Übungen zu komplexen Zahlen E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
komplexe Zahlen
Gleichungen dritten Grades lösen
hyperbolische Funktionen und Eigenschaften
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

"Übungen zu komplexen Zahlen"

EINFÜHRUNG

KOMPLEXE ZAHLEN

HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN

"Übungen zu komplexen Zahlen"

SIMONE MALACRIDA

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:

komplexe Zahlen

Gleichungen dritten Grades lösen

hyperbolische Funktionen und Eigenschaften

Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

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ANALYTISCHER INDEX

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EINFÜHRUNG

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I – KOMPLEXE ZAHLEN

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Übung 6

Übung 7

Übung 8

Übung 9

Übung 10

Übung 11

Übung 12

Übung 13

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II – HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN

Übung 1

Übung 2

Übung 3

EINFÜHRUNG

In diesem Arbeitsbuch werden einige Rechenbeispiele mit komplexen Zahlen und hyperbolischen Funktionen durchgeführt.

Die Definition komplexer Zahlen hat zur Überwindung vieler Barrieren in der Entwicklung der Elementarmathematik geführt, von der Aufhebung einiger Existenzbedingungen über die algebraische Auflösung bisher unlösbarer Gleichungen bis hin zur Formulierung des Fundamentalsatzes der Algebra.

Andererseits sind hyperbolische Funktionen eine Erweiterung sowohl trigonometrischer als auch logarithmischer und exponentieller Funktionen.

Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen erklärt wird, wird zu Beginn jedes Kapitels auf den theoretischen Bezugsrahmen verwiesen.

Was in diesem Arbeitsbuch dargestellt wird, wird im Allgemeinen in Grundkursen der mathematischen Analyse auf Universitätsniveau behandelt.

I

KOMPLEXE ZAHLEN

Komplexe Zahlen wurden ohnehin eingeführt, um Polynomgleichungen zu lösen , stellen aber heute ein wichtiges mathematisches Werkzeug zur Lösung verschiedener konkreter Probleme dar, von der Physik bis zur Elektrotechnik, von der Signalübertragung bis zur Mechanik.

Ausgangspunkt ist die Definition einer imaginären Einheit namens i, die diese Eigenschaft erfüllt:

Daher wird mit der Einführung komplexer Zahlen die Existenzbedingung durch das Radikal größer oder gleich Null für Wurzeln mit geradem Index aufgehoben.

Eine komplexe Zahl wird definiert, indem man einen Realteil und einen Imaginärteil nimmt, wie folgt:

Dabei ist a der Realteil, bezeichnet mit Re(z), während b der Imaginärteil ist, bezeichnet mit Im(z). Diese Notation komplexer Zahlen wird als kartesische Form bezeichnet, und die komplexe Zahl soll in kartesischen Koordinaten ausgedrückt werden.

Eine komplexe Zahl ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a,b), und der Real- und Imaginärteil werden einfach durch Setzen von b=0 oder a=0 erhalten.

Auf diese Weise lässt sich jede komplexe Zahl als Linearkombination schreiben: