Übungen zur Fortgeschrittenen Statistik E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Zufallsvariablen, Mittelwert, Varianz, Kovarianz
marginale und gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen
kontinuierliche und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
bemerkenswerte Theoreme und Ungleichungen der Statistik
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

„Übungen zur Fortgeschrittenen Statistik“

EINFÜHRUNG

THEORETISCHE ÜBERSICHT

ÜBUNGEN

„Übungen zur Fortgeschrittenen Statistik“

SIMONE MALACRIDA

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:

Zufallsvariablen, Mittelwert, Varianz, Kovarianz

marginale und gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen

kontinuierliche und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

bemerkenswerte Theoreme und Ungleichungen der Statistik

Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

ANALYTISCHER INDEX

––––––––

EINFÜHRUNG

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I – THEORETISCHE ÜBERSICHT

Zufallsvariablen, Verteilungen und Eigenschaften

Bemerkenswerte Ungleichheiten

Konvergenz

Diskrete Verteilungen

Kontinuierliche Verteilungen

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II – ÜBUNGEN

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4 _

Übung 5

Übung 6

Übung 7

Übung 8

Übung 9

Übung 10

Übung 11

Übung 12

Übung 13

Übung 14

Übung 15

Übung 16

Übung 17

Übung 18

Übung 19

Übung 20

Übung 21

Übung 22

Übung 23

Übung 24

Übung 25

Übung 26

Übung 27

Übung 28

Übung 29

Übung 30

Übung 31

Übung 32

Übung 33

Übung 34

Übung 35

Übung 36

EINFÜHRUNG

In diesem Übungsbuch werden einige Beispiele für Berechnungen im Zusammenhang mit fortgeschrittener Statistik durchgeführt.

Darüber hinaus werden die wichtigsten in der Statistik verwendeten Theoreme und Ungleichungen vorgestellt.

Der Begriff der Zufallsvariable erfordert eine Überprüfung des elementaren Statistiksystems, indem die Wahrscheinlichkeitsverteilungen dieser Variablen gemäß den verschiedenen Fällen definiert werden.

Diskrete und kontinuierliche Verteilungen ermöglichen es, eine große Anzahl ansonsten ungelöster Probleme selbst mit feinsten Kenntnissen der mathematischen Analyse mathematisch zu abstrahieren.

Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen dargestellt wird, wird im ersten Kapitel auf den theoretischen Bezugskontext verwiesen.

Was in diesem Arbeitsbuch aufgedeckt wird, wird im Allgemeinen in Universitätslehrgängen in Statistik behandelt.

I

THEORETISCHE ÜBERSICHT

Zufallsvariablen, Verteilungen und Eigenschaften

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Eine Zufalls- oder Zufallsvariable ist eine messbare Funktion auf einem Stichprobenraum, in der ein Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ist.

Diese Variable kann Werte in R haben und daher eine Dimension haben, oder mehr Dimensionen haben und in diesem Fall sprechen wir von multivariaten Zufallsvariablen.

Jeder Zufallsvariablen X kann ein Verteilungs- oder Wahrscheinlichkeitsgesetz zugeordnet werden, das jeder Teilmenge möglicher Werte von X die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass die Zufallsvariable in dieser Teilmenge einen Wert annimmt, und wie folgt definiert ist:

Wobei die letzte Beziehung das im Stichprobenraum definierte Wahrscheinlichkeitsmaß ist.

Wenn die Zufallsvariable diskret ist, dann ist die diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion wie folgt definiert:

Wenn es kontinuierlich ist, ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gegeben durch:

Wobei A eine Teilmenge des Stichprobenraums ist und das Integral nach Lebesgue beabsichtigt ist.

Für multivariate Zufallsvariablen gilt folgende Erweiterung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

Dies wird als gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezeichnet.

Andererseits ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer einzelnen Komponente, die so genannte Randdichte , wie folgt definiert:

Bei multivariaten diskreten Variablen gelten für gemeinsame und marginale Wahrscheinlichkeitsfunktionen folgende Definitionen:

Stattdessen spricht man von einer Verteilungsfunktion , einer nicht abnehmenden Funktion, rechtsstetig und mit den folgenden Eigenschaften:

So dass man das hat:

Die Beziehungen zwischen der Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlichkeitsfunktion sind jeweils im kontinuierlichen und im diskreten Fall durch die folgenden Formeln gegeben:

Die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion (kontinuierlicher Fall und diskreter Fall) wird als bedingte Verteilung bezeichnet: