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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Deutsch
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Schätztheorie
Testen und Verifizieren von Hypothesen
lineare Regression
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Inhaltsverzeichnis
„Übungen zur statistischen Inferenz“
EINFÜHRUNG
THEORETISCHE ÜBERSICHT
ÜBUNGEN
„Übungen zur statistischen Inferenz“
SIMONE MALACRIDA
In diesem Buch werden Übungen zu folgenden mathematischen Themen durchgeführt:
Schätztheorie
Testen und Verifizieren von Hypothesen
lineare Regression
Außerdem werden erste theoretische Hinweise gegeben, um die Durchführung der Übungen verständlich zu machen.
Simone Malacrida (1977)
Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.
ANALYTISCHER INDEX
––––––––
EINFÜHRUNG
––––––––
I – THEORETISCHE ÜBERSICHT
Einführung
Schätzungstheorie
Hypothesentest
Rückfall
Bayessche Inferenz
––––––––
II – ÜBUNGEN
Übung 1
Übung 2
Übung 3
Übung 4
Übung 5
Übung 6
Übung 7
Übung 8
Übung 9
Übung 10
Übung 11
Übung 12
Übung 13
Übung 14
Übung 15
Übung 16
Übung 17
Übung 18
Übung 19
Übung 20
Übung 21
Übung 22
Übung 23
Übung 24
Übung 25
Übung 26
Übung27
EINFÜHRUNG
In diesem Übungsbuch werden einige Beispiele für Berechnungen im Zusammenhang mit statistischer Inferenz durchgeführt.
Darüber hinaus werden die wichtigsten Theoreme vorgestellt, die sowohl in der Schätztheorie als auch beim Testen von Hypothesen verwendet werden.
Das Studium der Statistik hört in der Tat nicht bei den Eigenschaften kontinuierlicher und diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf, sondern erweitert sich in Inferenzsektoren und wendet die statistischen Konzepte der Schätzung, des Mittelwerts, der Varianz, der Regression und des Testens von Hypothesen an, wenn bestimmte Tests vorhanden sind.
Um besser zu verstehen, was in der Auflösung der Übungen dargestellt wird, wird im ersten Kapitel auf den theoretischen Bezugskontext verwiesen.
Was in diesem Arbeitsbuch vorgestellt wird, wird im Allgemeinen in fortgeschrittenen Statistikkursen auf Universitätsniveau behandelt.
I
THEORETISCHE ÜBERSICHT
Einführung
––––––––
Statistische Inferenz fällt in zwei große Interessengebiete: Schätzungstheorie und Hypothesentest.
Grundlage beider Bereiche ist die Stichprobenziehung, die als Auswahl der Stichprobe der statistischen Grundgesamtheit verstanden wird: sie kann zufällig, probabilistisch, begründet oder zweckmäßig sein.
Die Stichprobenverfahren hängen von der Wahrscheinlichkeitsverteilung und den gerade beschriebenen Zufallsvariablen ab.
––––––––
Schätzungstheorie
––––––––
Die Schätztheorie ermöglicht es, Parameter ausgehend von gemessenen Daten durch eine deterministische Funktion namens Schätzer zu schätzen.
Es gibt verschiedene Eigenschaften, die die Qualität eines Schätzers charakterisieren, darunter Korrektheit, Konsistenz, Effizienz, Hinlänglichkeit und Vollständigkeit.
Ein korrekter Schätzer ist eine Funktion, deren Erwartungswert gleich der zu schätzenden Größe ist, umgekehrt wird sie als voreingenommen bezeichnet.
Die Differenz zwischen dem erwarteten Wert des Schätzers und dem der Stichprobe wird als Bias bezeichnet . Wenn diese Differenz null ist, da die Stichprobe gegen unendlich geht, wird der Schätzer als asymptotisch korrekt bezeichnet.
Bei gegebener Zufallsvariable X mit unbekanntem Parameter Y genügt ein Schätzer T(X) für Y, wenn die durch T(X) gegebene bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von X nicht von Y abhängt.
Ein Schätzer für den Parameter Y wird als schwach konsistent bezeichnet , wenn die Wahrscheinlichkeit gegen den Wert von Y konvergiert, wenn die Stichprobengröße gegen unendlich geht.
Konvergiert sie hingegen mit ziemlicher Sicherheit, so spricht man von Konsistenz im strengen Sinne.
Eine hinreichende Bedingung für schwache Konsistenz ist, dass der Schätzer asymptotisch korrekt ist und gleichzeitig gilt:
––––––––
Wir definieren die Fisher-Information als die Varianz der logarithmischen Ableitung, die einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsfunktion zugeordnet ist (wir werden das Konzept der Wahrscheinlichkeit in Kürze definieren).
Diese Größe ist für unabhängige Zufallsvariablen additiv.
Die Fisher-Informationen einer ausreichenden Statistik sind die gleichen wie die in der gesamten Stichprobe enthaltenen.
Bei multivariaten Verteilungen gilt:
Die Cramer-Rao-Ungleichung besagt, dass die Varianz eines erwartungstreuen Schätzers somit mit der Fisher-Information zusammenhängt:
Im multivariaten Fall wird es:
Die Effizienz eines unverzerrten Schätzers ist wie folgt definiert:
Aus der Cramer-Rao-Ungleichung folgt, dass die Effizienz für einen unverzerrten Schätzer kleiner oder gleich 1 ist.
