Übungen zu Linien, Flächen und Volumen Integralen E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Linienintegrale erster und zweiter Art
Integrale von Oberfläche und Volumen
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.

Leseprobe

Simone Malacrida

Übungen zu Linien, Flächen und Volumen Integralen

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Indice dei contenuti

"Übungen zu Linien, Flächen und Volumen Integralen"

EINFÜHRUNG

I

II

"Übungen zu Linien, Flächen und Volumen Integralen"

SIMONE MALACRIDA

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:

Linienintegrale erster und zweiter Art

Integrale von Oberfläche und Volumen

Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

ANALYTISCHER INDEX

EINFÜHRUNG

I – LINIENINTEGRAL

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Übung 6

Übung 7

Übung 8

Übung 9

Übung 10

Übung 11

Übung 12

Übung 13

Übung 14

Übung 15

Übung 16

Übung 17

Übung 18

II – OBERFLÄCHEN- UND VOLUMEN INTEGRAL

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Übung 6

Übung 7

Übung 8

Übung 9

Übung 10

Übung 11

Übung 12

Übung 13

Übung 14

Übung 15

Übung 16

EINFÜHRUNG

In diesem Arbeitsbuch werden einige Berechnungsbeispiele zu Linien-, Flächen- und Volumenintegralen durchgeführt.

Die Auflösung dieser Integrale erweist sich als die unmittelbarste Anwendung der Integralrechnung in der Differentialgeometrie, insbesondere im Hinblick auf Doppel- und Tripelintegrale.

Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen erklärt wird, wird zu Beginn jedes Kapitels auf den theoretischen Bezugsrahmen verwiesen.

Was in diesem Arbeitsbuch vorgestellt wird, wird im Allgemeinen in fortgeschrittenen mathematischen Analysekursen behandelt (Analyse 2).

Es versteht sich von selbst, dass zum vollständigen Verständnis des Obigen bereits Kenntnisse über Doppel- und Dreifachintegrale sowie über die Parametrisierung von Kurven erforderlich sind.

I

LINIENINTEGRAL

Wir definieren das Linienintegral erster Art als Integral eines Skalarfeldes entlang einer parametrisch definierten Kurve in einer offenen Menge.

Das Linienintegral erster Art ist:

Wobei ds die krummlinige Abszisse ist, es ist die Kurve, entlang der das Integral berechnet wird, und es stellt die Parametrisierung der Skalarfunktion dar.

Das Linienintegral erster Art besitzt die Eigenschaften Linearität, Additivität und Monotonie.

Zusätzlich fallen folgende Zuschläge an:

Wenn der Definitionsbereich der Funktion R ist, ist das krummlinige Integral erster Art das normale Riemann-Integral.

Das Linienintegral zweiter Art ist das Integral eines Vektorfeldes entlang einer Kurve. Dieses Integral ist gleich dem Skalarprodukt zwischen dem Vektorfeld und dem Einheitsvektor, der die Kurve tangiert:

Das Integral wird auch Arbeit genannt, weil es in der Physik die Arbeit einer Kraft entlang eines Weges ausdrückt. Dieses Integral hat die gleichen Eigenschaften wie das der ersten Art, außerdem ist es unabhängig von der angenommenen parametrischen Darstellung, mit Ausnahme der Bewegungsrichtung, die eine Änderung des Vorzeichens bewirkt.