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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Ableitungen und Differentialrechnung
geometrische und physikalische Anwendungen von Derivaten
Bemerkenswerte Sätze der Differentialrechnung
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Inhaltsverzeichnis
„Übungen von Derivaten“
EINFÜHRUNG
DIFFERENZIALRECHNUNG
BEMERKENSWERTE THEOREME
GEOMETRISCHE UND PHYSIKALISCHE ANWENDUNGEN
„Übungen von Derivaten“
SIMONE MALACRIDA
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Ableitungen und Differentialrechnung
geometrische und physikalische Anwendungen von Derivaten
Bemerkenswerte Sätze der Differentialrechnung
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen
Simone Malacrida (1977)
Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.
ANALYTISCHER INDEX
––––––––
EINFÜHRUNG
––––––––
I – DIFFERENZIALRECHNUNG
Übung1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung5
Übung 6
Übung 7
Übung 8
Übung 9
Übung 10
Übung 11
Übung 12
Übung 13
Übung 14
Übung 15
Übung 16
Übung 17
Übung 18
Übung 19
Übung 20
––––––––
II – BEMERKENSWERTE THEOREME
Übung 1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung 5
Übung 6
Übung 7
––––––––
III - GEOMETRISCHE UND PHYSIKALISCHE ANWENDUNGEN
Übung 1
Übung 2
Übung 3
EINFÜHRUNG
In diesem Arbeitsbuch werden einige Beispiele zur Ableitungs- und Differentialrechnung durchgeführt.
Darüber hinaus werden die Hauptsätze der Differentialrechnung und die geometrischen und physikalischen Implikationen einer solchen Rechnung vorgestellt.
Ableitungen und Differentialrechnungen spielen eine Hauptrolle in der mathematischen Analyse, nicht nur wegen ihrer physikalischen und geometrischen Anwendungen, sondern wegen der Natur dieser Operationen.
Mit den Ableitungen ist es möglich, eine gründliche Untersuchung der Funktionen durchzuführen und Gleichungen (eigentlich Differentiale) zu konstruieren, die die Grundlage für die Beschreibung vieler physikalischer und natürlicher Phänomene sind.
Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen erklärt wird, wird am Anfang jedes Kapitels auf den theoretischen Bezugskontext verwiesen.
Was in diesem Arbeitsbuch vorgestellt wird, wird im Allgemeinen während des letzten Jahres der naturwissenschaftlichen Gymnasien und in den ersten Kursen der mathematischen Analyse auf Universitätsniveau behandelt.
I
DIFFERENZIALRECHNUNG
Bei einer reellen Funktion einer reellen Variablen nennen wir das Inkrement der Funktion um einen bestimmten Punkt die folgende Größe:
Während das Inkrement der unabhängigen Variablen durch h gegeben ist.
Das Inkrementverhältnis ist definiert als das Verhältnis der Inkremente:
Ist h positiv, spricht man von rechter Schrittweite, ist es negativ, von linker Schrittweite.
Die Grenze des Inkrementverhältnisses, wenn h gegen Null geht, wird als Ableitung bezeichnet und auf verschiedene Weise angegeben.
Die erste Notation ist die von Lagrange, die zweite wird in der Physik verwendet, die dritte ist die Notation von Cauchy-Euler, die vierte ist die von Leibnitz, die letzte ist die von Newton.
––––––––
Die in der rechten Nachbarschaft berechnete Ableitung wird als rechte Ableitung und die in der linken Nachbarschaft berechnete als linke Ableitung bezeichnet.
Eine Funktion ist genau dann an einem Punkt differenzierbar, wenn es endliche linke und rechte Grenzen des Inkrementverhältnisses gibt und diese Grenzen gleich sind.
Eine Funktion ist überall oder in einem Intervall differenzierbar, wenn sie an jedem Punkt oder an jedem Punkt im Intervall differenzierbar ist.
Die Funktion, die an jedem Punkt den Wert der Ableitung an diesem Punkt annimmt, wird Ableitungsfunktion genannt , gerade weil sie von der Startfunktion abgeleitet ist.
Die Ableitung der Ableitung heißt zweite Ableitung und so weiter bis zur n-ten Ableitung, die wie folgt angegeben wird:
Nachdem die vorherigen Notationen verwendet wurden, um die n-te Ableitung anzugeben.
Eine notwendige Bedingung für die Ableitbarkeit einer Funktion ist ihre Stetigkeit.
