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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Integralgleichungen lösen
Lösen von Integral-Differentialgleichungen
Variationsrechnung
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Inhaltsverzeichnis
"Übungen zu Integralen und Integro-Differentialgleichungen"
EINFÜHRUNG
THEORETISCHE ÜBERSICHT
ÜBUNGEN
"Übungen zu Integralen und Integro-Differentialgleichungen"
SIMONE MALACRIDA
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Integralgleichungen lösen
Lösen von Integral-Differentialgleichungen
Variationsrechnung
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
Simone Malacrida (1977)
Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.
ANALYTISCHER INDEX
––––––––
EINFÜHRUNG
––––––––
I – THEORETISCHE ÜBERSICHT
Einführung und Definitionen
Integralgleichungen von Fredholm und Volterra
Berechnung von Variationen
––––––––
II – ÜBUNGEN
Übung 1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung 5
Übung 6
Übung 7
Übung 8
Übung 9
Übung 10
Übung 11
Übung 12
Übung 13
Übung 14
Übung 15
Übung 16
Übung 17
Übung 18
Übung 19
Übung 20
EINFÜHRUNG
In diesem Übungsbuch werden einige Rechenbeispiele zu Integral- und Integro-Differentialgleichungen durchgeführt.
Diese Gleichungen, die im Vergleich zu ihren "Cousins" Differentialgleichungen oft brüskiert werden, sind jedoch entscheidend für die Variationsrechnung und für die physikalischen und technologischen Anwendungen dieser Rechnung, von der Astrophysik bis zur Mechanik.
Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen dargestellt wird, wird im ersten Kapitel auf den theoretischen Bezugskontext verwiesen.
Was in diesem Arbeitsbuch vorgestellt wird, wird im Allgemeinen in fortgeschrittenen mathematischen Analysekursen (Analyse 3 und darüber hinaus) behandelt.
I
THEORETISCHE ÜBERSICHT
Einführung und Definitionen
––––––––
Eine Integralgleichung ist eine Gleichung, die die Unbekannte unter dem Zeichen des Integrals darstellt.
Immer wenn Sie eine Differentialgleichung lösen, ist die Lösungsformel eigentlich eine Integralgleichung, daher haben wir in den vorherigen Kapiteln bereits viel über solche Gleichungen gesagt. Eine lineare Integralgleichung hat folgende Form:
Wobei K(x,z) der Kern der Gleichung ist (die reell oder komplex, symmetrisch oder antisymmetrisch sein kann) und f(x) der bekannte Term ist.
Ist f(x) ungleich Null spricht man von Gleichungen zweiter Art, ist es gleich Null spricht man von Gleichungen erster Art.
Integralgleichungen von Fredholm und Volterra
––––––––
In Integralgleichungen ist das Integral so definiert, dass wir Integrationsextreme haben.
Wenn diese Extrema fest sind, spricht man von einer Fredholm-Integralgleichung, wenn stattdessen eines der Extrema in x variabel ist, wird die Gleichung von Volterra genannt.
Der Fredholm-Operator ist als ein beschränkter linearer Operator zwischen Banach-Räumen mit einem endlichdimensionalen Kern und Con-Kern definiert.
Wenn wir außerdem sagen, dass T ein Fredholm-Operator (von einem Raum X zu einem Y) und S ein linearer und beschränkter Operator (von dem Raum Y zu diesem X) ist, haben wir das
sind kompakte Operatoren auf X und Y.
Der Index eines Fredholm-Operators ist wie folgt definiert:
Die Menge der Fredholm-Operatoren bildet im Banachraum eine offene Menge von beschränkten und stetigen linearen Operatoren.
Der Index der Zusammensetzung zweier Fredholm-Operatoren ist gleich der Summe der Indizes der einzelnen Operatoren, außerdem hat der addierte Fredholm-Operator den entgegengesetzten Index zum Ausgangsoperator.
Schließlich gibt ihre Faltung bei einem gegebenen Fredholm-Operator und einem kompakten Operator wieder einen Fredholm-Operator zurück, der denselben Index wie der Ausgangsoperator hat.
