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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
bestimmte und unbestimmte Integrale
unechte Integrale
geometrische Anwendungen und bemerkenswerte Sätze der Integralrechnung.
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Inhaltsverzeichnis
„Übungen zur Integralrechnung“
EINFÜHRUNG
DEFINITE UND UNDEFINITE INTEGRALE
FALSCHE INTEGRALE
„Übungen zur Integralrechnung“
SIMONE MALACRIDA
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
bestimmte und unbestimmte Integrale
unechte Integrale
geometrische Anwendungen und bemerkenswerte Sätze der Integralrechnung.
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
Simone Malacrida (1977)
Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.
ANALYTISCHER INDEX
––––––––
EINFÜHRUNG
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I – DEFINITE UND UNDEFINITE INTEGRALE
Übung 1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung 5
Übung 6
Übung 7
Übung 8
Übung 9
Übung 10
Übung 11
Übung 12
Übung 13
Übung 14
Übung 15
Übung 16
Übung 17
Übung 18
Übung 19
Übung 20
Übung 21
Übung 22
Übung 23
Übung 24
Übung 25
Übung 26
Übung 27
Übung 28
Übung 29
Übung 30
Übung 31
Übung 32
Übung 33
Übung 34
Übung 35
Übung 36
Übung 37
Übung 38
Übung 39
Übung 40
Übung 41
Übung 42
Übung 43
Übung 44
Übung 45
Übung 46
Übung 47
Übung 48
Übung 49
Übung 50
Übung 51
Übung 52
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II – UNECHTE INTEGRALE
Übung 1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung 5
Übung 6
Übung 7
Übung 8
Übung 9
Übung 10
Übung 11
Übung 12
Übung 13
Übung 14
Übung 15
Übung 16
EINFÜHRUNG
In diesem Übungsbuch werden einige Rechenbeispiele zu bestimmten, unbestimmten und uneigentlichen Integralen durchgeführt.
Darüber hinaus werden die Hauptsätze der Integralrechnung sowie die bemerkenswerten geometrischen Anwendungen dieses Bereichs der mathematischen Analyse vorgestellt.
Die Integralrechnung ist ein Meilenstein in der mathematischen Analyse: Die Suche nach Primitiven und die Konvergenz uneigentlicher Integrale waren nicht nur eine große mathematische Herausforderung, sondern auch eine elegante Lösung für viele physikalische und anwendungsbezogene Probleme.
Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen erklärt wird, wird zu Beginn jedes Kapitels auf den theoretischen Bezugsrahmen verwiesen.
Was in diesem Arbeitsbuch vorgestellt wird, wird im Allgemeinen während des letzten Jahres der naturwissenschaftlichen Hochschulen und vor allem im ersten Kurs der mathematischen Analyse auf Universitätsniveau behandelt.
I
DEFINITE UND UNDEFINITE INTEGRALE
Betrachtet man eine stetige Funktion in einem geschlossenen und begrenzten Intervall [a,b], kann man zwei Punkte innerhalb einer beliebigen Partition des Intervalls definieren, das durch die untere Grenze und die obere Grenze wie folgt gegeben ist:
Die unteren und oberen Integralsummen werden wie folgt gebildet:
Wir definieren die folgende Größe als ganzzahlige Summe:
Der Grenzwert dieser Integralsumme (falls endlich vorhanden) heißt Riemann-Integral und wird wie folgt angegeben:
E repräsentiert die Konvergenz zwischen der unteren und oberen Integralsumme.
Man sagt also, die Funktion sei im abgeschlossenen Intervall [a,b] integrierbar .
Eine hinreichende Bedingung für die Integrierbarkeit ist durch die Stetigkeit der Funktion über ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall gegeben: Eine gleichmäßig stetige Funktion ist also integrierbar.
Eine Funktion heißt absolut integrierbar , wenn ihr Modul integrierbar ist (es versteht sich von selbst, dass eine absolut integrierbare Funktion integrierbar ist).
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Das Riemann-Integral hat die Eigenschaften Linearität, Additivität und Monotonie .
In Formeln haben wir:
Außerdem gelten zweiSätze über den Absolutwert und den integralen Mittelwert :
Das bisher vorgeschlagene Riemann-Integral wird als bestimmtes Integral bezeichnet und ist eine Funktion , dh es liefert nach einer Operation auf einer Funktion einer reellen Variablen einen numerischen Wert.
Die geometrische Bedeutung des nach Riemann definierten Integrals ist einfach zu erklären.
Unter Hinweis darauf, dass die obere Integralsumme die Fläche der Rechtecke ist, die den Bereich der Ebene umschreiben, die durch den Graphen der Funktion und die Abszissenachse begrenzt ist, und dass die untere Integralsumme stattdessen die Fläche der Rechtecke ist, die in diesen Bereich eingeschrieben sind , das definitive Integral berechnet genau die Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion und der Abszissenachse im geschlossenen und begrenzten Intervall [a,b] liegt.
Dieses Ergebnis gilt auch für die zwischen zwei Kurven eingeschlossenen ebenen Bereiche, wobei das bestimmte Integral der Differenz der Funktionen das Flächenmaß dieses ebenen Bereichs darstellt (immer im Hinterkopf behaltend, dass die geometrischen Bereiche positiv sind und wir daher immer berücksichtigen die Absolutwerte der Differenzen).
Eine weitere geometrische Anwendung des bestimmten Integrals ist durch die Berechnung des Volumens und der Oberfläche eines Rotationskörpers gegeben . Tatsächlich gilt im abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a,b]:
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Stattdessen nennen wir Integralfunktion (oder Torricelli-Integral) eine Funktion, die durch ein bestimmtes Integral gegeben ist, bei dem ein Integrationsextremum festgelegt ist, während das andere variabel ist.
Der Hauptsatz der Integralrechnung besagt, dass bei einer integrierbaren Funktion f(x) und einer darauf aufbauenden Integralfunktion:
Dann ist die Integralfunktion stetig in [a,b]. Ist f(x) stetig, so ist die Integralfunktion im offenen Bereich (a,b) differenzierbar und es gilt:
