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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Transformation von Tensoren
Index steigt und fällt
Berechnung von Christoffel-Symbolen.
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Inhaltsverzeichnis
"Übungen zu Tensoren"
EINFÜHRUNG
THEORETISCHE ÜBERSICHT
ÜBUNGEN
"Übungen zu Tensoren"
SIMONE MALACRIDA
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Transformation von Tensoren
Index steigt und fällt
Berechnung von Christoffel-Symbolen.
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
Simone Malacrida (1977)
Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.
ANALYTISCHER INDEX
––––––––
EINFÜHRUNG
––––––––
I – THEORETISCHE ÜBERSICHT
Definitionen
Operationen
Besondere Tensoren
Anwendung: Allgemeine Relativitätstheorie
––––––––
II – ÜBUNGEN
Übung 1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung 5
Übung 6
Übung 7
Übung 8
Übung 9
Übung 10
EINFÜHRUNG
In diesem Arbeitsbuch werden einige Beispiele für Tensorrechnungen durchgeführt.
Darüber hinaus werden die Hauptverwendungen dieser mathematischen Entitäten vorgestellt, um physikalische und technologische Probleme zu lösen.
Tatsächlich spielen Tensoren eine entscheidende Rolle für das physikalische Verständnis der Mechanik und der intrinsischen Eigenschaften der Materie (Optik und Elektromagnetismus), auch wenn ihre berühmteste Verwendung in der Allgemeinen Relativitätstheorie und in kosmologischen und astrophysikalischen Anwendungen bleibt.
Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen dargestellt wird, wird im ersten Kapitel auf den theoretischen Bezugskontext verwiesen.
Was in diesem Arbeitsbuch vorgestellt wird, wird im Allgemeinen in fortgeschrittenen mathematischen Analysis-Kursen behandelt, fast ausschließlich in den Fakultäten für Physik und Mathematik.
I
THEORETISCHE ÜBERSICHT
Definitionen
––––––––
Bei einem gegebenen Vektorraum V der Dimension n über einem Körper K ist der duale Raum von V der Vektorraum, der von allen linearen Funktionalen gebildet wird, die V auf K abbilden, und hat die Dimension n.
Die Elemente von V heißen Vektoren, die des dualen Raums Covektoren.
Wir definieren einen Tensor als eine multilineare Abbildung, die h Vektoren und k Kovektoren einem Skalar über dem Körper K zuordnet.
Multilinearität stellt sicher, dass die Funktion in jeder Komponente linear ist.
Ein so definierter Tensor hat die Ordnung, die durch das Paar (h,k) gegeben ist.
Die Menge aller Tensoren gleicher Ordnung ergibt einen Vektorraum der Dimension a
Ein Tensor der Ordnung (h,k) wird durch eine zugehörige Matrix, Gitter genannt, der Dimension h+k beschrieben.
Um den Tensor in diesen Koordinaten zu beschreiben, ist es notwendig, eine Basis festzulegen, da unterschiedliche Basen unterschiedliche Gitter und damit unterschiedliche Komponenten des Tensors bilden.
Nachdem eine Basis von V definiert wurde, die eine duale Basis im dualen Raum induziert, gilt die folgende Beziehung für jedes Element der Basis:
Ein Ordnungstensor (h,k) kann wie folgt in Koordinaten der Basis definiert werden:
Ein Tensor ist unabhängig von der Wahl der Basis und dies wird deutlich, wenn man das Produkt zwischen Tensoren einführt.
Bei zwei verschiedenen Basen werden diese durch eine Basisänderungsmatrix und ihre inverse Matrix so verbunden, dass jedes Element einer Basis durch Multiplikation des entsprechenden Elements der Änderungsmatrix (oder der inversen) mit dem entsprechenden Element der anderen Basis gegeben ist .
Zwei Tensoren können völlig gleichwertig in der einen oder anderen Basis ausgedrückt werden.
Wenn A die Basisänderungsmatrix und C die inverse Matrix sind, haben wir diese äquivalenten Ausdrücke:
