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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Numerische Berechnung der Wurzeln eines Polynoms
Numerisches Lösen von Matrizen, linearen und nichtlinearen Systemen
Numerische Berechnung des Integrals und der Ableitungen
Finite-Differenzen-Methode und numerisches Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen
Finite-Elemente-Methode und schwache Formulierung partieller Differentialgleichungen
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
Ähnliche
Inhaltsverzeichnis
„Übungen zur Numerischen Analysis“
EINFÜHRUNG
THEORETISCHE ÜBERSICHT
ÜBUNGEN
„Übungen zur Numerischen Analysis“
SIMONE MALACRIDA
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Numerische Berechnung der Wurzeln eines Polynoms
Numerisches Lösen von Matrizen, linearen und nichtlinearen Systemen
Numerische Berechnung des Integrals und der Ableitungen
Finite-Differenzen-Methode und numerisches Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen
Finite-Elemente-Methode und schwache Formulierung partieller Differentialgleichungen
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
Simone Malacrida (1977)
Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.
ANALYTISCHER INDEX
––––––––
EINFÜHRUNG
––––––––
I – THEORETISCHE UBERSICHT
Berechnung der Wurzeln eines Polynoms
Auflösungen von Matrixsystemen
Interpolation von Funktionen
Definitionen
Diskretisierung des Integrals
Finite-Differenzen-Methode
Finite-Elemente-Methode
––––––––
II – ÜBUNGEN
Übung1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung 5
Übung 6
Übung 7
Übung 8
Übung 9
Übung 10
Übung 11
Übung 12
Übung 13
Übung 14
Übung 15
Übung 16
Übung 17
Übung 18
Übung 19
EINFÜHRUNG
In diesem Arbeitsbuch werden einige Rechenbeispiele zur Numerik durchgeführt.
Darüber hinaus werden die wichtigsten theoretischen Ergebnisse dieses Bereichs der Mathematik vorgestellt.
Die Numerik ermöglicht es, alle Rechenoperationen der mathematischen Analyse durch die Verwendung endlicher Systeme, dh elektronischer Taschenrechner, zu lösen.
Daher ist für eine effektive Lösung mathematischer Probleme die Anpassung aller analytischen Operationen an numerische Berechnungen erforderlich.
Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen dargestellt wird, wird im ersten Kapitel auf den theoretischen Bezugskontext verwiesen.
Was in diesem Übungsbuch vorgestellt wird, wird in der Regel in den auf Universitätsniveau angebotenen Lehrveranstaltungen zur Numerik und Numerik behandelt.
I
THEORETISCHE ÜBERSICHT
Berechnung der Wurzeln eines Polynoms
––––––––
Eine erste große Kategorie numerischer Verfahren besteht darin, die Wurzeln eines Polynoms oder einer generischen transzendenten Funktion zu berechnen.
Der Algorithmus von Horner ermöglicht es, ein Polynom auszuwerten, das N Additionen und N Multiplikationen durchführt, anstelle der normalen N Additionen und N(N+1)/2 Multiplikationen, die erforderlich sind .
Wir müssen jedes Polynom in eine andere äquivalente Form umschreiben:
Der Wert des Polynoms wird in dieser rekursiven Form berechnet:
Die einfachste Methode, um die Wurzeln einer Gleichung zu finden, ist die Bisektionsmethode oder die dichotome Methode.
Dieses Verfahren geht davon aus, dass, wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen annimmt, die Wurzel dieser Funktion in diesem Intervall enthalten ist.
Dieses Ergebnis ist als Nullstellensatz bekannt und gilt unter geeigneten Bedingungen.
In Formeln haben wir:
Die Halbierungsmethode teilt das Intervall zwischen a und b in zwei Hälften.
Wenn die Funktion in der Mitte des Intervalls null ist, dann ist dieser Wert die gesuchte Wurzel.
Im umgekehrten Fall wird derselbe Algorithmus rekursiv angewendet, wobei nur die Hälfte des Intervalls betrachtet wird, in der noch eine Umkehrung des Vorzeichens vorliegt.
Im n-ten Schritt ist die Annäherung an den reellen Wert der Wurzel gegeben durch:
Ein Verfahren, das die Größe des Intervalls variiert, ist das lineare Interpolationsverfahren.
Anstatt immer die Hälfte des angegebenen Intervalls zu nehmen, nehmen wir einen Zwischenwert, der durch einen gewichteten Durchschnitt gegeben ist:
