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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Lösen partiell-abgeleiteter Differentialgleichungen erster Ordnung
Lösung partieller Ableitungsdifferentialgleichungen zweiter Ordnung: elliptisch, parabolisch und hyperbolisch
schwache Problemformulierung
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Inhaltsverzeichnis
„Übungen zu partiellen Differentialgleichungen“
EINFÜHRUNG
THEORETISCHE ÜBERSICHT
ÜBUNGEN
„Übungen zu partiellen Differentialgleichungen“
SIMONE MALACRIDA
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Lösen partiell-abgeleiteter Differentialgleichungen erster Ordnung
Lösung partieller Ableitungsdifferentialgleichungen zweiter Ordnung: elliptisch, parabolisch und hyperbolisch
schwache Problemformulierung
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
Simone Malacrida (1977)
Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.
ANALYTISCHER INDEX
––––––––
EINFÜHRUNG
––––––––
I – THEORETISCHE UBERSICHT
Einführung und Definitionen
Auflösungsmethoden
Gleichungen zweiter Ordnung
Schwache Formulierung
Bemerkenswerte Differentialgleichungen _
––––––––
II – ÜBUNGEN
Übung 1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung 5
Übung 6
Übung 7
Übung 8
Übung 9
Übung 10
Übung 11
Übung 12
Übung 13
Übung 14
Übung 15
Übung 16
Übung 17
Übung 18
Übung 19
Übung 20
Übung 21
Übung 22
Übung 23
Übung 24
Übung 25
Übung 26
Übung 27
Übung 28
Übung 29
Übung 30
Übung 31
Übung 32
Übung 33
EINFÜHRUNG
In diesem Arbeitsbuch werden einige Rechenbeispiele zu partiellen Differentialgleichungen durchgeführt.
Darüber hinaus werden die wichtigsten in der Differentialanalyse verwendeten Theoreme vorgestellt.
Partielle Differentialgleichungen stellen einen der Höhepunkte im Studium der mathematischen Analysis dar.
Die meisten physikalischen Ereignisse werden genau durch Differentialgleichungen dieser Art geregelt, und ihre Auflösung ist im Allgemeinen keine leichte Aufgabe.
Die schwache Formulierung, die wir hier aufdecken werden, ist der Verbindungspunkt zwischen analytischer Auflösung (die in einigen Fällen möglich ist) und numerischer Auflösung.
Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen dargestellt wird, wird im ersten Kapitel auf den theoretischen Bezugskontext verwiesen.
Was in diesem Arbeitsbuch vorgestellt wird, wird im Allgemeinen in fortgeschrittenen mathematischen Analysekursen (Analyse 3 und darüber hinaus) behandelt.
I
THEORETISCHE ÜBERSICHT
Einführung und Definitionen
––––––––
Eine partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, bei der die partiellen Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen auftreten:
Wobei k eine ganze Zahl ist, die Ordnung der Gleichung genannt wird, und der maximale Grad der in der Gleichung vorhandenen Ableitung ist.
Eine partielle Differentialgleichung heißt linear , wenn:
Ist f(x)=0, so heißt die Gleichung homogen.
Wenn die Gleichung diese Form hat, wird sie als halblinear bezeichnet :
Während es als quasilinear bezeichnet wird , wenn es wie folgt ausgedrückt werden kann:
Es versteht sich von selbst, dass es möglich ist, Systeme partieller Differentialgleichungen aufzustellen.
––––––––
Ein Problem im Zusammenhang mit diesen Gleichungen wird als gut gestellt bezeichnet, wenn die Lösung existiert, eindeutig ist und kontinuierlich von den bereitgestellten Daten abhängt.
Sagen wir gleich, dass partielle Differentialgleichungen noch mehr als gewöhnliche Differentialgleichungen von den Anfangsbedingungen und Randbedingungen abhängen und dass gleichzeitig die analytischen Lösungen dieser Gleichungen schwer extrapolierbar und nicht absolut gültig sind.
In diesem Zusammenhang nehmen all diese numerischen Lösungsverfahren eine primäre Rolle ein.
––––––––
Auflösungsmethoden
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Für Gleichungen in zwei Variablen ist die Gleichung erster Ordnung gegeben durch:
Nachdem diese Notation verwendet wurde, um die partielle Ableitungsoperation anzuzeigen:
Eine allgemeine Lösung ist durch das volle Integral gegeben :
Kann dieses Integral nicht hergeleitet werden, wird ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen mit der Kennlinienmethode gelöst .
Diese Methode bildet zusammen mit der Methode der Variablentrennung eine der wenigen analytischen Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen.
Das Verfahren ermöglicht es, Kurven, sogenannte Kennlinien, zu finden, entlang derer die partielle Differentialgleichung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ähnlich ist.
Gegeben sei eine quasilineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung:
Die Kennliniengleichungen sind gegeben durch:
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Gleichungen zweiter Ordnung
––––––––
Eine partielle Differentialgleichung in zwei Variablen zweiter Ordnung ist gegeben durch:
Nach dem Satz von Schwarz sind gemischte zweite Ableitungen gleich.
Es ist möglich, die partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in drei Typen zu unterteilen, da diese Größe, Delta genannt, variiert:
Wenn diese Größe negativ ist, heißt die Gleichung elliptisch, wenn sie Null ist, heißt sie parabolisch, wenn sie positiv ist, heißt sie hyperbolisch.
Wenn die Variablen n anstelle von zwei sind, ist die Gleichung elliptisch, wenn die Eigenwerte alle positiv oder alle negativ sind, sie ist parabolisch, wenn sie alle positiv oder alle negativ sind, außer einer, die Null ist, und sie ist hyperbolisch, wenn es nur eine gibt negativer Eigenwert (positiv), während alle anderen positiv (negativ) sind.
Wir weisen darauf hin, dass für hyperbolische Gleichungen die Kennlinienmethode gilt.
Ein Existenz- und Eindeutigkeitsergebnis für partielle Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten und zugehörigen Cauchy-Problemen ist durch das Cauchy-Kovalevskaya-Theorem gegeben.
Die Grenze dieses Theorems ist durch die Tatsache gegeben, dass die Existenz lokal ist und keine globale Lösung über den gesamten Definitionsbereich gewährleistet.
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Schwache Formulierung
––––––––
Ein Punkt, der partielle Differentialgleichungen von gewöhnlichen unterscheidet, ist die schwache Formulierung des Problems.
Mit dieser Diktion wollen wir Lösungen für ein schwaches Problem finden, die als Verteilungen und nicht als klassische Funktionen verstanden werden.
Daher sind die Lösungsräume partieller Differentialgleichungen im Allgemeinen die Sobolev- und Hilbert-Räume.
Gegeben sei ein Hilbert-Raum mit Norm und Skalarprodukt und einer bilinearen Form b(u,v) darin, so dass, wenn F eine generische Funktion ist, gilt:
