Übungen zum Funktionsstudium E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Untersuchung reeller variabler Funktionen
Auffinden von Bereichen, Asymptoten, Diskontinuitätspunkten, stationären Punkten und Beugungen
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

„Übungen zum Funktionsstudium“

EINFÜHRUNG

THEORETISCHE ÜBERSICHT

ÜBUNGEN

„Übungen zum Funktionsstudium“

SIMONE MALACRIDA

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:

Untersuchung reeller variabler Funktionen

Auffinden von Bereichen, Asymptoten, Diskontinuitätspunkten, stationären Punkten und Beugungen

Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

ANALYTISCHER INDEX

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EINFÜHRUNG

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I – THEORETISCHE ÜBERSICHT

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II – ÜBUNGEN

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Übung 6

Übung 7

Übung 8

Übung 9

Übung 10

EINFÜHRUNG

In diesem Arbeitsbuch werden einige Beispiele für Berechnungen im Zusammenhang mit der Untersuchung von Funktionen reeller Variablen durchgeführt.

Eines der Hauptergebnisse der mathematischen Analyse ergibt sich genau aus einer detaillierten Untersuchung jedes Funktionstyps, wodurch nicht nur die lokalen Eigenschaften der Topologie auf der Grundlage der Analyse selbst bestimmt werden können, sondern auch die globalen.

Wir sind somit in der Lage, in der kartesischen Ebene jede Funktion unabhängig von ihrer Formalisierung grafisch darzustellen.

Wie wir sehen werden, sind die Konzepte von Grenzwert und Ableitung notwendig, ebenso wie das, was aus den Grundlagen der mathematischen Analyse gelernt wurde.

Es versteht sich von selbst, dass das Studium von Funktionen mit reellen Variablen auch anwendungstechnisch einen bedeutenden Sprung nach vorn darstellt.

Tatsächlich kann jede mathematische Funktion verschiedenen technologischen und physikalischen Problemen sowie Anwendungen zugeordnet werden.

Was in diesem Arbeitsbuch vorgestellt wird, wird im Allgemeinen während des letzten Jahres der naturwissenschaftlichen Gymnasien und vertieft im ersten Kurs der mathematischen Analyse auf Universitätsniveau behandelt.

I

THEORETISCHE ÜBERSICHT

Die Untersuchung einer Funktion mit einer reellen Variablen kann durch einen Algorithmus dargestellt werden, der in drei verschiedene Phasen unterteilt ist.

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Phase 1: Informationen aus der Startfunktion

a) Definitionssatz : Der Definitionsbereich der Funktion wird berechnet, indem man sich daran erinnert, dass die Nenner von Null verschieden sein müssen, die Wurzeln von Wurzeln mit geradem Index größer oder gleich Null sein müssen, das Argument der Logarithmen positiv sein muss, das Argument von Tangenten müssen von Vielfachen von 90° verschieden sein, die Arkussinus- und Arkuskosinus-Funktionen liegen zwischen -1 und +1.

b) Bestimmung von Symmetrien : Eine Funktion ist bezüglich der Ordinatenachse symmetrisch, wenn sie ihren Wert nicht ändert, indem sie die Variable durch ihr Gegenteil ersetzt. Nimmt er dagegen den entgegengesetzten Wert an, ist er ursprungssymmetrisch. Eine Funktion kann zu jedem Punkt der kartesischen Ebene oder zu jeder Achse parallel zur Ordinatenachse symmetrisch sein. In diesem Fall erfolgt eine Koordinatenänderung durch Verschieben der kartesischen Achsen.

c) Bestimmung der Periodizität : Eine Funktion ist periodisch, wenn sie sich nach einer bestimmten Zeit identisch wiederholt. Typische periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen.

d) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen : Der Schnittpunkt mit der Ordinatenachse wird durch Streichen der unabhängigen Variablen erhalten. Den Schnittpunkt mit der Abszissenachse erhält man durch Lösen der Gleichung f(x)=0.

e) Vorzeichen der Funktion : Innerhalb der Definitionsmenge erhält man die Positivitätsmenge der Funktion durch Lösen der Ungleichung f(x)>0.

f) Berechnung der Grenzen an der Grenze : Die Grenzen an der Grenze des Definitionssatzes werden berechnet. Wenn die Domäne nach oben oder unten unbegrenzt ist, bedeutet dies, dass Grenzen im Unendlichen berechnet werden. Wenn diese Grenzen endlich sind, bedeutet dies, dass die Funktion horizontale Asymptoten im Unendlichen hat, die durch horizontale Linien mit der Ordinate gleich dem Wert der Grenze gegeben sind. In dem Fall, in dem diese Grenzen unendlich sind, wenn die durch x geteilte Funktion eine Grenze im Unendlichen hat, die endlich ist, gibt es schiefe Asymptoten, deren Winkelkoeffizient durch den Wert dieser Grenze gegeben ist. Die horizontalen oder schrägen Asymptoten können in maximal zweier Anzahl vorhanden sein oder nicht vorhanden sein. In der Abbildung gibt es zwei Beispiele: