Handbuch der fortgeschrittenen Mathematik E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Dieses Buch untersucht einen Großteil der fortgeschrittenen Mathematik, beginnend mit dem Meilenstein, der durch die mathematische Analyse gegeben wurde, und geht weiter zu Differential- und fraktaler Geometrie, mathematischer Logik, algebraischer Topologie, fortgeschrittener Statistik und numerischer Analyse.
Gleichzeitig werden umfassende Einblicke in Differential- und Integralgleichungen, Funktionsanalyse und fortgeschrittene Matrizen- und Tensorentwicklung vermittelt.
Mit dem aufgezeigten mathematischen Hintergrund wird es möglich sein, alle Mechanismen zur Beschreibung wissenschaftlicher Erkenntnisse zu verstehen, die durch eine Vielzahl von Formalismen ausgedrückt werden.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

„Handbuch der fortgeschrittenen Mathematik“

EINFÜHRUNG

I

II

III

IV

v

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

XVI

XVIII

XVIII

XIX

XX

XXI

XXII

XXIII

XXIV

XXV

XXVI

XXVII

XXVIII

XXIX

XXX

XXXI

XXXII

APOSTILLE

„Handbuch der fortgeschrittenen Mathematik“

SIMONE MALACRIDA

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

Dieses Buch untersucht einen Großteil der fortgeschrittenen Mathematik, beginnend mit dem Meilenstein, der durch die mathematische Analyse gegeben wurde, und geht weiter zu Differential- und fraktaler Geometrie, mathematischer Logik, algebraischer Topologie, fortgeschrittener Statistik und numerischer Analyse.

Gleichzeitig werden umfassende Einblicke in Differential- und Integralgleichungen, Funktionsanalyse und fortgeschrittene Matrizen- und Tensorentwicklung vermittelt.

Mit dem aufgezeigten mathematischen Hintergrund wird es möglich sein, alle Mechanismen zur Beschreibung wissenschaftlicher Erkenntnisse zu verstehen, die durch eine Vielzahl von Formalismen ausgedrückt werden.

ANALYTISCHER INDEX

––––––––

EINFÜHRUNG

I – ALLGEMEINE TOPOLOGIE

II - GRENZEN UND KONTINUITÄT

III – DIFFERENZIALRECHNUNG

IV – INTEGRALE BERECHNUNG

V – STUDIE VON FUNKTIONEN MIT REALEN VARIABLEN

VI – ERWEITERTE ANALYTISCHE GEOMETRIE

VII – NICHT-EUKLIDISCHE GEOMETRIEN

VIII – REALE FUNKTIONEN MIT MEHREREN VARIABLEN

IX – IMPLIZIERTE FUNKTIONEN

X – ERWEITERTE VEKTOR- UND MATRIXMATHEMATIK

XI – DIFFERENZIALGEOMETRIE

XII – TENSORIAL-MATHEMATIK

XIII – INTEGRALRECHNUNG FÜR FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN

XIV – ENTWICKLUNGEN IN SERIE

XV – KOMPLEXE ANALYSE

XVI – FUNKTIONSANALYSE

XVII – TRANSFORMIEREN

XVIII – VERTEILUNGEN

XIX – GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

XX – PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN

XXI – INTEGRAL- UND INTEGRAL-DIFFERENTIAL-GLEICHUNGEN

XXII – FORTGESCHRITTENE ALGEBRA

XXIII – ALGEBRAISCHE STRUKTUREN

XXIV – GALOIS-THEORIE

XXV – KOMBINATORISCHE GEOMETRIE

XXVI – DISKRETE MATHEMATIK

XXVII – ERWEITERTE STATISTIK

XXVIII – STOCHASTISCHE PROZESSE

XXIX – NUMERISCHE ANALYSE

XXX – FRAKTALE GEOMETRIE

XXXI – ZAHLENTHEORIE

XXXII – FORTGESCHRITTENE MATHEMATISCHE LOGIK

APOSTILLE

EINFÜHRUNG

In diesem Buch werden wir alle Grundlagen der fortgeschrittenen Mathematik bereitstellen, einschließlich sowohl der großen Disziplin der mathematischen Analyse als auch aller unterschiedlichen Gebiete, die in den letzten zwei Jahrhunderten entstanden sind, einschließlich, um nur einige zu nennen, Differentialgeometrie und Fraktale, nichteuklidische Geometrien, algebraische Topologie, Funktionsanalyse, Statistik, Numerik und mathematische Logik.

Fast alle diese Begriffe wurden nach der Einführung des Formalismus der mathematischen Analysis Ende des 17. Jahrhunderts entwickelt, und seitdem hat sich der Weg der Mathematik immer parallel zwischen diesem Sektor und allen anderen möglichen Teildisziplinen so allmählich fortgesetzt Seite an Seite und haben eigenständige Wege eingeschlagen.

Zum vollständigen Verständnis des Handbuchs sind Kenntnisse und Voraussetzungen der elementaren Mathematik erforderlich, die wir hier nicht weitergeben, wie beispielsweise alles, was mit Trigonometrie, analytischer Geometrie, Matrizenmathematik, komplexen Zahlen und den Hauptfunktionen elementar reell zu tun hat Variable.

„Grundlegenden Mathematik-Handbuch“ enthalten , das als Vorbereitung auf das, was im Folgenden erläutert wird, zu betrachten ist und das eine Art erster Band des gesamten mathematischen Wissens darstellt, für das dieses Handbuch vielmehr die Ergänzung darstellt der zweite Teil.

Zur Bedeutung der Mathematik in der heutigen Gesellschaft und zu den unterschiedlichen Bedeutungen der Mathematik als Kunst- und Universalsprache, die sie beschreibt la Natura, sei daher auf die Einleitung des vorgenannten Handbuchs verwiesen.

Es bleibt zu verstehen, warum die mathematische Analyse diese Wasserscheide zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik eingeführt hat.

Es gibt zwei Bereiche, die sich in diesem Diskurs ergänzen.

Einerseits war es erst mit der Einführung der mathematischen Analyse möglich, mit einem geeigneten Formalismus die Gleichungen zu beschreiben, die Naturphänomene physikalischer, chemischer oder anderer Herkunft, beispielsweise sozialer oder wirtschaftlicher Natur, beherrschen. Mit anderen Worten, die mathematische Analyse ist das Hauptwerkzeug zum Aufbau jener Mechanismen, die es uns ermöglichen, Ergebnisse vorherzusagen, Technologien zu entwerfen und über neue Verbesserungen nachzudenken, die eingeführt werden können.

Andererseits besitzt die mathematische Analysis ihrem Wesen nach eine spezifische Eigentümlichkeit, die sie deutlich von der bisherigen Elementarmathematik unterscheidet. Dies wird aus dem ersten Kapitel dieses Handbuchs ersichtlich, denn jetzt beschränken wir uns darauf, zu sagen, wie die mathematische Analyse für lokale Überlegungen sorgt, nicht ausschließlich für punktuelle. Allein der Übergang von der Pünktlichkeit zur Lokalität wird es ermöglichen, einen Diskurs der Globalität aufzubauen, der weit über das bisher Erkennbare hinausgeht.

Dieses Handbuch erhebt nicht den Anspruch, alle möglichen Facetten jedes einzelnen Sektors der fortgeschrittenen Mathematik vorzustellen oder auch nur die Demonstrationen der unendlichen Theoreme aufzudecken, die die mathematische Analyse und andere verwandte Disziplinen prägen. Erstens liegt es nicht im Rahmen des Schreibens und dann wären exorbitante Seitenzahlen erforderlich, was dem Geist eines Handbuchs widerspricht, das seinem Wesen nach synthetisch und kompendiumhaft ist.

In diesem Handbuch werden zwei Hauptthemen mehrmals aufgegriffen, um ihre gegenseitige Bedeutung zu unterstreichen.

Die erste wird durch die fortgeschrittene Geometrie in all ihren Formen gegeben, um genau den parallelen Weg zwischen Mathematik und Geometrie aufzuzeigen, der seit Anbeginn der Geschichte vorhanden ist.

Das zweite Argument ist typisch für den durch die mathematische Analyse eingeführten Sprung und bezieht sich auf die Topologie, die wir aus Gründen des Verständnisses in mehreren Teilen des Handbuchs vorstellen werden.

Am Ende des Buches werden Themen von allgemeinem Interesse vorgestellt, die die mathematische Analyse außer Acht lassen können, wie fortgeschrittene Algebra, Statistik und Numerik.

Das letzte Kapitel widmet sich der fortgeschrittenen mathematischen Logik. Bei näherer Betrachtung widmete sich das erste Kapitel des bereits erwähnten „Handbuch der elementaren Mathematik“ der elementaren Logik. Dass dieses Handbuch der fortgeschrittenen Mathematik wieder mit Logik endet, ist keineswegs ein Zufall: Die Entwicklung der Mathematik ist intern logischen Konstrukten, die den Referenzkompass für alles menschliche Denken bilden.

Jedes einzelne Kapitel kann als eigenständiges Gebiet der Mathematik betrachtet werden, aber nur durch die Analyse aller Themen wird es möglich sein, die Weite der Mathematik zu berühren, und deshalb spiegelt die Reihenfolge der Kapitel eine Abfolge von Wissen wider, das sich ständig weiterentwickelt.

I

ALLGEMEINE TOPOLOGIE

Der konzeptionelle Sprung zwischen elementarer und fortgeschrittener Mathematik wurde erst nach der Einführung der mathematischen Analyse offensichtlich. Die Tatsache, dass diese Disziplin lokal und nicht punktuell war, führte zum Studium und zur Entwicklung der Topologie, verstanden als das Studium von Orten und Räumen nicht nur im geometrischen Sinne, sondern in einem viel weiteren Sinne. Die allgemeine Topologie liefert die Grundlagen aller zugrunde liegenden Sektoren, zu denen wir die algebraische Topologie, die differentielle, die fortgeschrittene und so weiter zählen können.

Wir definieren Topologie als eine Sammlung T von Teilmengen einer allgemeinen Menge X, für die die folgenden drei Eigenschaften gelten:

1) Die leere Menge und die allgemeine Menge X gehören zur Sammlung T.

2) Die Vereinigung einer beliebigen Menge von zu T gehörenden Mengen gehört zu T.

3) Der Durchschnitt einer endlichen Anzahl von Mengen, die zu T gehören, gehört zu T.

Ein topologischer Raum wird durch ein Paar (X, T) definiert, und die Mengen, die die Sammlung T bilden, sind offene Mengen. Besondere Topologien können die triviale sein, in der T aus X und der leeren Menge gebildet wird, und die diskrete, in der T mit der Menge der Teile von X zusammenfällt. In der ersten Topologie sind nur die leere Menge und X offene Mengen, während in die diskrete Alle Mengen sind offene Mengen. Zwei Topologien sind vergleichbar, wenn eine von ihnen eine Teilmenge der anderen ist, während, wenn eine Topologie die andere enthält, die erste als feiner als die zweite bezeichnet wird. Die Menge aller Topologien ist teilweise geordnet: Die triviale Topologie ist am wenigsten fein, die diskrete ist am feinsten, und alle anderen möglichen Topologien haben eine mittlere Feinheit zwischen diesen beiden.

In einem topologischen Raum heißt eine Menge I, die einen zu X gehörenden Punkt x enthält, (offene) Umgebung von x, wenn es eine in I enthaltene offene Menge A gibt, die x enthält:

Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Geschlossene Mengen haben drei Eigenschaften:

1) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist eine abgeschlossene Menge.

2) Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist eine abgeschlossene Menge.

3) Die Menge X und die leere Menge sind abgeschlossen.

Mit diesen Eigenschaften kann eine Topologie basierend auf abgeschlossenen Mengen konstruiert werden. Im Allgemeinen kann eine Teilmenge geschlossen, offen, sowohl offen als auch geschlossen, weder offen noch geschlossen sein.

Sagte S eine Teilmenge eines topologischen Raums X, x ist ein Abschlusspunkt von S, wenn jede Umgebung (offen oder geschlossen) von x mindestens einen Punkt von S enthält.

Sagte S eine Teilmenge eines topologischen Raums X, x ist ein Häufungspunkt von S, wenn jede Umgebung (offen oder geschlossen) von x mindestens einen von x selbst verschiedenen Punkt von S enthält.

Jeder Häufungspunkt ist ein Schließpunkt, während umgekehrt nicht gilt. Verriegelungspunkte, die keine Häufungspunkte sind, werden isolierte Punkte genannt.

Die Menge aller Abschlusspunkte einer gegebenen Menge heißt Abschluss und wird mit cl(I) bezeichnet. Der Abschluss in einer Menge ist eine abgeschlossene Menge und enthält die Startmenge, außerdem ist er die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen, die die Startmenge enthalten, und ist die kleinste geschlossene Menge, die die Startmenge enthält. Diese Definitionen werden als topologischer Abschluss bezeichnet.

Eine Menge ist also genau dann abgeschlossen, wenn sie mit ihrem eigenen Abschluss übereinstimmt.

Schließlich ist der Abschluss einer Teilmenge eine Teilmenge des Abschlusses der Hauptmenge, und eine abgeschlossene Menge enthält genau dann eine andere Menge, wenn diese Menge den Abschluss der zweiten enthält.

Es versteht sich von selbst, dass der Abschluss der leeren Menge die leere Menge ist, der der allgemeinen Menge X die allgemeine Menge X und in einem diskreten Raum jede Menge gleich ihrem Abschluss ist.

Sagte S eine Teilmenge eines topologischen Raums X, x ist ein innerer Punkt von S, wenn es eine (offene oder geschlossene) Umgebung von x gibt, die in S enthalten ist.

Die Menge aller inneren Punkte einer gegebenen Menge heißt das Innere und wird mit int(I) bezeichnet. Der innere Teil ist eine offene Teilmenge der Startmenge, er ist die Vereinigung aller in dieser Menge enthaltenen offenen Mengen und die größte in dieser Menge enthaltene offene Menge. Diese Definitionen werden als topologisches Inneres bezeichnet.

Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie mit ihrem Inneren übereinstimmt, außerdem erfüllt das Innere die Idempotenzrelation.

Schließlich ist das Innere einer Teilmenge eine Teilmenge des Inneren der Hauptmenge, und eine offene Menge enthält genau dann eine andere Menge, wenn diese Menge das Innere der zweiten enthält.

Es versteht sich von selbst, dass das Innere der leeren Menge die leere Menge ist, das der allgemeinen Menge X die allgemeine Menge X und in einem diskreten Raum jede Menge gleich ihrem Inneren ist.

Eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raums heißt selten, wenn sie keinen Innenraum hat. Ein topologischer Raum heißt erster Kategorie, wenn er die Vereinigung einer abzählbaren Familie seltener abgeschlossener Mengen ist, umgekehrt heißt er zweiter Kategorie.

Dem internen Teil und dem Abschluss können Operatoren zugeordnet werden, die diese beiden Konzepte in eine duale Beziehung setzen.

Die festgelegte Differenz zwischen dem Verschluss und dem Inneren wird als Grenze bezeichnet, ein zur Grenze gehörendes Element wird als Grenzpunkt bezeichnet. Die Grenze ist auch der Schnittpunkt zwischen dem Abschluss und seinem Komplement und ist definiert als die Menge von Punkten, so dass jede Nachbarschaft mindestens einen Punkt enthält, der zu der Menge gehört, und mindestens einen Punkt, der nicht zu dieser Menge gehört.

Der Rand einer Menge ist geschlossen. Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Rand in der Menge enthalten ist, während sie genau dann offen ist, wenn ihr Rand davon disjunkt ist.

Die Grenze einer Menge ist gleich der Grenze ihres Komplements, und die Abschlussoperation ist einfach die Vereinigung der Menge mit ihrer Grenze. Der Rand einer Menge ist genau dann leer, wenn die Menge sowohl abgeschlossen als auch offen ist.

Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist lokal geschlossen, wenn sie mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt: sie ist offen in ihrem Abschluss oder sie ist offen in jedem geschlossenen Raum oder sie ist geschlossen in jedem offenen Raum oder wenn für jeden Punkt der Teilmenge es gibt eine offene Nachbarschaft dieses Punktes, so dass der Schnittpunkt zwischen der Nachbarschaft und der Teilmenge in der Nachbarschaft geschlossen ist.

Ein topologischer Raum heißt kompakt, wenn er aus einer beliebigen Familie offener Teilmengen des Raums stammt, dessen Überdeckung gegeben ist durch:

man kann eine endliche Teilmenge J in I extrahieren, so dass die gleiche Überdeckungsrelation gilt. Dies ist die sogenannte Abdeckkompaktheit und kann auch durch die Verwendung geschlossener Mengen definiert werden.

Ein topologischer Raum heißt folgenkompakt, wenn jede Folge von Punkten im Raum eine Teilfolge zulässt, die gegen einen Punkt im Raum konvergiert.

Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt, dass jede unendliche Teilmenge eines kompakten Raums mindestens einen Häufungspunkt zulässt.

Eine geschlossene Teilmenge eines Kompakts ist ein Kompakt; das Produkt kompakter Räume ist ebenso kompakt wie der Quotient.

Die leere Menge und jede mit der trivialen Topologie definierte Menge sind kompakt. Ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall in der Menge der reellen Zahlen ist kompakt. Jeder endliche topologische Raum ist auch kompakt, ebenso wie die geschlossene Sphäre in RxR und die Cantor-Menge (die wir ausführlich in dem Kapitel besprechen werden, das der fraktalen Geometrie gewidmet ist, fast am Ende des Buches). Unendliche Mengen mit diskreter Topologie sind nicht kompakt.

Ein Raum wird als lokal kompakt bezeichnet, der für jeden Punkt eine Basis von Umgebungen zulässt, die aus kompakten Mengen bestehen.

Ein nicht leerer topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn das einzige Paar disjunkter Teilmengen, dessen Vereinigung der Raum selbst ist, durch das Paar zwischen dem Raum und der leeren Menge gegeben ist. Entsprechend können wir sagen, dass ein topologischer Raum genau dann zusammenhängend ist, wenn die einzigen offenen und abgeschlossenen Teilmengen die leere Menge und der Raum selbst sind.

Eine zusammenhängende Komponente eines Raums wird als zusammenhängende Teilmenge bezeichnet, die in keiner anderen zusammenhängenden Teilmenge enthalten ist. Ein Raum, dessen verbundene Komponenten seine Punkte sind, wird als vollständig getrennt bezeichnet. Die Cantor-Menge und eine Menge mit diskreter Topologie sind vollständig getrennt.

Die Vereinigung von Linien in der Ebene ist ein zusammenhängender Raum, wenn mindestens zwei Linien nicht parallel sind, während in der Menge der reellen Zahlen eine Teilmenge genau dann zusammenhängend ist, wenn es sich um ein Intervall handelt, in dem jedes Extrem unendlich sein kann. Außerdem ist das Produkt zusammenhängender Räume ein zusammenhängender Raum.

Ein topologischer Raum heißt durch Bögen oder Wege verbunden, wenn es für jedes Punktpaar im Raum eine stetige Funktion gibt (zur Definition von Stetigkeit siehe nächstes Kapitel), die sie gleichwertig mit den Endpunkten verbindet des Weges. Jeder durch Wege verbundene Raum ist verbunden, aber nicht umgekehrt.

Ein Raum ist lokal verbunden, wenn er ein System verbundener Nachbarschaften hat. Ein wegzusammenhängender topologischer Raum ist einfach zusammenhängend, wenn der Weg bis zur Transformation (Homotopie genannt) in den konstanten Weg beliebig kontrahierbar ist.

Wir definieren stetige Funktion zwischen topologischen Räumen als eine Funktion, für die das Gegenbild jeder offenen Menge offen ist.

Wir definieren den Hausdorff-Raum als einen topologischen Raum, der die folgenden Axiome erfüllt:

1) Jedem Punkt im Raum entspricht mindestens eine Umgebung des Punktes, die den Punkt selbst enthält.

2) Bei zwei Nachbarschaften desselben Punktes ist der Schnittpunkt dieser beiden Nachbarschaften eine Nachbarschaft.

3) Wenn eine Umgebung eines Punktes eine Teilmenge einer Menge ist, dann ist diese Menge auch eine Umgebung des Punktes.

4) Für jede Nachbarschaft eines Punktes existiert eine andere Nachbarschaft dieses Punktes, so dass die erste Nachbarschaft die Nachbarschaft irgendeines Punktes ist, der zur zweiten Nachbarschaft gehört.

5) Bei zwei unterschiedlichen Punkten gibt es zwei disjunkte Nachbarschaften.

Insbesondere das letzte Axiom wird Hausdorffsches Trennbarkeitsaxiom topologischer Räume genannt. Die Trennbarkeitsaxiome topologischer Räume können gemäß einer Kategorie aufeinanderfolgender Verfeinerungen verallgemeinert werden:

1) Leerzeichen : Für jedes Punktpaar gibt es ein offenes Feld, das einen Punkt enthält und den anderen nicht.

2) Räume : Für jedes Punktpaar gibt es zwei offene Räume, so dass beide einen der beiden Punkte enthalten, aber nicht den anderen.

3) Leerzeichen : Für jedes Punktepaar gibt es zwei offene Disjunkte, die sie jeweils enthalten. Dies sind Hausdorff-Räume.

4) Reguläre Räume: Für jeden Punkt und für jeden abgeschlossenen Disjunkt gibt es zwei offene Disjunkte, die sie jeweils enthalten.

5) Leerzeichen : wenn sie sind und regelmäßig.

6) Vollständig reguläre Räume: Für jeden disjunkten Punkt und für jede abgeschlossene Menge gibt es eine stetige Funktion mit reellen Werten, die in der abgeschlossenen Menge 0 und im Punkt 1 ist.

7) Zwischenräume : wenn sie sind und völlig regelmäßig sind.

8) Normalräume: Für jedes Paar geschlossener Disjunkte gibt es zwei offene Disjunkte, die sie jeweils enthalten.

9) Leerzeichen : wenn sie sind und normal.

Offene oder abgeschlossene Teilmengen eines lokal kompakten Hausdorff-Raums sind lokal kompakt. Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist zweitklassig.

Wir erinnern daran, dass in topologischen Räumen Begriffe der Elementarmathematik wie die Konzepte der Abzählbarkeit oder der Kardinalität erweitert werden können, wodurch abzählbare Mengen und stetige Mengen definiert werden können.

Eine Teilmenge ist in einem topologischen Raum dicht, wenn jedes Element der Teilmenge zur Menge gehört oder Häufungspunkt ist. Äquivalente Definitionen sind die folgenden: Eine Teilmenge ist dicht, wenn ihr Abschluss der topologische Raum ist oder wenn jede nicht leere offene Teilmenge die Teilmenge schneidet oder wenn das Komplement der Teilmenge ein leeres Inneres hat oder wenn jeder Punkt des Raums die Grenze von ist eine Sequenz, die in der Teilmenge enthalten ist.

Jeder topologische Raum ist in sich dicht; rationale und irrationale Zahlen sind dicht in der Menge der reellen Zahlen. Ein Raum ist separabel, wenn seine dichte Teilmenge abzählbar ist. Eine Menge ist nie dicht, wenn sie in keiner offenen Menge dicht ist.

Ein topologischer Raum ist einheitlich, wenn er eine Familie von Teilmengen hat, die die folgenden Eigenschaften erfüllen:

1) Jede Familie von Teilmengen enthält die Diagonale des kartesischen Produkts X x X.

2) Jede Familie von Teilmengen ist unter Inklusion abgeschlossen.

3) Jede Familie von Teilmengen ist unter der Schnittmenge abgeschlossen.

4) Wenn eine Nachbarschaft zu der Topologie gehört, dann existiert eine Familie von Teilmengen, die zu der Topologie gehören, so dass, wenn zwei Punktepaare mit einem gemeinsamen Punkt zu der Familie von Teilmengen gehören, die zwei disjunkten Punkte zu der Nachbarschaft gehören.

5) Wenn eine Nachbarschaft zur Topologie gehört, dann gehört auch die Umkehrung der Nachbarschaft im kartesischen Produkt zur Topologie.

Ein metrischer Raum ist ein topologischer Raum, der durch eine Topologie auf der Basis kreisförmiger Nachbarschaften erzeugt wird. In metrischen Räumen wird eine Metrik definiert, die zwei Punkten im Raum eine nicht negative reelle Zahl zuordnet, für die die folgenden Eigenschaften gelten:

Eine Funktion heißt an einem Punkt auf einem metrischen Raum stetig, wenn für beliebige positive Größen der Abstand zwischen diesem Punkt und einem anderen Punkt begrenzt ist. Unter Berücksichtigung der sphärischen Nachbarschaften und des Definitionsbereichs der Funktion haben wir:

Ein metrischer Raum ist immer gleichförmig. In einem metrischen Raum gilt auch der Abstand zwischen einem Punkt und einer Menge, definiert als:

Dieser Abstand ist genau dann Null, wenn x zum Abschluss von I gehört. Der Abstand zwischen zwei Punkten zweier Mengen kann auf die gleiche Weise definiert werden. Stattdessen diktiert es den Überschuss eines Satzes über den anderen:

Die Hausdorff-Distanz ist wie folgt:

Ein metrischer Raum ist beschränkt, wenn sein Abschluss beschränkt ist. In einem metrischen Raum ist x ein Abschlusspunkt, wenn es für jeden positiven Radius einen Punkt innerhalb des Raums gibt, so dass der Abstand zwischen x und diesem Punkt kleiner als der Radius ist. In einem metrischen Raum ist x ein innerer Punkt, wenn es einen positiven Radius gibt, so dass der Abstand zwischen x und einem zum Raum gehörenden generischen Punkt kleiner als der Radius ist.

Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge gegen ein Element des Raums konvergiert. Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und total beschränkt ist. Ein metrischer Raum ist immer dicht in seiner Vollendung.

Wir definieren einen normierten Raum als einen metrischen Raum, in dem der Abstand durch die Norm ausgedrückt wird:

Die Norm hat die Eigenschaften, positiv definit und homogen zu sein; außerdem gilt die Dreiecksungleichung. In Formeln haben wir:

Ein metrischer Raum, in dem die erste Relation nicht gilt, heißt halbnormiert. Es versteht sich von selbst, dass jeder regulierte Raum ein metrischer (und damit topologischer) Raum ist. Ein unendlichdimensionaler normierter Raum ist nicht lokal kompakt.

Ein metrischer Raum, in dem der Abstand (und damit die Norm) euklidisch ist, heißt euklidischer Raum. Dieser Raum ist der übliche der elementaren Geometrie, tatsächlich erinnert der n-dimensionale Abstand sehr an den klassischen Satz des Pythagoras:

Als Teilmenge eines n-dimensionalen euklidischen Raums definiert, ist ein Punkt x abgeschlossen, wenn jede offene n-dimensionale Kugel, die auf x zentriert ist, mindestens einen Punkt der Teilmenge enthält. In ähnlicher Weise ist ein Punkt x innerlich, wenn es eine offene n-dimensionale Kugel gibt, die an dem Punkt zentriert und in der Teilmenge enthalten ist.

Euklidische Räume sind lokal kompakt. Die n-dimensionale Kugel, die Linie, die Ebene und jeder euklidische Raum sind einfach miteinander verbunden. Der euklidische Raum, der aus der Menge der n-dimensionalen reellen Zahlen besteht, ist ein zusammenhängender Raum. Nach dem Satz von Heine-Borel ist eine Teilmenge dieses euklidischen Raums genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen ist.

In einem euklidischen Raum ist eine konvexe Menge eine Menge, in der für jedes Punktpaar der sie verbindende Pfad vollständig in der Menge enthalten ist. Eine konvexe Menge ist einfach zusammenhängend.

Ein Homöomorphismus zwischen zwei topologischen Räumen ist eine stetige, bijektive Funktion mit stetiger Umkehrung. Die Homöomorphismusbeziehung zwischen topologischen Räumen ist eine Äquivalenzbeziehung. Zwei homöomorphe Räume haben dieselben topologischen Eigenschaften. Lokaler Homöomorphismus tritt auf, wenn die Funktion lokal, aber nicht global stetig ist. Jeder lokale Homöomorphismus ist eine stetige und offene Funktion, jeder bijektive lokale Homöomorphismus ist ein Homöomorphismus, die Zusammensetzung zweier lokaler Homöomorphismen ist ein weiterer lokaler Homöomorphismus.

Ein Diffeomorphismus ist eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen mit der Eigenschaft, differenzierbar (siehe unten für die Definition der Differenzierbarkeit), invertierbar und mit differenzierbarer Umkehrung zu sein. Der Diffeomorphismus ist lokal, wenn die Funktion diese Eigenschaften lokal, aber nicht global hat. Ein lokaler Diffeomorphismus ist eine besondere Art von lokalem Homöomorphismus, also offen.

Ein Isomorphismus ist eine bijektive Abbildung, bei der sowohl die Funktion als auch ihre Umkehrung Homöomorphismen sind. Die Strukturen werden als isomorph bezeichnet und sind im Wesentlichen identisch. Gibt es auch eine Ordnungseigenschaft, spricht man von Ordnungsisomorphie oder Isotonie.

Eine Homotopie zwischen zwei stetigen Funktionen, die in zwei topologischen Räumen definiert sind, ist eine stetige Funktion zwischen dem kartesischen Produkt eines topologischen Raums und dem Einheitsintervall [0,1], das dem Nullpunkt den Wert der ersten stetigen Funktion und dem Einspunkt zuordnet der Wert der zweiten stetigen Funktion. Homotopie ist eine Äquivalenzrelation, jeder Homöomorphismus ist eine Äquivalenz der Homotopie. Zwei homotope topologische Räume behalten die Eigenschaften der Pfadverbindung und der einfachen Verbindung bei.

Eine bijektive Funktion zwischen zwei metrischen Räumen heißt Isometrie, wenn sie gilt

Wenn diese Beziehung für eine beliebige positive Zahl außer Eins multiplikativ ist, wird sie als Ähnlichkeit bezeichnet. Außerdem heißt es Uniformität, wenn es sich um einen Isomorphismus zwischen einheitlichen euklidischen Räumen handelt, und Homöomorphismus, wenn es sich um einen Isomorphismus zwischen zwei topologischen Räumen handelt.

Eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Hausdorff-Raum, in dem jeder Punkt eine offene Nachbarschaft hat, die homöomorph zu einer offenen Menge im n-dimensionalen euklidischen Raum ist. Die Zahl n heißt Dimension der Mannigfaltigkeit. Die topologischen Mannigfaltigkeiten der ersten Dimension heißen Kreis und Gerade, die der zweiten Dimension heißen Flächen (Beispiele sind die Kugel, der Torus, das Möbiusband, die Kleinsche Flasche). Für dreidimensionale topologische Mannigfaltigkeiten gilt die Poincaré-Vermutung (die besagt, dass jede dreidimensionale topologische Mannigfaltigkeit, die einfach verbunden und geschlossen ist, homöomorph zu einer dreidimensionalen Kugel ist), die vierdimensionalen repräsentieren die Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie. Topologische Mannigfaltigkeiten sind homöomorph zu euklidischen Räumen und daher lokal kompakt.

Ein topologischer Unterraum ist eine Teilmenge eines topologischen Raums, der die topologische Struktur des Raums erbt.

Wir verweisen auf die folgenden Kapitel für Einblicke in fortgeschrittene, algebraische, funktionale und Vektortopologie. Diese erste Einführung in die allgemeine Topologie war notwendig, um die durch die mathematische Analyse eingeführten Neuerungen vollständig zu verstehen, die wir in Kürze besprechen werden.

II

GRENZEN UND KONTINUITÄT

Die mathematische Analyse ist der Teil der Mathematik, der sich mit der unendlichen Zerlegung dichter Objekte oder Mengen befasst, daher basiert sie auf topologischen Konzepten, die im ersten Kapitel zum Ausdruck gebracht wurden.

Insbesondere beinhaltet es zwei komplementäre und antithetische Konzepte, die von infinitesimal und unendlich.

Ausgehend von der topologischen Definition der Nachbarschaft ist ein Infinitesimal eine beliebige kleine Menge, die jedoch immer von Null verschieden ist. Dies verschiebt die Aufmerksamkeit von einer für die Elementarmathematik typischen punktuellen Vision hin zu einer lokalen Vision, die stattdessen die mathematische Analyse charakterisiert, die eng mit der allgemeinen Topologie verbunden ist.

Die Diskussion des Unendlichen geht vielmehr von der Aufhebung der für reelle Zahlen typischen Existenzbedingung aus, wonach der Nenner eines Bruches immer von Null verschieden sein muss. In der mathematischen Analyse ergibt eine durch Null geteilte Zahl unendlich, dessen Symbol wie folgt lautet . Stimmen die Zeichen überein, ist Unendlich positiv, stimmen sie nicht überein, ist es negativ. Es sollte beachtet werden, dass Unendlichkeiten (und Infinitesimale) nicht alle gleich sind, wie wir bald sehen werden.

Die Einführung der mathematischen Analyse erfolgte in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts durch Newton und Leibnitz und hatte sofort große physikalische und technische Anwendungen. Andererseits war es gerade die mathematische Analyse, die es ermöglichte, antike Fragen wie die des Zenonschen Paradoxons zu überwinden.

Soweit wir sagen werden, und abgesehen von ausdrücklichen Ausnahmen, gelten alle im Folgenden ausgedrückten Konzepte nur für separierbare topologische Räume, insbesondere für Hausdorff-Räume.

––––––––

Wenn eine Funktion auf einer Teilmenge X der Menge der reellen Zahlen und einem Häufungspunkt dieser Teilmenge definiert ist, definieren wir die Grenze der Funktion als x, die zum Häufungspunkt einer reellen Zahl tendiert, so dass der Abstand zwischen ihr und dem Wert der Funktion an dem Punkt ist ein Infinitesimal. In Formeln:

In diesem Fall sagen wir, dass der Grenzwert als x, der zum Akkumulationspunkt der Funktion tendiert, durch l gegeben ist.

Entsprechend können wir sagen, dass es für jede Umgebung von l eine Umgebung des Häufungspunktes gibt, sodass die Funktion zur Umgebung von l gehört.

Wir weisen darauf hin, dass der Häufungspunkt nicht notwendigerweise im Funktionsbereich enthalten ist, dh die lokale Vision ist völlig unabhängig von der punktuellen.

Wir können den Grenzwertbegriff erweitern, wenn die reelle Zahl l unendlich ist. In diesem Fall gilt:

Die Grenze wird wie folgt geschrieben:

Eine weitere Erweiterung ist durch die Bedingung gegeben, dass der Häufungspunkt im Unendlichen liegt, dh dass die obere Schranke der Menge X unendlich ist. In diesem Fall:

Was zu dieser Definition von Limit führt:

Offensichtlich gelten analoge Fälle für die negativen Unendlichkeitszeichen und die beiden Erweiterungen können für Häufungspunkte im Unendlichen und Grenze mit unendlichem Wert kombiniert werden.

Betrachtet man die erweiterte reelle Menge, also die Menge der reellen Zahlen mit Addition der Unendlichkeiten beider Vorzeichen, lassen sich alle diese Begriffe vereinheitlichen. Die erweiterte reelle Menge ist geordnet und ein topologischer Raum, wobei die Nachbarschaften der Unendlichkeit als solche Mengen definiert sind, die irgendeine Halblinie enthalten. Mit diesen Prämissen gilt die folgende vereinheitlichende Notation der Grenze:

Wenn der Grenzwert einer Funktion endlich ist, sagt man, dass die Funktion am Punkt der Häufung konvergiert. Wenn der Grenzwert unendlich ist, heißt die Funktion divergieren.

Wir definieren den rechten Grenzwert als den Grenzwert der Funktion in der rechten Umgebung des Häufungspunktes, das gleiche gilt für den linken und werden wie folgt angegeben:

Die jeweiligen Grenzwerte werden per Exzess und Standard angegeben und sind mit dem hochgestellten Plus- oder Minuszeichen gekennzeichnet.

Bei zwei Funktionen, die auf nicht disjunkten Bereichen definiert sind, und einem Häufungspunkt, der zum Schnittpunkt der beiden Bereiche gehört, können die folgenden Operationen durchgeführt werden, wenn die Grenzen der beiden Funktionen existieren und endlich sind:

Wenn eine der beiden Grenzen unendlich ist, gilt stattdessen:

Die Grenzoperation wird daher als funktional, dh als Anwendung zwischen einem Raum von Funktionen und einer Zahlenmenge charakterisiert. Dieses Funktional ist linear und stetig.

Einige Operationen an Grenzen geben Formen der Unbestimmtheit zurück, die wir gleich untersuchen werden.

Der Eindeutigkeitssatz der Grenze besagt, dass eine Funktion, die auf einer offenen Menge der Menge reeller Zahlen definiert ist, an einem Häufungspunkt nicht zwei unterschiedliche Grenzen haben kann, sodass die Grenze, falls sie existiert, eindeutig ist.

Der Satz der lokalen Beschränktheit besagt, dass eine Funktion, deren Grenzwert an einem Häufungspunkt endlich ist, um diesen Punkt beschränkt ist.

Für zwei Funktionen, die in einem offenen Bereich der Menge der reellen Zahlen definiert sind, gilt die Eigenschaft, dass, wenn eine Funktion in der Nähe eines Häufungspunktes größer als die andere ist, dann auch der Grenzwert der ersten Funktion größer als die andere ist.

Aus dieser Annahme können wir den Vergleichssatz aussprechen, dh dass eine Funktion zwischen zwei anderen den gleichen Grenzwert hat wie die ersten beiden, wenn sie gegen einen identischen Grenzwert konvergieren.

Die folgenden bemerkenswerten Grenzen sind nützlich, um die Berechnung von Grenzen zu lösen:

Einige dieser bemerkenswerten Grenzen werden bei der Einführung der Funktionserweiterungen der Reihe klargestellt. Im Moment können wir sehen, wie sich dies in der sogenannten asymptotischen Schätzung widerspiegelt.

Ausgangspunkt der asymptotischen Schätzung ist die Annahme, dass die Infinites nicht alle gleich sind und die Infinitesimalen auch nicht.

Bei zwei Polynomen hat das Polynom mit dem höheren Grad eine "mächtigere" Unendlichkeit und dominiert daher in einem Bruchteil das andere. Dadurch kann Folgendes festgestellt werden:

Dabei sind a die numerischen Koeffizienten der jeweiligen Monome höheren Grades. Ganz entgegengesetzt argumentieren wir für die Infinitesimale, dh ein Infinitesimal höherer Ordnung überwiegt ein Infinitesimal niedrigerer Ordnung, was jedoch das Verhalten der Ergebnisse umkehrt.

Indem wir von Folgen abgeleitete Konzepte aufgreifen und Landau-Symbole einführen, können wir zwei Funktionen definieren und sagen, dass eine O-größer als die andere ist, wenn Folgendes passiert:

Stattdessen wird es als o-klein definiert, wenn es auftritt:

Die analogen Konzepte in Bezug auf Infinitesimale werden als großes Omega und kleines Omega bezeichnet. Wenn es stattdessen vorkommt, dass die beiden Folgen die gleiche Größenordnung haben, wird der Theta-Ausdruck verwendet:

Dank der asymptotischen Schätzung ist es möglich, die sogenannten Formen der Unbestimmtheit zu lösen, nämlich: Division zwischen Infinitesimalen oder zwischen Infinitesimalen, Multiplikation eines Infinitesimalen mit einem Infinitesimalen, Subtraktion zwischen Infinitesimalen, Potenzieren eines Infinitesimalen ins Unendliche (oder umgekehrt umgekehrt) und Potenzierung von eins bis unendlich.

Neben den Polynomfunktionen werden die transzendentalen Funktionen wie folgt klassifiziert: Die logarithmische Unendlichkeit ist unabhängig vom Grad des Polynoms weniger leistungsfähig als jede Polynomfunktion, während die exponentielle Unendlichkeit stärker als jede Polynomfunktion ist. Trigonometrische Funktionen wie Sinus und Cosinus, die oszillierend und begrenzt sind, haben keine Eigenschaften im Unendlichen, so sehr, dass ihre Grenze im Unendlichen nicht existiert. In Formeln:

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Eine Funktion mit reeller Variable wird an einem Punkt (der Akkumulation) als stetig bezeichnet, wenn ihre Grenze als x, die zu diesem Punkt tendiert, mit dem Wert der Funktion an diesem Punkt zusammenfällt.

In diesem Fall stimmt die lokale Vision mit der punktuellen überein, auch wenn die auf lokaler Ebene enthaltenen Informationen von höherer Ordnung sind. Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist.

Ein analoger Ausdruck für stetige Funktionen wird gegeben, indem das Konzept der Grenze explizit gemacht wird:

Äquivalent können topologische Konzepte und Nachbarschaften verwendet werden: Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist stetig, wenn das Gegenbild jeder offenen Menge offen ist, und sie ist stetig in einem Punkt, wenn das Gegenbild jeder Umgebung der Funktion eine Umgebung des Punktes ist.

In einem metrischen Raum ist eine Funktion stetig, wenn:

Die Konstanten, die Identitätsfunktion, die Polynome, die rationalen, exponentiellen und logarithmischen Funktionen sind stetige Funktionen. Ebenso Sinus-, Cosinus- und lineare Transformationen zwischen euklidischen Räumen.

Eine Funktion wird als inferior (oder überlegen) halbstetig bezeichnet, wenn sie nur an der unteren (oder oberen) Grenze stetig ist. Die ganzzahlige Funktion ist obere halbstetig, die Dirichlet-Funktion (die an jedem irrationalen Punkt null und an jedem rationalen Punkt eins ist) ist an jedem irrationalen Punkt untere halbstetig, an jedem rationalen Punkt obere.

Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn sie sowohl untere als auch obere halbstetig ist. Eine untere halbstetige Funktion in einer kompakten Menge hat ein Minimum, eine obere halbstetige Funktion in einer kompakten Menge hat ein Maximum.

Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn:

Eine äquivalente Definition kann für topologische und metrische Räume gegeben werden.

Die Konstanten, die Identitätsfunktion, die linearen Funktionen, Sinus und Cosinus sind gleichmäßig stetige Funktionen, während Polynome mit Grad größer als eins dies nicht sind.

Der Satz von Heine-Cantor besagt, dass stetige Funktionen auf einer kompakten Menge gleichmäßig stetig sind. Es versteht sich von selbst, dass gleichmäßig stetige Funktionen stetig sind.

Die Menge aller stetigen Funktionen auf einem festen reellwertigen Bereich stellt einen Vektorraum dar, der mit bezeichnet wird .

Die Zusammensetzung stetiger Funktionen ist ebenso eine stetige Funktion wie die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient zweier stetiger Funktionen stetige Funktionen sind, während das Gegenteil nicht unbedingt gilt.

Ist die Funktion bijektiv und die Menge kompakt, so ist auch die Umkehrfunktion stetig.

Wenn die Funktion zwischen topologischen Räumen stetig ist, ist das Gegenbild einer offenen (oder abgeschlossenen) Menge eine offene (oder abgeschlossene) Menge, während das Bild einer kompakten (oder zusammenhängenden) Menge eine kompakte (oder zusammenhängende) Menge ist.

Auch für stetige Funktionen gelten einige fundamentale Theoreme.

Der Vorzeichenpermanenzsatz besagt, dass, wenn die Funktion an einem bestimmten Punkt innerhalb ihres Bereichs positiv ist, eine Nachbarschaft dieses Punkts existiert, sodass die Funktion an allen Punkten in der Nachbarschaft positiv ist.

Der Zwischenwertsatz besagt, dass die Funktion alle Werte zwischen dem Wert an einem Punkt im Definitionsbereich und dem Wert an einem anderen Punkt im Definitionsbereich annimmt.

Der Satz von Bolzano (oder das Vorhandensein von Nullen) besagt, dass bei zwei Punkten des Bereichs, in denen die Funktion diskordante Werte annimmt, mindestens ein Punkt des Bereichs zwischen den beiden vorherigen Punkten vorhanden ist, sodass die Funktion einen Nullwert annimmt.

Der Satz von Weierstrass besagt, dass wenn das Intervall geschlossen und begrenzt ist, die Funktion ein Maximum und ein Minimum im Intervall hat (oder eine Konstante ist). Dieser Satz erstreckt sich bei kompakten Mengen auf metrische Räume.

Eine Funktion, die an einem Punkt nicht stetig ist, wird als Unstetigkeitspunkt bezeichnet. Haltepunkte werden in drei verschiedene Arten unterteilt:

1) Diskontinuität erster Art: Die rechte Grenze und die linke Grenze existieren und sind endlich, aber sie sind voneinander verschieden.

2) Diskontinuität zweiter Art: Mindestens eine der beiden Grenzen zwischen rechts und links ist unendlich oder existiert nicht.

3) Diskontinuität der dritten Art: die rechte Grenze und die linke Grenze existieren, sie sind endlich und gleich, aber verschieden vom Wert der Funktion an dem Punkt.

Eine Funktion, die einen Sprung erster Art hat, ist beispielsweise die Vorzeichenfunktion, die einen Sprungpunkt bei Null hat.

Die Unstetigkeitsstellen zweiter Art treten auf, wenn die Funktion in einer Umgebung eines Häufungspunktes ausgewertet wird, der jedoch nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehört.

Eine Diskontinuität der dritten Art wird auch als eliminiert bezeichnet, da sie einfach durch Neudefinition des Werts dieser Funktion an diesem Punkt entfernt werden kann.

Die Dirichlet-Funktion ist an jedem Punkt unstetig, wobei jeder Punkt eine Unstetigkeit erster Art ist.

III

DIFFERENZIALRECHNUNG

Bei einer reellen Funktion einer reellen Variablen nennen wir das Inkrement der Funktion um einen bestimmten Punkt die folgende Größe:

Während das Inkrement der unabhängigen Variablen durch h gegeben ist. Das Inkrementverhältnis ist definiert als das Verhältnis der Inkremente:

Ist h positiv, spricht man von rechter Schrittweite, ist es negativ, von linker Schrittweite.

Die Grenze des Inkrementverhältnisses, wenn h gegen Null geht, wird als Ableitung bezeichnet und auf verschiedene Weise angegeben.

Die erste Notation ist die von Lagrange, die zweite wird in der Physik verwendet, die dritte ist die Notation von Cauchy-Euler, die vierte ist die von Leibnitz, die letzte ist die von Newton.

Die in der rechten Nachbarschaft berechnete Ableitung wird als rechte Ableitung und die in der linken Nachbarschaft berechnete als linke Ableitung bezeichnet. Eine Funktion ist genau dann an einem Punkt differenzierbar, wenn es endliche linke und rechte Grenzen des Inkrementverhältnisses gibt und diese Grenzen gleich sind. Eine Funktion ist überall oder in einem Intervall differenzierbar, wenn sie an jedem Punkt oder an jedem Punkt im Intervall differenzierbar ist.

Die Funktion, die an jedem Punkt den Wert der Ableitung an diesem Punkt annimmt, wird Ableitungsfunktion genannt, gerade weil sie von der Startfunktion abgeleitet ist.

Die Ableitung der Ableitung heißt zweite Ableitung und so weiter bis zur n-ten Ableitung, die wie folgt angegeben wird:

Nachdem die vorherigen Notationen verwendet wurden, um die n-te Ableitung anzugeben.

Eine notwendige Bedingung für die Ableitbarkeit einer Funktion ist ihre Stetigkeit. Stetige und differenzierbare Funktionen (also mit stetiger erster Ableitung) sind Teil eines mit bezeichneten Vektorraums , während eine Funktion mit stetiger n-ter Ableitung Teil des Raums und eine Funktion mit unendlich stetigen Ableitungen Teil des Raums ist (diese Funktionen sind Harmonische oder glatte genannt). Es versteht sich von selbst, dass folgende Beziehung gilt:

Im Wesentlichen sind sie alle Untervektorräume des allgemeineren Vektorraums.

Bei der Berechnung von Derivaten gelten folgende Regeln:

Die grundlegenden Ableitungen sind die folgenden:

Die Funktionen Exponential, Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind harmonische Funktionen.

Das Hauptdifferential einer Funktion ist gegeben durch: