predecir resultados significa también predecir las incertidumbres, los errores y las estadísticas que necesariamente surgen cuando el ideal de la teoría se lleva a la práctica más extrema.
En segundo lugar, las matemáticas son un lenguaje que tiene propiedades únicas.
Es artificial, como construido por los seres humanos.
Existen otros lenguajes artificiales, como el alfabeto Morse; pero la gran diferencia de las matemáticas es que es un lenguaje artificial que describe la Naturaleza y sus propiedades físicas, químicas y biológicas.
Esto lo hace superior a cualquier otro idioma posible, ya que hablamos el mismo idioma que el Universo y sus leyes. En esta coyuntura, cada uno de nosotros puede traer sus propias ideologías o creencias, ya sean seculares o religiosas.
Muchos pensadores han destacado cómo Dios es un gran matemático y cómo las matemáticas son el lenguaje preferido para comunicarse con este ente superior.
La última propiedad de las matemáticas es que es un lenguaje universal. En términos matemáticos, la Torre de Babel no podría existir.
Todo ser humano que tiene algunos rudimentos de matemáticas sabe muy bien lo que significan algunos símbolos específicos, mientras que se necesitan traductores y diccionarios para entenderse con palabras escritas o discursos orales.
Sabemos muy bien que el lenguaje es la base de todo conocimiento.
El ser humano aprende, en los primeros años de vida, una serie de informaciones básicas para el desarrollo de la inteligencia, precisamente a través del lenguaje.
El cerebro humano se distingue precisamente por esa peculiaridad específica de articular una serie de lenguajes complejos y esto nos ha dado todas las conocidas ventajas sobre cualquier otra especie del reino animal.
El lenguaje es también uno de los presupuestos del conocimiento filosófico, especulativo y científico y Gadamer lo ha destacado, de manera inequívoca y definitiva.
Pero hay una tercera propiedad de las matemáticas que es mucho más importante.
Además de ser un lenguaje artificial y universal que describe la Naturaleza, la matemática es propiamente solución de problemas , por lo tanto es concreción hecha ciencia, pues el hombre siempre ha tenido como objetivo la solución de los problemas que lo aquejan.
Para despejar las últimas dudas al respecto, conviene reportar algunos ejemplos concretos referidos a milenios atrás.
El descubrimiento de los números irracionales realizado por Pitágoras, sobre todo pi y la raíz cuadrada, no fue una mera especulación teórica.
En la base de ese simbolismo matemático estaba la resolución de dos problemas muy concretos.
Por un lado, dado que las casas tenían planta cuadrada, la diagonal interna debía calcularse exactamente para minimizar el material desperdiciado en la construcción de las paredes, por otro lado, pi era el vínculo matemático entre distancias rectas y curvilíneas, como el radio de una rueda y su circunferencia.
Ante problemas concretos, el intelecto humano ha inventado este lenguaje matemático cuya propiedad es precisamente la de resolver problemas describiendo la Naturaleza.
––––––––
La primera parte de este libro tiene el propósito expreso de proporcionar los rudimentos de las matemáticas elementales, es decir, de toda aquella parte de las matemáticas anterior a la introducción del análisis matemático.
Las nociones y conceptos expuestos en esta parte eran, en parte, ya conocidos en la antigüedad (en la época de los griegos por ejemplo), especialmente en lo que se refiere a la parte de lógica elemental, junto con las operaciones elementales y las relaciones geométricas.
Los capítulos restantes de la primera parte describen los conocimientos adquiridos por la humanidad a lo largo de los siglos, en particular después de la gran explosión de pensamiento que se produjo en el Renacimiento, hasta fines del siglo XVII.
Este límite se considera como una demarcación entre las matemáticas elementales y las avanzadas, precisamente porque el análisis matemático, introducido a finales del siglo XVII por Newton y Leibnitz, permitió el salto cualitativo hacia nuevos horizontes y hacia la descripción real de la Naturaleza en términos matemáticos.
Precisamente por ello, aunque cada párrafo constituye en sí mismo un tema completo, la exposición de los temas sigue un orden lógico, permitiendo la progresión continua de conocimientos en base a lo aprendido previamente.
La primera parte del libro coincide, más o menos, con lo que se enseñó hasta el final del bachillerato (solo para los bachilleratos científicos, con el final del cuarto año y no del quinto).
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La segunda parte del libro proporciona todos los fundamentos de las matemáticas avanzadas, englobando en ella tanto la gran disciplina del análisis matemático como todos los campos dispares que han surgido a lo largo de los últimos dos siglos, incluyendo, por citar sólo algunos de ellos, el diferencial y geometría fractal, geometrías no euclidianas, topología algebraica y análisis funcional.
Casi todas estas nociones se desarrollaron después de la introducción del formalismo del análisis matemático a finales del siglo XVII y, desde entonces, el camino de las matemáticas ha seguido siempre en paralelo entre este sector y todas las demás posibles subdisciplinas que poco a poco fueron apareciendo. lado a lado y han tomado caminos independientes.
Queda por entender por qué el análisis matemático ha introducido ese punto de inflexión entre las matemáticas elementales y las avanzadas.
Hay dos áreas que se complementan en este discurso.
Por un lado, sólo con la introducción del análisis matemático ha sido posible describir, con un formalismo adecuado, las ecuaciones que rigen los fenómenos naturales, ya sean físicos, químicos o de otra extracción, por ejemplo sociales o económicos.
En otras palabras, el análisis matemático es la principal herramienta para construir aquellos mecanismos que nos permitan predecir resultados, diseñar tecnologías y pensar en nuevas mejoras a introducir.
Por otro lado, el análisis matemático posee, dentro de su propia naturaleza, una peculiaridad específica que lo distingue claramente de las matemáticas elementales anteriores.
Prevé consideraciones locales, no exclusivamente puntuales.
Sólo el paso de la puntualidad a la localidad permitirá construir un discurso de globalidad, yendo mucho más allá del cognoscible anterior.
Esta parte presenta conceptos generalmente abordados a nivel universitario en varios cursos de análisis y geometría.
En la tercera parte del libro se expondrán temas de interés general que se pueden desvincular del análisis matemático, como álgebra avanzada, estadística y lógica avanzada.
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Cada capítulo individual del libro puede considerarse como un campo completo de las matemáticas en sí mismo, pero solo analizando todos los temas será posible tocar la inmensidad de las matemáticas y es por esta razón que el orden de los capítulos refleja un continuo sucesión de conocimientos para progresar.
De hecho, las matemáticas tienen una amplitud casi ilimitada de sectores y aplicaciones.
No hay ciencia que pueda prescindir de conceptos matemáticos y no hay aplicación que no haya tomado prestadas nociones matemáticas y las haya hecho evolucionar con lenguajes particulares.
Así nacieron muchas disciplinas y muchas teorías no presentadas en este libro, citando sólo algunos ejemplos podemos incluir la teoría de juegos y las matemáticas financieras en el campo económico, las aplicaciones de la teoría de grupos y el álgebra avanzada para la física teórica y las partículas elementales, la evolución del cálculo tensorial para problemas de cosmología y astrofísica.
Por esta razón, este libro, aunque muy extenso, ciertamente no es completo ni abarca todo.
Hay más de 1000 ejercicios realizados, pero el número de posibles problemas y ejercicios es casi ilimitado.
Además, en todo el libro no hay demostraciones de teoremas que hubieran recargado más el volumen y la comprensión.
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La evolución de las matemáticas aplicadas a disciplinas y tecnologías individuales ha llevado a ramificaciones extremas y una evolución continua que continúa incluso hoy.
Esto tiene una consecuencia importante: las matemáticas son una ciencia "viva", contemporánea y futura y no están relegadas a un papel histórico.
Lo dicho no se aplica sólo a las innumerables aplicaciones, sino también a las matemáticas "puras", es decir, a los problemas matemáticos presentados en este manual.
Haciendo un historicismo sobre las nociones y los resultados expresados, se puede ver claramente cómo algunos supuestos y algunas demostraciones son muy recientes (un ejemplo sobre todo es la demostración de la conjetura de Poincaré), es decir, se dieron en el siglo XXI.
No es casualidad que haya premios por resolver problemas que siguen abiertos y que son tanto históricos, como las famosas preguntas de Hilbert de principios del siglo XX, como muy modernos en relación con el cálculo computacional, la lógica, la complejidad y la teoría del caos, así como como conceptos geométricos y algebraicos.
Al ser una ciencia viva, al igual que un lenguaje universal, las matemáticas se enriquecen continuamente con nuevas palabras y nuevas construcciones y es por eso que lo que se presenta en este libro es solo un peldaño hacia un conocimiento aún más avanzado y específico.
Asumir el desafío de escribir un nuevo capítulo o un solo capítulo en esta apasionante historia del único lenguaje artificial universal que describe la Naturaleza es parte de la evolución de nuestra especie y por eso cada uno de nosotros está llamado a participar de ella.
PRIMERA PARTE: MATEMÁTICAS ELEMENTALES
1
LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAL
Introducción
La lógica matemática se ocupa de la codificación, en términos matemáticos, de conceptos intuitivos relacionados con el razonamiento humano.
Es el punto de partida de cualquier proceso de aprendizaje matemático y, por tanto, tiene todo el sentido exponer las reglas elementales de esta lógica al comienzo de todo el discurso.
Definimos un axioma como un enunciado que se supone verdadero porque se considera evidente o porque es el punto de partida de una teoría.
Los axiomas lógicos son satisfechos por cualquier estructura lógica y se dividen en tautologías (enunciados verdaderos por definición desprovistos de nuevo valor informativo) o axiomas considerados verdaderos independientemente, incapaces de demostrar su validez universal.
Los axiomas no lógicos nunca son tautologías y se llaman postulados.
Tanto los axiomas como los postulados son indemostrables.
Generalmente, los axiomas que fundan y dan comienzo a una teoría se denominan principios.
Un teorema, por otro lado, es una proposición que, partiendo de condiciones iniciales (llamadas hipótesis) llega a conclusiones (llamadas tesis) a través de un procedimiento lógico llamado demostración.
Los teoremas son, por lo tanto, demostrables por definición.
Otros enunciados demostrables son los lemas que suelen preceder y fundamentar un teorema y los corolarios que, en cambio, son consecuentes a la demostración de un teorema dado.
Una conjetura, por otro lado, es una proposición que se cree verdadera gracias a consideraciones generales, la intuición y el sentido común, pero que aún no se ha demostrado en forma de teorema.
Simbología
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La lógica matemática hace que intervengan símbolos que luego volverán en todos los campos individuales de las matemáticas. Estos símbolos son variados y pertenecen a diferentes categorías.
La igualdad entre dos elementos matemáticos se indica con el símbolo de , si por el contrario estos elementos son diferentes entre sí el símbolo de desigualdad viene dado por .
En el campo geométrico también es útil introducir el concepto de congruencia, así indicado y de semejanza .
En matemáticas, la proporcionalidad también se puede definir, denotada por .
En muchos casos se deben definir conceptos matemáticos y geométricos, el símbolo de definición es este .
Finalmente, la negación viene dada por una barra encima del concepto lógico.
Luego están los símbolos lógicos cuantitativos que corresponden a conceptos lingüísticos. La existencia de un elemento se indica así , la singularidad del elemento así , mientras que la frase "para cada elemento" se transcribe así .
Otros símbolos hacen referencia a lógicas de ordenación, es decir, a la posibilidad de enumerar los elementos individuales según criterios cuantitativos, introduciendo información mucho más allá del concepto de desigualdad.
Si un elemento es mayor que otro, se indica con el símbolo de mayor que >, si es menor con el de menor <.
De manera similar, para conjuntos, el símbolo de inclusión se aplica para denotar una cantidad más pequeña .
Estos símbolos se pueden combinar con la igualdad para generar extensiones que incluyan los conceptos de "mayor o igual" y "menor o igual" .
Obviamente también se puede tener la negación de la inclusión dada por .
Otra categoría de símbolos lógicos pone en juego el concepto de pertenencia.
Si un elemento pertenece a alguna otra estructura lógica se indica con , si no pertenece con .
Algunos símbolos lógicos transcriben lo que normalmente ocurre en los procesos lógicos de construcción verbal.
La implicación dada por una oración subordinada hipotética (el clásico “si...entonces”) se codifica así , mientras que la coimplicación lógica (“si y sólo si”) así .
La construcción lingüística "tal que" se resume en el uso de los dos puntos:
Finalmente, existen símbolos lógicos que codifican las expresiones "y/o" (disyunción inclusiva), "y" (conjunción lógica), "o" (disyunción excluyente).
En los dos primeros casos, un correspondiente se puede encontrar en la unión de varios elementos, indicados con , y en la intersección de varios elementos .
Todos estos símbolos se denominan conectores lógicos.
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Principios
Hay cuatro principios lógicos que son absolutamente válidos en el esquema lógico elemental (pero no en algunos esquemas lógicos avanzados).
Estos principios son tautologías y ya eran conocidos en la filosofía griega antigua, siendo parte del sistema lógico de Aristóteles.
1) Principio de identidad: cada elemento es igual a sí mismo.
2) Principio de bivalencia: una proposición es verdadera o falsa.
3) Principio de no contradicción: si un elemento es verdadero, su negación es falsa y viceversa. De aquí se sigue necesariamente que esta proposición no puede ser verdadera
4) Principio del tercero excluido: no es posible que dos proposiciones contradictorias sean ambas falsas. Esta propiedad generaliza a la anterior, ya que la propiedad de no contradicción no excluye que ambas proposiciones sean falsas.
Propiedad
Además, para una operación lógica genérica se pueden definir las siguientes propiedades en una estructura lógica genérica G (no se dice que todas estas propiedades sean válidas para cada operación y para cada estructura lógica, dependerá de cada caso).
propiedad reflexiva :
Para cada elemento perteneciente a la estructura lógica, la operación lógica realizada sobre el mismo elemento remite internamente a la estructura lógica.
Propiedad de idempotencia :
Para cada elemento perteneciente a la estructura lógica, la operación lógica realizada sobre el mismo elemento da como resultado el mismo elemento.
Propiedad de existencia de elementos neutros :
Por cada elemento perteneciente a la estructura lógica, existe otro elemento tal que la operación lógica realizada sobre él siempre devuelve el elemento inicial.
Propiedad de existencia de elemento inversa :
Por cada elemento perteneciente a la estructura lógica, existe otro elemento tal que la operación lógica realizada sobre ellos siempre devuelve el elemento neutro.
Propiedad conmutativa :
Dados dos elementos pertenecientes a la estructura lógica, el resultado de la operación lógica realizada sobre ellos no cambia si se cambia el orden de los elementos.
propiedad transitiva :
Dados tres elementos pertenecientes a la estructura lógica, la operación lógica realizada sobre la cadena de elementos depende únicamente del primero y del último.
Propiedad asociativa :
Dados tres elementos pertenecientes a la estructura lógica, el resultado de la operación lógica realizada con ellos no cambia según el orden en que se realicen las operaciones.
Propiedad distributiva :
Dados tres elementos pertenecientes a la estructura lógica, la operación lógica realizada sobre un grupo de dos de ellos y sobre el otro es equivalente a la operación lógica realizada sobre grupos de dos.
Los conceptos de igualdad, congruencia, semejanza, proporcionalidad y pertenencia poseen todas estas propiedades que acabamos de enumerar.
Los símbolos de orden sólo satisfacen las propiedades transitiva y reflexiva.
En este caso, la propiedad de idempotencia se satisface solo al incluir también la ordenación con igualdad, mientras que las otras propiedades no están bien definidas.
La implicación lógica satisface las propiedades reflexiva, idempotencial y transitiva, mientras que no satisface las conmutativas, asociativas y distributivas.
Por otro lado, la coimplicación los satisface a todos, al igual que los conectores lógicos, como la conjunción lógica y la disyunción inclusiva.
Una operación en la que las propiedades reflexiva, conmutativa y transitiva se cumplen simultáneamente se denomina relación de equivalencia .
En general, los dos teoremas duales de De Morgan se cumplen :
Estos teoremas involucran las definiciones de conectores lógicos y la propiedad distributiva.
––––––––
lógica booleana
Para conectores lógicos es posible definir, con el formalismo de la llamada lógica booleana, tablas de verdad basadas en los valores "verdadero" o "falso" atribuibles a las proposiciones individuales.
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NEGACIÓN
v
F
F
v
La negación es verdadera si la proposición es falsa y viceversa.
CONJUNCIÓN LÓGICA
F
F
F
F
v
F
v
F
F
v
v
v
La conjunción lógica es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas.
DISYUNCIÓN INCLUSIVA
F
F
F
F
v
v
v
F
v
v
v
v
La disyunción inclusiva es falsa sólo cuando ambas proposiciones son falsas.
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
F
F
F
F
v
v
v
F
v
v
v
F
La disyunción exclusiva es falsa si ambas proposiciones son falsas (o verdaderas).
IMPLICACIÓN LÓGICA
F
F
v
F
v
v
v
F
F
v
v
v
La implicación lógica es falsa sólo si la causa es verdadera y la consecuencia es falsa.
COIMPLICACIÓN LÓGICA
F
F
v
F
v
F
v
F
F
v
v
v
La coimplicación lógica es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas (o falsas).
En caso de que la implicación lógica sea verdadera, A se llama condición suficiente para B, mientras que B se llama condición necesaria para A.
La implicación lógica es la principal forma de probar teoremas, considerando que A representa las hipótesis, B las tesis, mientras que el procedimiento de implicación lógica es la prueba del teorema.
La coimplicación lógica es una relación de equivalencia.
En este caso, A y B son conceptos lógicamente equivalentes y son condiciones necesarias y suficientes entre sí.
Recordando las propiedades expuestas, la coimplicación lógica también se puede expresar como:
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Aplicaciones de la lógica: demostración de teoremas
La demostración matemática de un teorema puede basarse en dos grandes categorías lógicas.
Por un lado está la deducción que, partiendo de hipótesis consideradas verdaderas (o ya demostradas previamente), determina la validez de una tesis en virtud de la coherencia formal y lógica del razonamiento demostrativo únicamente. Generalmente, siguiendo este patrón, se aplica un mecanismo que va de lo universal a lo particular.
Por otro lado, tenemos la inducción que, a partir de casos particulares, abstrae una ley general. Como se destaca repetidamente a lo largo de la historia de la lógica, toda inducción es en realidad una conjetura y, por lo tanto, si queremos usar el método lógico inductivo, estas proposiciones deben considerarse axiomas.
En la lógica moderna, en la que no entraremos en este párrafo por tratarse de conceptos avanzados que van mucho más allá del alcance de estas simples bases elementales, el método inductivo no se acepta como el razonamiento lógico correcto para demostrar matemáticamente tesis.
El método deductivo es, por lo tanto, el principal método de demostración matemática.
Se distingue en el método directo, en el que se demuestra efectivamente la tesis a partir de las hipótesis, y en el método indirecto, en el que se supone que la tesis es verdadera y se reconstruye el camino lógico hacia atrás para llegar a las hipótesis.
El método indirecto puede, a su vez, hacer uso de la prueba por contradicción que, al negar la tesis, conduce a una contradicción lógica y por tanto la tesis queda probada por el principio del tercero excluido.
El método por contradicción consiste, pues, no en probar que es verdadero, sino que es falso.
En ocasiones, se puede recurrir a la demostración del llamado contranominal para llegar a la demostración del teorema.
Esto se origina de la siguiente relación lógica.
Si es verdad , entonces es necesariamente verdad también .
En algunos sectores particulares de las matemáticas, por ejemplo en geometría, se pueden usar construcciones demostrativas particulares como las de similitud y equivalencia.
Los procedimientos lógicos de demostración son constructivos e iterativos, en el sentido de que los resultados anteriores pueden usarse para demostrar nuevas tesis (es el caso de los lemas y corolarios, por ejemplo) o los mismos procedimientos lógicos pueden usarse un número suficiente de veces para llegar a la demostración. de la tesis
Finalmente, señalamos que los teoremas matemáticos, precisamente porque tienen que ser probados, no son ni verdaderos ni falsos en términos absolutos; son las hipótesis las que determinan la veracidad o no de las tesis.
Precisamente por eso, una extensión general del conocimiento matemático viene dada por el mecanismo del debilitamiento de las hipótesis.
Dada una tesis general demostrada bajo hipótesis adecuadas, ¿cuál de estas últimas puede ser "relajada" para obtener la misma tesis?
Si, por el contrario, se cambian otras hipótesis, ¿qué nuevas tesis se pueden deducir?
Estas son las principales cuestiones que conducen a la superación de conocimientos previos tanto en lógica como en matemáticas.
Aplicaciones de la lógica booleana: calculadoras electrónicas
La lógica booleana, también llamada álgebra booleana, es la base de las calculadoras electrónicas modernas.
De hecho, la memoria de una computadora, o un procesador de la misma o de un teléfono inteligente, se basa en unidades individuales que se conectan a través de operaciones lógicas.
En las calculadoras electrónicas, cada comando está codificado por lenguajes de alto nivel (por ejemplo, sistemas operativos) que a su vez se basan en códigos de programación de nivel medio.
Estos códigos están mediados por otros programas que actúan directamente sobre la parte física de la máquina.
El corazón de toda calculadora electrónica está dado por una unidad lógica capaz de codificar y ejecutar una gran cantidad de operaciones lógicas por segundo.
En electrónica, las operaciones lógicas se definen de la siguiente manera:
- la negación se llama NO
- la conjunción lógica se llama AND
- la disyunción inclusiva se llama OR
- la disyunción exclusiva se llama XOR.
Además, las negaciones de las anteriores se denominan NAND, NOR y XNOR.
Las calculadoras electrónicas están compuestas por miles de millones de celdas lógicas elementales, cada una de las cuales codifica una de estas operaciones lógicas.
El sistema de numeración binaria, que tiene solo dos dígitos 0 y 1, es muy adecuado para interpretar la lógica booleana. El dígito 0 corresponde al estado de "falso", al dígito 1 el estado de "verdadero".
En informática, estos dígitos se denominan bits.
Físicamente, el estado falso está constituido por un circuito no polarizado (es decir, sin la aplicación de un voltaje eléctrico), mientras que el estado verdadero está constituido por un circuito polarizado.
Así aplicando un voltaje directo de referencia (durante muchos años fue de 5 voltios continuos, pero hoy en día existe una tendencia a disminuir este valor de 3,3 voltios a 2,1 hasta 1,8 o 1,3 o 0,9 voltios), es posible identificar los diferentes estados lógicos y construir los cimientos físicos de una calculadora electrónica.
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Insight: silogismo y lógica matemática
El silogismo se desarrolla en torno a este razonamiento dividido en tres enunciados:
Primera proposición: todos los hombres son mortales.
Segunda proposición: Sócrates es un hombre.
Tercera afirmación: Sócrates es mortal.
Traducido con la simbología de la lógica matemática se convierte en (llamado A el conjunto de todos los hombres, b el elemento identificativo de Sócrates y C el hecho de ser mortal):
Está claro que, lógicamente, este razonamiento es impecable.
El verdadero problema radica precisamente en la primera afirmación.
Decir "todos los hombres son mortales" es en sí mismo ya saber que Sócrates, como hombre, es mortal. En otras palabras, la primera afirmación se deriva de una inducción ya conocida a priori y, como tal, es una conjetura que no se puede demostrar, pero se toma como verdadera (el sentido común nos dice que así es).
Como tal, el silogismo, al ser un razonamiento basado en un primer enunciado inductivo, no genera conocimiento real.
Al final de la tercera frase sabemos que Sócrates es mortal, pero en realidad ya lo sabíamos al principio, ya que, para poder afirmar que todos los hombres son mortales, necesariamente teníamos que haber incluido ya al propio Sócrates.
La lógica moderna descarta el uso del silogismo para enriquecer el conocimiento, apoyándose en otras construcciones lógicas, basadas en la deducción y demostración de teoremas.
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Ejercicios
Ejercicio 1
Demostrar el primer teorema de De Morgan usando propiedades lógicas.
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El primer teorema de De Morgan establece que:
Aplicando la propiedad distributiva de la negación con respecto a la conjunción lógica llegamos al resultado del teorema de De Morgan.
De manera similar, se demuestra el segundo teorema.
Un método alternativo de prueba es el uso de tablas de verdad.
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Ejercicio 2
Construya la tabla de verdad para la siguiente construcción lógica.
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F
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Al aplicar la disyunción inclusiva a las dos tablas, queda claro que la construcción lógica siempre es verdadera.
Es por tanto una tautología.
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Ejercicio 3
Justificar, a través de la lógica booleana, la veracidad del método de demostración del contranominal.
––––––––
El método de demostración del contranominal se basa en negar la tesis y demostrar que esta negación implica la negación de las hipótesis.
En términos lógicos significa admitir que si es verdad , entonces es necesariamente verdad también .
De la lógica booleana sabemos que la implicación lógica es falsa solo si la causa es verdadera y la consecuencia es falsa.
F
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Como puede verse, las dos tablas de verdad coinciden.
2
OPERACIONES ARITMÉTICAS ELEMENTALES
Introducción
Además de la lógica, el alfabeto matemático se basa en números que son abstracciones conceptuales para codificar las diferentes cantidades de un elemento dado.
Casi todos los alfabetos numéricos, como el nuestro, se basan en caracteres dados por números; en nuestro sistema numérico decimal, los dígitos son diez, incluido el cero, que indica cantidad cero.
Un número viene dado por la composición de varias cifras; empezando por la derecha, el último dígito representa las unidades, el penúltimo las decenas, el antepenúltimo las centenas, el cuarto penúltimo los millares.
Podemos definir operaciones elementales relacionadas con cada alfabeto numérico, por facilidad de uso solo consideramos el sistema decimal que usamos extensivamente.
––––––––
Adición y sustracción
La suma tiene en cuenta el aumento de una cantidad por otra (u otras).
Las cantidades individuales se llaman sumandos, mientras que el resultado de la suma se llama suma.
Para la suma son válidas las propiedades conmutativa y asociativa, además el elemento neutro viene dado por cero.
La suma también satisface una propiedad de ordenación ya que la suma siempre es mayor que los sumandos individuales y, a la inversa, cada sumando es siempre menor que la suma.
El símbolo matemático para la suma es +.
La resta, en cambio, tiene en cuenta la reducción de una cantidad por otra (u otras).
La cantidad a restar se llama minuendo, la cantidad a restar se llama sustraendo, mientras que el resultado se llama diferencia.
Para la resta se cumple la propiedad asociativa, el elemento neutro siempre viene dado por cero y se cumple una propiedad de ordenación siendo la diferencia siempre menor que el minuendo y, viceversa, el minuendo siempre mayor que la diferencia.
El símbolo matemático de la resta es menos –.
Un caso especial de resta ocurre cuando el sustraendo es mayor que el minuendo.
En este caso, la diferencia es negativa, es decir, menor que cero.
Los números negativos tienen exactamente la misma forma que los números positivos excepto con el prefijo -.
Al hacerlo vemos que la resta no satisface la propiedad conmutativa, sino otra denominada anticonmutativa:
Esta formulación nos permite unificar los conceptos de suma y resta.
Podemos asociar los signos + y – con números individuales y no con la operación.
Por tanto, la resta es una suma entre un número positivo y uno negativo, aplicando la conocida regla de los signos según la cual un número par de signos concordantes (dos más o dos menos) devuelve un signo positivo, mientras que un número par de signos discordantes ( un más y un menos) da como resultado un signo negativo.
Ocurre a la inversa si hay un número impar de signos concordantes y discordantes.
En esta visión unificadora, la propiedad conmutativa siempre es válida ya que la resta cae en la suma. Además, cada número tiene una inversa con respecto a la operación de suma/resta dada por su contraparte negativa.
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Multiplicación y división
La multiplicación es una operación que resume la suma iterada de números iguales.
Los números a multiplicar se llaman factores, mientras que el resultado se llama producto.
El símbolo de multiplicación viene dado por , incluso si en matemáticas se usa más el punto o se omite totalmente el símbolo de multiplicación (y esto sucede en la gran mayoría de los casos).
Para la multiplicación se cumplen las propiedades conmutativa y asociativa, además se cumple la propiedad distributiva con respecto a la suma y la resta:
El elemento neutro viene dado por la unidad (todo número multiplicado por 1 siempre se da a sí mismo), siendo siempre válida la regla de los signos antes expuesta.
Además, para la multiplicación también existe un elemento cero, dado precisamente por cero (todo número multiplicado por cero siempre da cero).
La división es el reverso de la multiplicación.
El número a dividir se llama dividendo, el número que divide se llama divisor y el resultado se llama cociente.
El símbolo de división viene dado por , a veces también se usa la barra inclinada /.
Las propiedades enumeradas para la multiplicación no se aplican a la división.
El elemento neutro viene dado por la unidad (todo número dividido por 1 siempre se da a sí mismo) y siempre es válida la regla de los signos antes expuesta.
Sin embargo, la operación de división por cero no está definida.
Si el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor que 1, y si el dividendo es menor que el divisor, el cociente es menor que 1.
La operación de división trae números no enteros, es decir, números que solo se pueden definir usando dígitos más pequeños que la unidad.
Para tales figuras, se utiliza la convención de colocar una coma entre la parte superior y la parte inferior.
Los dígitos después del punto decimal expresan respectivamente décimas, centésimas, milésimas y así sucesivamente.
Cuando el dividendo es múltiplo del divisor, el cociente es un número entero y se denomina cuota y, en este caso, el dividendo es divisible por el divisor, siendo el resto cero.
Un número siempre es divisible por sí mismo (dando el valor 1) y por 1 (dando el valor en sí mismo).
Los números que solo son divisibles por sí mismos y por 1 se llaman números primos.
Los números que son divisibles por 2 se llaman pares, los que no son divisibles por 2 se llaman impares.
Un cociente siempre se puede expresar como la suma de una cuota y un resto.
Los cocientes no enteros pueden tener un número limitado de dígitos decimales o un número infinito de dichos dígitos.
En este último caso, hablamos de números periódicos ya que los dígitos decimales (todos o parte de ellos) se repiten siempre en la misma secuencia.
La periodicidad se indica con un signo encima del dígito o dígitos periódicos.
Por ejemplo, el cociente obtenido de la división entre 1 y 3 está dado por un número que tiene infinitos dígitos decimales todos iguales a 3 y se indica de la siguiente manera .
Otra forma de expresar la división es usar el concepto de fracción.
En este caso, el dividendo y el divisor se denominan numerador y denominador, respectivamente.
Como la división por cero no está definida, el denominador de una fracción nunca puede ser igual a cero.
Una fracción se indica con el símbolo de fracción ––, el numerador va en la parte superior, el denominador en la parte inferior.
Se dice que una fracción está reducida a su mínima expresión, o irreducible, si el numerador y el denominador son números primos, es decir, ya no son divisibles entre sí, dando como resultado una fracción.
Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es mayor que 1 y se dice que es impropia.
Por el contrario, es menor que 1 y se llama propio.
Finalmente, la fracción es aparente si el numerador es un múltiplo del denominador (porque, en este caso, la fracción es en realidad un número entero).
Definimos el recíproco de un número como aquel número que, multiplicado por el primero, siempre da 1.
En otras palabras, el recíproco de un número es su elemento inverso con respecto a la multiplicación.
Con esta definición y con la notación de fracciones, podemos unificar el concepto de división con el de multiplicación.
Una división no es más que una multiplicación entre el dividendo y el recíproco del divisor;.
Por ejemplo:
Definimos mínimo común múltiplo (mcm abreviado) de dos o más números enteros, el múltiplo entero positivo más pequeño de todos los números considerados.
Si alguno de estos números es cero, entonces mcm es cero.
Definimos el máximo común divisor (MCD abreviado) de dos o más números enteros que no son todos iguales a cero, el mayor número entero positivo por el que se pueden dividir todos los números.
En el caso de dos números, si uno de ellos es cero, entonces MCD es igual al otro número.
Dos números primos entre sí tienen un MCD igual a 1.
Exponenciación y extracción de raíz
La exponenciación es una operación que suma la multiplicación iterada de números iguales.
El número multiplicado varias veces se llama base, el número de multiplicaciones iteradas se llama exponente.
El exponente y la base pueden ser números enteros o decimales, tanto positivos como negativos.
El símbolo de exponenciación viene dado por la base con un superíndice superior donde se posiciona el exponente, por ejemplo
y dice "dos elevados a tres" o "dos a tres".
Si el exponente es igual a 2 se llama elevar al cuadrado, si es igual a 3 se llama elevar al cubo.
Toda exponenciación de una base cero siempre da cero, mientras que si la base es uno, el resultado es siempre uno.
Uno y cero son, por tanto, los dos elementos neutros de la exponenciación.
Una base negativa dará una potencia negativa si el exponente es impar, positiva si el exponente es par, mientras que una base positiva siempre dará una potencia positiva.
Con la misma base, el exponente negativo equivale a tomar el recíproco del número: por ejemplo
Por lo tanto, existe un vínculo entre las operaciones de multiplicación, división y exponenciación que también se extiende a los conceptos de elementos neutros e inversos.
A la luz de la exponenciación, podemos repasar los conceptos de unidades, decenas, centenas y millares.
Las unidades son aquellos dígitos que multiplican el valor de , decenas , centenas y miles de .
Por eso nuestro sistema de cálculo se llama decimal, ya que sigue potencias de base 10.
La operación inversa a la exponenciación se llama extracción de raíz y se indica con el símbolo donde debe aparecer el exponente de la raíz en la parte superior izquierda.
El número del que extraer la raíz se llama radical, mientras que el resultado se llama radical.
Si tomamos el ejemplo anterior, tenemos
donde 8 es el radical, 3 es el exponente y el radical es 2.
Si el exponente es igual a 2 se llama raíz cuadrada, si es igual a 3 se llama raíz cúbica.
Si los radicales son enteros, los respectivos radicales se denominan perfectos (cuadrados perfectos en el caso de raíz cuadrada, cubos perfectos en el caso de raíz cúbica).
Todos los demás radicales son números decimales, pero tienen un número infinito de dígitos que no se repiten después del punto decimal.
Si el exponente de la raíz es par, el radical necesariamente debe ser mayor o igual a cero, si es impar el radical puede ser positivo o negativo.
Finalmente, la extracción de raíz de uno y cero siempre es igual a uno y cero, respectivamente, cualquiera que sea el exponente. Uno y cero son, por lo tanto, los dos elementos neutrales de la extracción de raíces.
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Expresiones numéricas y sistemas numéricos
Las expresiones matemáticas contienen números (enteros, decimales, en forma de fracciones, potencias o raíces) y operaciones matemáticas, como las mostradas hasta ahora.
La multiplicación, la división, la potenciación y la extracción de raíces tienen prioridad sobre la suma y la resta en el sentido de que, en una expresión como esta 2x3+4, primero se realiza la multiplicación entre 2 y 3 y luego la suma de este resultado con 4.
Si quieres dar diferentes prioridades, debes introducir corchetes: las llaves tienen mayor prioridad que las cuadradas y estas últimas sobre las redondas.
Por ejemplo, si la expresión anterior se hubiera escrito como 2x(3+4), primero habría que sumar 3+4 y luego multiplicar este resultado por 2.
El sistema que utilizamos es el decimal, pero existen muchos otros, cada uno de los cuales se caracteriza por un número diferente de dígitos.
A partir de la propiedad de las potencias, podemos entender cómo un sistema numérico distinto al decimal tiene una base distinta.
En particular, los sistemas binarios (cuyos dígitos son solo 0 y 1) y los sistemas hexadecimales (además de los diez dígitos de nuestro sistema, también existen las letras A, B,C,D,E,F).
Finalmente, para los sistemas geométricos tiene sentido definir, dentro del sistema decimal, un método de numeración posicional sexagesimal, es decir, que divide los "números" geométricos, llamados grados, no en centésimas, sino en fracciones de 60.
Este sistema es el mismo que usamos para medir el tiempo en minutos y segundos.
3
TEORÍA DE CONJUNTOS
Introducción
Definimos el concepto primitivo e intuitivo de conjunto matemático como una colección de objetos, llamados elementos, indicados con letras minúsculas, mientras que los conjuntos con letras mayúsculas.
Si un elemento pertenece a un conjunto dado, se indica con el símbolo lógico de pertenencia.
Dos conjuntos coinciden si y solo si tienen los mismos elementos.
Se dice que un conjunto es finito si tiene un número finito de elementos, a la inversa se dice que es infinito.
El número de elementos de un conjunto finito se llama cardinalidad y se denota por card(A).
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Operaciones
Sobre conjuntos es posible realizar las operaciones lógicas, ya descritas en el primer capítulo, de unión, intersección y negación.
La unión corresponde a la disyunción inclusiva, mientras que la intersección a la conjunción lógica.
También podemos definir la diferencia entre el conjunto B y el conjunto A de la misma manera que definimos la diferencia de dos números.
Definimos el producto cartesiano como el conjunto de todos los posibles pares ordenados (a,b) con a perteneciente al conjunto A y b al conjunto B.
El producto cartesiano se ve así:
Se dice que dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común
Donde el conjunto vacío está presente en el segundo miembro.
Un conjunto contenido en otro se llama subconjunto propio , si la igualdad también es válida se llama impropio.
El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto existente.
En cambio, el conjunto de partes se indica como aquel conjunto que está formado por los elementos compuestos por los subconjuntos del conjunto inicial.
Llamando a A el conjunto inicial, el conjunto de partes es P(A) y esta relación siempre se cumple:
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Conjuntos numéricos
Podemos construir conjuntos numéricos, es decir, conjuntos cuyos elementos son números.
El conjunto de los números naturales, denotado por N, es el conjunto de los enteros positivos.
El conjunto de números relativos, denotado por Z, es el conjunto de enteros positivos y negativos.
El conjunto de números racionales, denotado por Q, es el conjunto de números que se obtienen como cocientes entre dos números enteros, tanto positivos como negativos.
El conjunto de números irracionales, denotado por I, es el conjunto de números decimales no periódicos que no se pueden expresar como una relación entre dos números enteros.
El conjunto de los números reales, denotado por R, es la unión del conjunto de los números irracionales con los de los números racionales.
Por lo tanto, las siguientes propiedades se cumplen entre estos conjuntos:
En el conjunto de los números naturales se definen la suma y la multiplicación entre dos números naturales, además son válidas las propiedades asociativas, conmutativas, distributivas y la existencia del elemento neutro (cero para la suma y uno para la multiplicación).
Tal conjunto es cerrado en el sentido de que la suma y el producto de los números naturales también son números naturales.
El conjunto de los números naturales se puede obtener axiomáticamente a partir de los axiomas de Peano que son respectivamente:
1) Existe un número natural correspondiente a la cantidad nula llamado cero.
2) Todo número natural a tiene un número natural sucesor, denotado como S(a)
3) El cero no es sucesor de ningún número natural.
4) Números naturales distintos tienen sucesores distintos
5) Si el cero y el sucesor de todo número natural que posee esta propiedad poseen una propiedad P, entonces la propiedad la poseen todos los números naturales.
De lo anterior, se puede ver que el último axioma de Peano hace uso del principio de inducción.
En el conjunto de los números relativos se aplican las mismas propiedades mencionadas para el conjunto de los números naturales, con la adición de la operación de resta y la existencia del elemento opuesto (que es el negativo del número seleccionado).
En el conjunto de los números racionales se aplican las mismas propiedades mencionadas para el conjunto de los números relativos con la adición de la operación de división, siempre definida excepto para denominadores iguales a cero.
En el conjunto de los números irracionales, la extracción de raíces está definida de manera única, siempre que el radical de una raíz par sea mayor o igual a cero.
En el conjunto de los números reales todas las operaciones anteriores se definen con las dos condiciones de existencia derivadas del conjunto de los números racionales (denominador distinto de cero) y del conjunto de los números irracionales (radical de raíz par mayor o igual a cero) .
El conjunto de los números reales es un campo con respecto a la suma y la multiplicación ya que son válidas las propiedades asociativas, conmutativas, distributivas y de existencia de los elementos neutros e inversos con respecto a las dos operaciones mencionadas.
Además, este conjunto está ordenado de forma total ya que las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva se cumplen para las relaciones de ordenación crecientes o decrecientes, además de la propiedad de dicotomía (dados dos números reales no coincidentes, o uno es mayor que otro o viceversa). viceversa).
A decir verdad, tanto las propiedades de ordenamiento total como de ser campo son también propias del conjunto de los números racionales.
La gran diferencia de los números reales es que el orden es completo, es decir, todo subconjunto no vacío de R tiene un supremo en R.
Este es el axioma de Dedekind y se deriva directamente de haber incorporado los números irracionales al conjunto de los números reales.
Esta diferencia también se encuentra en la cardinalidad de estos conjuntos numéricos.
De hecho, aunque todos son conjuntos infinitos, no tienen la misma cardinalidad, es decir, hay infinitos de distinto orden.
Se dice que dos conjuntos son equicardinales o equipotentes si se puede establecer una correspondencia biunívoca entre sus elementos, es decir, si uno y sólo un elemento de B está asociado a cada elemento de A y viceversa.
La propiedad de equicardinalidad es una relación de equivalencia y podemos dividir conjuntos finitos en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede representarse por un número natural.
En este punto, esa clase de conjuntos que pueden ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales tiene la misma cardinalidad que este último y se denomina cardinalidad de lo contable (por lo tanto, el conjunto se denomina contable, aunque es infinito).
Al hacerlo, vemos que N y Z poseen la cardinalidad del contable.
Cantor demostró que Q también tiene la cardinalidad de lo contable, es decir, puede ser colocado en una relación biunívoca con el conjunto de los números naturales bajo clases de equivalencia adecuadas.
El conjunto de los números reales, por otro lado, no puede ser colocado en correspondencia biunívoca con el de los números naturales debido a la presencia de números irracionales que de ninguna manera pueden ser incluidos en ninguna clase de equivalencia ya que tienen infinitos no -Dígitos decimales periódicos.
El conjunto de los números reales, por tanto, no tiene cardinalidad del contable, pero se dice que tiene cardinalidad del continuo.
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Ejercicios
Ejercicio 1
Demostrar que en el conjunto de los números naturales se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, distributiva y la existencia del elemento neutro (cero para la suma y uno para la multiplicación).
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En el conjunto de los números naturales se definen las operaciones de suma y multiplicación.
La propiedad conmutativa de la suma proviene de la combinación de los axiomas número 2 y número 4 de Peano.
De esto último se deriva la propiedad conmutativa de la multiplicación, recordando que la multiplicación no es más que una suma (multiplicar un número por otro significa sumar el propio número un número de veces igual a la cifra que multiplica).
La propiedad asociativa de la suma proviene de los axiomas 2 y 4 y de la propiedad conmutativa.
Idénticamente para el caso de la multiplicación.
De estas dos propiedades se deriva la distributiva de la suma y la multiplicación.
El elemento neutro de la suma es el primer axioma de Peano.
El elemento neutro de la multiplicación es el primer sucesor del cero.
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CÁLCULO LITERAL
Operaciones
En matemáticas se utiliza mucho el cálculo literal, es decir, la sustitución de números por letras que pueden tomar cualquier valor numérico. La elección de letras es completamente aleatoria y no afecta a la validez general de lo que vamos a explicar. Este sector de las matemáticas se llama álgebra y las operaciones que vamos a enumerar se llaman algebraicas.
Al hacerlo, las operaciones de suma y resta se pueden escribir de la siguiente manera:
Y de la misma manera se pueden reescribir las propiedades de estas operaciones.
Idénticamente, para la multiplicación tenemos (recordando los distintos símbolos y la posibilidad de omitirlos):
Para la multiplicación podemos reescribir la propiedad distributiva con respecto a la suma y la resta:
Esta propiedad, si se lee en la dirección opuesta, es decir, de derecha a izquierda, se denomina agrupación de factores comunes y es crucial en el desarrollo de expresiones que contienen el cálculo literal.
Para fracciones, se cumplen las siguientes propiedades de multiplicación y suma/resta:
Una relación literal que vincula mcd y mcm entre dos números viene dada por:
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Operaciones de potencia
La potenciación y la extracción de raíces se denotan así
Y se leen como "a elevado a la n-ésima potencia" y "raíz enésima de a"-
Las propiedades son las siguientes:
Por tanto, el producto de potencias de igual base viene dado por la suma de las potencias, mientras que la exponenciación de una potencia viene dada por el producto de las potencias.
Recordando que los exponentes negativos conducen de nuevo a los símbolos fraccionarios:
Tenemos la siguiente propiedad dual relativa a la división entre potencias de igual base:
Es decir, la división entre potencias de igual base viene dada por la diferencia de potencias.
Si en cambio las bases cambian pero los exponentes son los mismos, tenemos:
Las dos propiedades que acabamos de mencionar se denominan agrupación de factor común de la potencia.
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Operaciones sobre radicales
Recordando que los exponentes fraccionarios conducen a la extracción de raíces:
Tenemos las siguientes propiedades de los radicales:
La primera propiedad resume las definiciones de exponenciación y extracción de raíces y establece que son operaciones inversas, es decir, la potenciación a la n-ésima potencia de una n-ésima raíz de un número devuelve el número mismo.
La segunda propiedad establece que la raíz n-ésima de una raíz m-ésima viene dada por una raíz cuyo índice es el producto de n por m.
La tercera propiedad indica la intercambiabilidad de las operaciones de raíz y exponenciación.
La última propiedad se llama racionalización del denominador (si se lee al revés se llama irracionalización).
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Condiciones de existencia
Todas las operaciones presentadas en este capítulo se definen sólo bajo dos condiciones distintas, que en adelante llamaremos condiciones de existencia.
El primero viene dado por el denominador de una fracción, que siempre debe ser distinto de cero.
El segundo viene dado por la raíz de una raíz par, que siempre debe ser mayor o igual a cero.
En fórmulas tenemos:
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Monomio
Definimos monomio como una expresión algebraica, en la que no aparece ni la suma ni la resta, que consta de un coeficiente numérico y una parte literal.
El grado de un monomio es la suma de los exponentes presentes en él.
Se dice que dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal elevada a los mismos exponentes.
La multiplicación y división de monomios se derivan de las reglas expresadas al hablar de potencias, por ejemplo tenemos, con K y H cualesquiera coeficientes numéricos:
polinomios
La suma y resta de monomios que no son semejantes entre sí da lugar a polinomios.
Si el polinomio consta de dos monomios se llama binomio, si en cambio son tres monomios se llama trinomio.
El grado de un polinomio es el grado máximo de los monomios individuales que constituyen el polinomio. Un polinomio de grado cero es una constante numérica, si es de grado uno se dice lineal, de grado dos cuadrática (o cónica), de grado tres cúbica.
El producto de polinomios viene dado por la suma de los productos de cada monomio individual del primer polinomio por todos los demás monomios del segundo polinomio, aplicando la conocida regla de la propiedad distributiva.
Con la introducción de polinomios se vuelve natural generalizar todas las expresiones literales.
Tales expresiones pueden dar lugar a identidades, cuando las partes literales se comparan entre sí, oa ecuaciones.
Cuando el valor de una parte literal del polinomio es tal que cancela todo el polinomio, se le llama raíz del polinomio.
La búsqueda de las raíces de un polinomio es crucial para resolver problemas matemáticos y hace uso de las propiedades de descomposición de polinomios en factores primos, es decir, la inversa de la propiedad distributiva mencionada anteriormente.
La división entre dos polinomios da lugar a la formación de dos polinomios, uno dado por el cociente y otro por el resto, ambos de grado inferior al polinomio de partida.
Si el polinomio de resto es cero, significa que los dos polinomios de partida son divisibles entre ellos y que se ha realizado una factorización prima.
Este teorema se conoce como el teorema del resto. El teorema de Ruffini da un corolario, según el cual si un polinomio es divisible por (xa), entonces a es una raíz del polinomio.
De ahí deriva la conocida regla de Ruffini que, una vez identificada la raíz de un polinomio, permite descomponerla y obtener el polinomio cociente, obviamente de menor grado que el polinomio de partida.
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Productos destacados
Algunos resultados útiles para la descomposición de polinomios están dados por los llamados productos notables:
Cuadrado de un binomio:
Cuadrado de un trinomio:
Cubo de un binomio:
Diferencia de cuadrados:
Suma y diferencia entre cubos:
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Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelva la siguiente expresión literal:
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, tenemos:
Sumando y reordenando los términos:
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Ejercicio 2
Resuelva el siguiente cálculo fraccionario:
Los dos primeros términos se condensan en la fracción:
Teniendo el mismo denominador que el tercer término, simplemente tenemos:
Observación: la regla del "producto cruzado" utilizada permite simplificar mucho los cálculos en comparación con el cálculo normal del máximo común divisor por el denominador y la multiplicación de los factores restantes por los numeradores. Este es uno de los muchos casos en los que las matemáticas prefieren una forma "inteligente", es decir, una forma elegante (¡y rápida!) de resolver problemas sin empantanarse en cálculos largos e inútiles que conducen a cualquier tipo de error.
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Ejercicio 3
Encuentra el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números: 15 y 18.
18= 3x3x2
El máximo común divisor es obviamente 3.
La regla nos permite evitar cálculos innecesarios, afirmando que el mínimo común múltiplo está simplemente dado por 15 x 18 dividido por 3 o 90.
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Ejercicio 4
Resuelve las siguientes expresiones:
a)
b)
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a) La expresión se desarrolla así, recordando las propiedades de las potencias:
Donde en el tercer paso se realizó la operación fraccionaria de común denominador y en el último paso se recogió como factor común el término que aparecía en todas las expresiones literales en el numerador.
La expresión se define solo si tanto b como c son distintos de cero.
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b) De las propiedades de las potencias tenemos:
La expresión se define solo si tanto a como b son distintos de cero.
Ejercicio 5
Resuelve los siguientes radicales:
a)
b)
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a) De las propiedades de los radicales tenemos:
Donde en el último pasaje se explotó la propiedad de “llevar”, eso es traer ab debajo de la raíz trigésima para eliminar el exponente negativo dentro de la raíz.
Un método más rápido para resolver el radical habría sido recordar que las raíces se pueden identificar con exponenciales fraccionarios, es decir:
A través de este método podemos ver cómo el cálculo de radicales no es más que una aplicación de las propiedades de las potencias.
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b)
En el primer pasaje se recogió como factor común el término bajo la raíz cúbica, mientras que posteriormente se aplicaron las reglas de los radicales.
También en este caso podríamos haber procedido con las propiedades normales de las potencias.
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Ejercicio 6
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Determinar las condiciones de existencia de las siguientes expresiones en el campo de los valores reales:
a)
b)
C)
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a) Se trata de imponer denominadores distintos de cero, por lo que la condición de existencia es cualquier valor de a perteneciente a R excepto 0 y 3.
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b) Se trata de poner los radicales mayor o igual a cero. Por lo tanto, ambas condiciones deben cumplirse:
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c) Las raíces pueden tomar cualquier valor, ya que las raíces tienen un índice impar. La única condición de existencia es la relativa al denominador que debe ser distinto de cero.
Por lo tanto, la expresión está definida sobre todo el conjunto R excepto para a=1.
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Ejercicio 7
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Resuelve las siguientes operaciones con monomios:
a)
b)
––––––––
a) Se trata de aplicar las reglas normales de competencias:
––––––––
b) Como en el primer ejercicio:
––––––––
Ejercicio 8
Resuelve los siguientes polinomios factorizándolos en factores primos:
a)
b)
C)
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a) Recogiendo en el factor común tenemos:
––––––––
b) Realizando las operaciones y posteriormente recogiendo el factor común, tenemos:
––––––––
c) La primera fracción se simplifica como sigue:
Para la segunda fracción se realiza la división polinomial, es decir:
Donde Q es el cociente y R el resto.
Se puede ver que a=1 es raíz del numerador y por lo tanto el resto será cero R=0.
Esto significa encontrar el polinomio que multiplicado por (a-1) da el numerador.
Por lo tanto, la segunda fracción queda:
E
