Übungen zur Galoistheorie E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Polynome und symmetrische Formen
Cauchy-Module und Monodromie
Binomialgleichungen zweiten, dritten und vierten Grades.
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

"Übungen zur Galoistheorie"

EINFÜHRUNG

THEORETISCHE ÜBERSICHT

ÜBUNGEN

"Übungen zur Galoistheorie"

SIMONE MALACRIDA

In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:

Polynome und symmetrische Formen

Cauchy-Module und Monodromie

Binomialgleichungen zweiten, dritten und vierten Grades.

Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

ANALYTISCHER INDEX

––––––––

EINFÜHRUNG

––––––––

I – THEORETISCHE ÜBERSICHT

Symmetrische Polynome und Cauchy-Moduli

Galois-Gruppe

Binomiale Gleichungen

Löslichkeit durch Radikale

Fundamentalsatz

Lösen quadratischer Gleichungen

Lösen von Gleichungen dritten Grades

Lösen quadratischer Gleichungen

Satz von Ruffini-Abel

Monodromie

––––––––

II – ÜBUNGEN

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Übung 6

Übung 7

Übung 8

Übung9

Übung 10

Übung 11

Übung 12

Übung 13

Übung 14

Übung 15

Übung 16

EINFÜHRUNG

In diesem Arbeitsbuch werden einige Berechnungsbeispiele im Zusammenhang mit der Galois-Theorie durchgeführt.

Darüber hinaus werden die wichtigsten Theoreme, die in dieser Theorie verwendet werden, vorgestellt.

Die Galois-Theorie ist ein sehr leistungsfähiger Formalismus zum Lösen jeder Gradgleichung kleiner als die fünfte sowohl im reellen als auch im komplexen Bereich.

Darüber hinaus werden einige Polynomeigenschaften nur durch Betrachtung dieser Theorie geklärt, die eine Spezialisierung der fortgeschrittenen Algebra und der Gruppentheorie ist.

Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen dargestellt wird, wird im ersten Kapitel auf den theoretischen Bezugskontext verwiesen.

Was in diesem Arbeitsbuch präsentiert wird, wird im Allgemeinen in fortgeschrittenen Algebra-Kursen auf Universitätsniveau behandelt.

I

THEORETISCHE ÜBERSICHT

Symmetrische Polynome und Cauchy-Moduli

––––––––

Ein Polynom in n Variablen mit Koeffizienten in einem Körper heißt symmetrisch in den Variablen, wenn gilt:

Wobei Sigma die Permutationen der symmetrischen Gruppe S (Galois-Gruppe, Definition siehe nächstes Kapitel) angibt.

Von allen symmetrischen Polynomen in den Einzelvariablen haben die elementaren symmetrischen Funktionen eine besondere Bedeutung , bei denen jede einzelne Permutation durch die Summe der Produkte der Indizes gegeben ist.

In diesem Fall ist die erste Permutation einfach die Summe der n Variablen, die zweite Permutation die Summe der Zwei-mal-zwei-Produkte, die dritte die Drei-mal-drei-Produkte und so weiter.

Das Vorzeichen jeder Permutation ist für ungerade Potenzen negativ und für gerade Potenzen positiv.

Es lässt sich zeigen, dass die elementarsymmetrischen Funktionen im Feld algebraisch unabhängig sind , also:

––––––––