Die platonischen Körper in den Chakren - Harry Eilenstein - E-Book

Die platonischen Körper in den Chakren E-Book

Harry Eilenstein

0,0
4,49 €

-100%
Sammeln Sie Punkte in unserem Gutscheinprogramm und kaufen Sie E-Books und Hörbücher mit bis zu 100% Rabatt.
Mehr erfahren.
Beschreibung

Da wollte ich doch nur mal die fünf platonischen Körper genauer betrachten und dann so was! Sie haben eine geometrische Symmetrie, die ich nicht erwartet habe - je zwei von ihnen sind miteinander verwandt. Dann habe ich eine Anordnung der platonischen Körper entdeckt, in der auch die Kugel, die regelmäßigen Vielecke, die drei regelmäßig gegliederten "platonischen Flächen" und vieles mehr ihren Platz haben - und diese Anordnung war eine perfekte Hyperbel mit der Kugel an einem zentralen Platz. Das sah aus, als wenn es da noch mehr zu entdecken gäbe ... Dann habe ich die Ähnlichkeit zwischen dem Tetraeder und dem roten Dreieck bemerkt, das man bei den Kundalini-Meditationen im Wurzelchakra imaginiert. Daraufhin habe ich in meinen Meditationen das Dreieck durch einen Tetraeder ersetzt und war verblüfft über die große und vielfältige Wirkung, die das hatte. Da lag es nahe, auch die anderen platonischen Körper den Chakren zuzuordnen. Dabei hat sich herausgestellt, daß die platonischen Körper und die Chakren genau dieselben Symmetrien enthalten. Auch hier waren die Wirkungen bei der Anwendung mehr als überzeugend. Daraufhin habe ich einige andere Menschen ebenfalls die platonischen Körper in ihren Chakren imaginieren lassen, was zu genau denselben Phänomenen wie bei mir geführt hat. Schließlich habe ich auch noch Anwendungsmöglichkeiten in der Heilung und in der Magie gefunden. Die platonischen Körper sind homöopathische Kügelchen für die Chakren.

Das E-Book können Sie in Legimi-Apps oder einer beliebigen App lesen, die das folgende Format unterstützen:

EPUB
MOBI

Seitenzahl: 198

Veröffentlichungsjahr: 2020

Bewertungen
0,0
0
0
0
0
0
Mehr Informationen
Mehr Informationen
Legimi prüft nicht, ob Rezensionen von Nutzern stammen, die den betreffenden Titel tatsächlich gekauft oder gelesen/gehört haben. Wir entfernen aber gefälschte Rezensionen.



Inhaltsverzeichnis

Die platonischen Körper

Die Systematik der platonischen Körper

Eine genauere Definition der platonischen Körper

Die Anzahl der Seitenflächen

Die Anzahl der Kanten

Die Anzahl der Ecken

Der Zusammenhang zwischen den Zahlen

Drei Symmetrien

Die Euler-Formel

Ecken der Flächen und Flächen an den Ecken

Kanten und Flächen an einer Ecke

Kanten und Anzahl der Ecken an den Flächen

Kanten und Flächen

Kanten und Ecken

Berechnung der Seiten-Anzahl

Berechnung der Ecken-Anzahl

Berechnung der Kanten-Anzahl

Dualität

Die drei Ansichten

Platonische Körper in platonischen Körpern

Zusammenfassung

Die platonischen Körper und ihr Umfeld

Die Eigenschaften der platonischen Körper

Die geometrischen Eigenschaften

Ikosaeder

Oktaeder

Tetraeder

Würfel

Dodekaeder

Zusammenfassung

Die astrologischen Aspekte

Ikosaeder

Oktaeder

Tetraeder

Würfel

Dodekaeder

Zusammenfassung

Die platonischen Körper in der Natur

Ikosaeder

Oktaeder

Tetraeder

Würfel

Dodekaeder

Zusammenfassung

Zahlen

Zahlensymbolik

Die Zahlen der platonischen Körper

Die platonischen Körper in der Magie-Tradition

Ikosaeder

Oktaeder

Tetraeder

Würfel

Dodekaeder

Zusammenfassung

Traumreisen zu den platonischen Körpern

Erste Traumreisen

Erste Traumreise zum Tetraeder

Zweite Traumreise zum Tetraeder

Erste Traumreise zum Oktaeder

Erste Traumreise zum Würfel

Erste Traumreise zum Ikosaeder

Erste Traumreise zum Dodekaeder

Erste Zusammenfassung

Ikosaeder

Oktaeder

Tetraeder

Würfel

Dodekaeder

allgemein

Weiterführende Traumreisen

Die platonischen Körper in menschlicher Gestalt

Die Wirkung der platonischen Körper

Pentagone

Die Kugel

Der Kubus

Der Kegel

Die Quadrate-Fläche

Die Dreiecke-Fläche

Die Waben-Fläche

Zweite Zusammenfassung

Ikosaeder

Oktaeder

Tetraeder

Würfel

Dodekaeder

allgemein

Magie-Experimente

Die bisherigen Experimente

Weitere Versuche

Kundalini-Meditation

Die platonischen Körper in den Chakren – Teil 1

Die platonischen Körper im Raum

Die platonischen Körper in den Chakren – Teil 2

Die platonischen Körper in den Chakren – Teil 3

Die platonischen Körper in den Chakren – Teil 3

Erfahrungen anderer Menschen

Versuche 1

Die regelmäßig unterteilten Flächen

Versuche 2

Zusammenfassung

allgemein

Tetraeder

Würfel

Dodekaeder

Kugel

Ikosaeder

Oktaeder

umgekehrter Tetraeder

Die Einordnung der Ergebnisse

Bücherverzeichnis

I Die platonischen Körper

Ein platonischer Körper ist auf eine einfache Weise definiert: Alle seine Seitenflächen haben dieselbe Form und sie bilden insgesamt die geschlossene Oberfläche eines Körpers. Die Flächen, aus denen sich diese Oberfläche zusammensetzt, sind stets regelmäßige Vielecke: gleichseitiges Dreieck, Quadrat (Viereck) und Pentagon (Fünfeck).

Es gibt lediglich fünf verschiedene platonische Körper:

Tetraeder:

4 Dreiecke

Oktaeder:

8 Dreiecke

Ikosaeder:

20 Dreiecke

Würfel:

6 Vierecke

Dodekaeder:

12 Fünfecke

Verschiedene griechische Philosophen in der Antike wie Plato (nach dem die fünf Körper benannt worden sind) haben versucht, alle Stoffe in der Natur auf diese fünf Körper als deren kleinste Einheit zurückzuführen. Die platonischen Körper waren also eine frühe Form des Atom-Modells.

Spätestens ab dieser Zeit, also um 400 v.Chr., waren alle fünf platonischen Körper bekannt – der Oktaeder und der Ikosaeder scheinen als letzte entdeckt worden zu sein.

Diese fünf Körper wurden auch den vier Elementen und der Quintessenz zugeordnet:

Würfel:

Erde

Ikosaeder:

Wasser

Oktaeder:

Luft

Tetraeder:

Feuer

Dodekaeder:

Licht (Quintessenz)

Die damalige (und heutige) Argumentation für diese Zuordnung sah im Wesentlichen wie folgt aus:

Aus Würfeln entstehen feste Formen – folglich ist er das Grundelement der Erde.Der Tetraeder hat die schärfsten Spitzen, die den Schmerz der Hitze des Feuers verursachen.Der Ikosaeder ist eine gute Annäherung an eine Kugel, weshalb Wasser „fortrollt“, d.h. fortfließt.Der Oktaeder ist so klein, daß er kaum zu fassen ist, sodaß er die ungreifbare Luft sein muß (eine etwas schwache Argumentation …).Somit blieb noch der Dodekaeder übrig, der eher lose dem Licht oder dem „Äther“, also der Lebenskraft zugeordnet worden ist. Immerhin besteht er als Zuordnung zur „Quintessenz“, was „fünftes Element“ bedeutet, aus Pentagonen, also aus Fünfecken – was aber auch keine besonders schlüssige Argumentation ist …

Diese Zuordnung bleib lange bestehen und noch Johannes Kepler hat um 1600 zunächst versucht, die Planetenbahnen mit Hilfe der platonischen Körper zu erklären. Dies war einer der ersten Versuche, die Planetenbewegungen auf einfache Grundprinzipien zurückzuführen.

In seinem Buch „Harmonices mundi“ („Harmonien der Welt“) hat Kepler noch die klassische Zuordnung der platonischen Körper zu den vier Elementen und der Quintessenz illustriert.

In Indien gibt es im Yoga fünf alte Symbole („Tattwas“) für die vier Elemente, die teilweise den platonischen Körpern ähnlich sehen.

Die drei deutlichen Übereinstimmungen zwischen platonischem Körper und Tattwa-Symbol kann man aus den Eigenschaften ableiten, die man den vier Elementen und der Quintessenz zugeschrieben hat:

- Die feste Erde ist quadratisch (Würfel).

- Das Feuer strebt nach oben (Dreieck).

- Das Wasser „rollt“ einem aus der Hand (Kugel, Mondsichel) – wobei die Tattwa-Mondsichel vermutlich aus der Assoziation des Mondes mit dem Wasser (er verursacht die Gezeiten des Meeres) entstanden ist und nicht aus seiner Auffassung als Teil eines Kreises.

Die beiden anderen Paare von platonischem Körper und Tattwa (Quintessenz und Luft) weisen kaum eine Ähnlichkeit miteinander auf auf.

Schließlich gibt es noch die Element-Symbole aus der Alchemie, die man ebenfalls mit den platonischen Körpern und den Tattwas vergleichen kann.

Die vier Elemente waren u.a. durch die Gegensatz-Paare „heiß und kalt“ sowie „trocken und feucht“ definiert, die allerdings nicht so ganz überzeugend ist. Nach dieser Zuordnung ist

Feuer heiß und trocken (was zutrifft),

Luft heiß und feucht (was nur manchmal zutrifft)

Wasser kalt und feucht (was meistens zutrifft) und

Erde kalt und trocken (was nur manchmal zutrifft).

Die Qualitäten der vier Elemente

heiß

kalt

trocken

Feuer

Erde

feucht

Luft

Wasser

Die Elemente-Symbole der Alchemisten bestehen aus einem Dreieck und einem Querstrich:

- Die beiden aufrechten Dreiecke finden sich bei den aktiven, „heißen“ Elementen; die beiden nach unten weisenden Dreiecke bei den passiven, „kalten“ Elementen.

- Die Querstriche finden sich jedoch nicht bei den beiden „trockenen“ bzw. bei den beiden „feuchten“ Elementen, wie man es eigentlich erwarten sollte. Stattdessen finden sie sich bei Luft und Erde.

Man könnte Feuer und Wasser daher als den „primären Gegensatz“ auffassen und Luft und Erde als den sekundären Gegensatz.

In ähnlicher Weise gibt es im I Ging den Ur-Gegensatz von Yang/Feuer/Diesseits und Yin/Wasser/Jenseits. Aus ihnen entsteht dann die Vierheit „Feuer, Wasser, Erde, Himmel“, die zumindestens in etwa den vier Elementen entspricht.

Zunächst einmal sind dies natürlich alles nur Symbole. Es stellt sich also die Frage, ob es tiefergehende Zusammenhänge zwischen den fünf platonischen Körpern und den vier Elementen und der Quintessenz gibt oder ob sich aus der Form der platonischen Körper selber bestimmte Eigenschaften ableiten lassen.

Um dies erkennen zu können, ist als erstes eine genauere Betrachtung der geometrischen Eigenschaften der platonischen Körper notwendig.

Wie bei allen Forschungen weiß man anfangs nicht, wohin diese Reise ins Unbekannte führen wird …

II Die Systematik der platonischen Körper

Zunächst einmal sehen die fünf platonischen Körper wie eine recht willkürliche Ansammlung von geometrischen Körpern aus. Bei genauerer Betrachtung findet sich bei ihnen jedoch eine erstaunliche Symmetrie.

II 1. Eine genauere Defintion der platonischen Körper

Jeder platonische Körper läßt sich durch zwei Zahlen definieren:

durch die Anzahl der Ecken seiner regelmäßigen Flächen und

durch die Anzahl der Kanten bzw. Flächen, die sich an einem Eckpunkt treffen.

Eigenschaften der platonischen Körper

Ecken der Flächen

3

4

5

Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen

3

Tetraeder

Würfel

Dodekaeder

4

Oktaeder

5

Ikosaeder

Hier zeigt sich, daß die platonischen Körper durch die Zahlen „3“, „4“ und „5“ geprägt sind. Weiterhin zeigt sich, daß sie in diesem Diagramm regelmäßig angeordnet sind.

Es gibt zudem nur die drei Kombinationen „3/3“, „3/4“ und „3/5“. Offenbar ist die „3“ ein unverzichtbares Element bei einem platonischen Körper. Zunächst einmal ist jedoch noch nicht klar, ob das eine tiefere Bedeutung hat.

II 2. Die Anzahl der Seitenflächen

Die platonischen Körper haben alle eine unterschiedliche Anzahl von Seiten, die in der folgenden Tabelle unter ihren Namen angefügt ist.

Anzahl der Seitenflächen der platonischen Körper

Ecken der Flächen

3

4

5

Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen

3

Tetraeder -4-

Würfel -6-

Dodekaeder -12-

4

Oktaeder -8-

5

Ikosaeder -20-

Zunächst einmal zeigt sich, daß alle Seiten-Anzahlen gerade Zahlen sind. Man kann nun schauen, ob man in diesen Seiten-Anzahlen eine Regelmäßigkeit findet. Dafür wäre es naheliegend, vom Tetraeder aus waagerecht und senkrecht nach außen zu den größeren platonischen Körpern zu gehen.

4 Seiten (Tetraeder)

·

1,5

6

Seiten (Würfel)

6 Seiten (Würfel)

·

2

12

Seiten (Dodekaeder)

4 Seiten (Tetraeder)

·

2

8

Seiten (Oktaeder)

8 Seiten (Oktaeder)

·

2,5

20

Seiten (Ikosaeder)

Wenn man diese drei Faktoren, also „1,5“, „2“ und „2,5“ mit „2“ multiplizert, erhält man interessanterweise wieder die drei Zahlen „3“, „4“ und „5“. Das sieht nicht nach einem Zufall aus. Diese drei Zahlen scheinen wesentliche Eigenschaften der platonischen Körper zu sein.

II 3. Die Anzahl der Kanten

Die platonischen Körper haben auch eine unterschiedliche Anzahl von Kanten, die in der folgenden Tabelle wieder unter ihren Namen angefügt ist.

Anzahl der Kanten der platonischen Körper

Ecken der Flächen

3

4

5

Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen

3

Tetraeder -6-

Würfel -12-

Dodekaeder -30-

4

Oktaeder -12-

5

Ikosaeder -30-

Man kann auch hier wieder schauen, welche Verhältnisse man zwischen den Kanten-Anzahlen findet:

6

Kanten (Tetraeder)

·

2

12

Kanten (Würfel)

12

Kanten (Würfel)

·

2,5

30

Kanten (Dodekaeder)

6

Kanten (Tetraeder)

·

2

12

Kanten (Oktaeder)

12

Kanten (Oktaeder)

·

2,5

30

Kanten (Ikosaeder)

Hier sind wieder die „2“ und die „2,5“ zu finden, aber die „1,5“ fehlt. Wenn man die beiden Zahlen mit „2“ multipliziert, erhält man „4“ und „5“. Das ist inzwischen keine große Überraschung mehr …

II 4. Die Anzahl der Ecken

Die platonischen Körper haben auch eine unterschiedliche Anzahl von Ecken, die in der folgenden Tabelle unter ihren Namen angefügt ist.

Anzahl der Ecken der platonischen Körper

Ecken der Flächen

3

4

5

Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen

3

Tetraeder -4-

Würfel -8-

Dodekaeder -20-

4

Oktaeder -6-

5

Ikosaeder -12-

Man kann auch hier wieder schauen, welche Verhältnisse man zwischen den Ecken-Anzahlen findet:

4 Ecken (Tetraeder)

·

2

8

Ecken (Würfel)

8 Ecken (Würfel)

·

2,5

20

Ecken (Dodekaeder)

4 Ecken (Tetraeder)

·

1,5

6

Ecken (Oktaeder)

6 Ecken (Oktaeder)

·

2

12

Ecken (Ikosaeder)

Wenn man diese Zahlen mit „2“ multipliziert, erhält man wieder die drei Zahlen „3“, „4“ und „5“. Offensichtlich sind diese drei Zahlen für die platonischen Körper von großer Bedeutung.

II 5. Der Zusammenhang zwischen den Zahlen

Was zeigt sich nun, wenn man alle Zahlen in der Geometrie der platonischen Körper miteinander vergleicht?

II 5. a) Drei Symmetrien

Um diese Symmetrien zu erkennen, ist eine etwas andere Darstellungsweise hilfreich.

Die Zahlen der platonischen Körper

platonischer Körper

Ecken der Flächen

Flächen an einer Ecke

Anzahl der Flächen

Anzahl der Kanten

Anzahl der Ecken

Ikosaeder

3

5

20

30

12

Oktaeder

3

4

8

12

6

Tetraeder

3

3

4

6

4

Würfel

4

3

6

12

8

Dodekaeder

5

3

12

30

20

Es sind drei Symmetrieen zu sehen:

Die Anzahlen der Kanten sind „30 – 12 – 6 – 12 – 30“, also symmetrisch.

Die Anzahlen der Flächen und die Anzahlen der Ecken sind genau gespiegelt: „20 – 8 – 4 – 6 – 12“ und „20 – 8 – 4 – 6 – 12“.

Die Anzahlen der Ecken der Flächen und der Flächen an den Ecken sind ebenfalls genau gespiegelt: „3 – 3 – 3 – 4 – 5“ und „5 – 4 – 3 – 3 – 3“.

II 5. b) Die Euler-Formel

Der Mathematiker Leonard Euler hat eine Formel für den Zusammenhang einiger dieser Größen gefunden, die auch für die meisten anderen geometrischen Körper gilt (aber z.B. nicht für für einen Ring). Diese Formel lautet:

Für die platonischen Körper wäre das:

Ikosaeder:

20

+

12

30

2

Oktaeder:

8

+

6

12

2

Tetraeder:

4

+

4

6

2

Würfel:

6

+

8

12

2

Dodekaeder:

12

+

20

30

2

II 5. c) Ecken der Flächen und Flächen an den Ecken

Aus der Multiplikation der Ecken der Flächen mit der Anzahl der Flächen an einer Ecke ergibt sich eine einfache Symmetrie: „15 – 12 – 9 – 12 – 15“.

Die Zahlen dieser Symmetrie ergeben sich aus den drei Multiplikationen der „3·3“ „3·4“ und „3·5“ – also nicht viel Neues:

Ikosaeder:

3 · 5

15

Oktaeder:

3 · 4

12

Tetraeder:

3 · 3

9

Würfel:

4 · 3

12

Dodekaeder:

5 · 3

15

II 5. d) Kanten und Flächen an einer Ecke

Es gibt noch eine weitere Regelmäßigkeit: Die Anzahl der Kanten läßt sich stets ohne Rest durch die Anzahl der Flächen an einer Ecke teilen.

Ikosaeder:

30

:

5

6

Oktaeder:

12

:

4

3

Tetraeder:

6

:

3

2

Würfel:

12

:

3

4

Dodekaeder:

30

:

3

10

II 5. e) Kanten und Anzahl der Ecken an den Flächen

Auch diese beiden Zahlen lassen sich ohne Rest teilen:

Ikosaeder:

30

:

3

10

Oktaeder:

12

:

3

4

Tetraeder:

6

:

3

2

Würfel:

12

:

4

3

Dodekaeder:

30

:

5

6

Diese Zahlenfolge ist genau umgekehrt wie zuvor bei der Division der Anzahl der Kanten durch die Anzahl der Flächen an einer Ecke.

II 5. f) Kanten und Flächen

Wenn man die Anzahl der Kanten durch die Anzahl der Flächen teilt, ergeben sich die folgenden Zahlen:

Ikosaeder:

30

:

20

1,5

Oktaeder:

12

:

8

1,5

Tetraeder:

6

:

4

1,5

Würfel:

12

:

6

2

Dodekaeder:

30

:

12

2,5

Diese drei Zahlen sind ja mittlerweile gut bekannt – wenn man sie mit „2“ mutipliziert, erhält man „3“, „4“ und „5“.

Bei den drei platonischen Körpern, deren Oberfläche aus Dreiecken besteht, ist der Quotient aus Kanten-Anzahl und Flächen-Anzahl immer „1,5“.

Der Quotient ist stets halb so groß wie die Anzahl der Seiten einer Fläche.

II 5. g) Kanten und Ecken

Da die Anzahlen der Kanten symmetrisch sind und die Anzahlen der Flächen spiegelsymmetrisch zu den Anzahlen der Ecken sind, erhält man bei der Division der Kanten-Anzahl durch die Ecken-Anzahl wieder dieselben Zahlen, nur in umgekehrter Reihenfolge.

Ikosaeder:

30

:

12

2,5

Oktaeder:

12

:

6

2

Tetraeder:

6

:

4

1,5

Würfel:

12

:

8

1,5

Dodekaeder:

30

:

20

1,5

Bei den drei platonischen Körpern, bei denen stets drei Flächen an einer Ecke zusammenstoßen, ist der Quotient aus Kanten-Anzahl und Ecken-Anzahl immer „1,5“.

II 5. h) Berechnung der Seiten-Anzahl

Die Formel für die Berechung der Anzahl der Seiten ist ein wenig kompliziert und wird daher hier nicht hergeleitet:

4 · Anzahl der Flächen an einer Ecke

4 – (Anzahl der Flächen an einer Ecke – 2) · (Anzahl der Ecken einer Fläche – 2)

Ikosaeder:

4·5 : [4- (5-2)·(3-2)]

20 : [4 – 3·1]

20:1

20

Oktaeder:

4·4 : [4- (4-2)·(3-2)]

16 : [4 – 2·1]

16:2

8

Tetraeder:

4·3 : [4- (3-2)·(3-2)]

12 : [4 – 1·1]

12:3

4

Würfel:

4·3 : [4- (3-2)·(4-2)]

12 : [4 – 1·2]

12:2

6

Dodekaeder:

4·3 : [4- (3-2)·(5-2)]

12 : [4 – 1·3]

12:1

12

Als „Elemente“ in diesen Berechnungen kommen wieder nur die Zahlen von „1“ bis „5“ vor.

II 5. i) Berechnung der Ecken-Anzahl

Die Anzahl der Ecken kann einfach berechnet werden:

Jede Fläche hat dieselbe Anzahl von Ecken.Wenn man die Anzahl der Flächen mit der Anzahl der Ecken einer Fläche multipliziert, erhält man die Gesamtzahl der Ecken, wenn die Flächen einzeln wäre, d.h. nicht zu einem 3D-Körper zusammengefügt wären.Jede Ecke stößt an eine bestimmte Anzahl von Flächen – durch diese Zahl muß das Produkt aus Anzahl der Flächen und Anzahl der Ecken einer Fläche geteilt werden.

Die Formel lautet folglich:

Die fünf Berechnungen lauten somit:

Ikosaeder:

20

·

3

:

5

12

Oktaeder:

8

·

3

:

4

6

Tetraeder:

4

·

3

:

3

4

Würfel:

6

·

4

:

3

8

Dodekaeder:

12

·

5

:

3

20

II 5. j) Berechnung der Kanten-Anzahl

Auch die Anzahl der Kanten kann recht einfach berechnet werden:

Jede Fläche hat soviele Kanten wie Seiten.

Jede Kante stößt an zwei Flächen.

Also muß lautet die Formel:

Daraus ergeben sich die folgenden fünf Berechnungen:

Ikosaeder:

20

·

3

:

2

30

Oktaeder:

8

·

3

:

2

12

Tetraeder:

4

·

3

:

2

6

Würfel:

6

·

4

:

2

12

Dodekaeder:

12

·

5

:

2

30

II 5. l) Dualität

Es gibt noch einen speziellen Zusammenhang zwischen den platonischen Körpern, der sich aus den Zahlensymmetrien ergibt.

Wenn ein Körper dieselbe Anzahl an Spitzen hat wie ein anderer Körper Seitenflächen hat, dann kann man den einen Körper so in den anderen setzen, daß jede Spitze des inneren Körpers jeweils die Mitte einer Seite des äußeren Körpers berührt. Dieser Zusammenhang wird Dualität genannt.

In diesem Zusammenhang wird zwischen dem Tetraeder (Spitze nach oben) und dem umgekehrten Tetraeder (Spitze nach unten) unterschieden – sie sind in diesem Zusammenhang zwei verschiedene platonische Körper.

Der Tetraeder ist zu sich selber dual:

Tetraeder:

4 Flächen / 4 Ecken

umgekehrter Tetraeder:

4 Flächen / 4 Ecken

Der Würfel ist zum Oktaeder dual:

Würfel:

6 Flächen / 8 Ecken

Oktaeder:

8 Flächen / 6 Ecken.

Der Ikosaeder ist zum Dodekaeder dual:

Ikosaeder:

20 Flächen / 12 Ecken

Dodekaeder:

12 Flächen / 20 Ecken.

Es gibt folglich 6 Möglichkeiten dieser Art von Kombinationen. Durch sie werden die sechs platonischen Körper zu drei Paaren zusammengefügt:

Tetraeder im umgekehrten Tetraeder

umgekehrter Tetraeder im Tetraeder

Würfel im Oktaeder

Oktaeder im Würfel

Ikosaeder im Dodekaeder

Dodekaeder im Ikosaeder

Alle Spitzen des inneren platonischen Körpers berühren jeweils die Mitte aller Flächen des äußeren platonischen Körpers.

Das sieht dann wie folgt aus:

Die Dualität der platonischen Körper

umgekehrter Tetraeder im Tetraeder

Tetraeder im umgekehrter Tetraeder

Würfel im Oktaeder

Oktaeder im Würfel

Ikosaeder im Dodekaeder

Dodekaeder im Ikosaeder

Diese drei Dualitäten sind auch auf der graphischen Anordnung der platonischen Körper symmetrisch angeordnet:

Die Dualität der platonischen Körper

Ecken der Flächen

3

4

5

Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen

3

Tetraeder

dual zum umgekehrten Tetraeder

Würfel

dual zum Oktaeder

Dodekaeder

dual zum Ikoseder

4

Oktaeder

dual zum Würfel

5

Ikosaeder

dual zum Dodekaeder

II 5. l) Die drei Ansichten

Jenachdem, ob man einen platonischen Körper so betrachtet, daß man genau auf eine Fläche, eine Kante oder eine Ecke blickt, sieht er recht verschieden aus:

Die drei Ansichten der platonischen Körper

Fläche

Kante

Ecke

Tetraeder

Dreieck

Quadrat

Dreieck

Würfel

Quadrat

unregelmäßiges Viereck

Sechseck

Oktaeder

Sechseck

unregelmäßiges Viereck

Quadrat

Dodekaeder

Zehneck

unregelmäßiges Sechseck

unregelmäßiges Zwölfeck

Ikosaeder

Sechseck

unregelmäßiges Sechseck

Zehneck

Es fällt auf, wieviele ähnliche Umriß-Formen bei dieser Betrachtung erscheinen. Das liegt vor allem an der Dualität der platonischen Körper.

Dreieck:

Flächen-Ansicht des Tetraeders

Spitzen-Ansicht des Tetraeders

=> Der Tetraeder ist mit sich selber dual.

Quadrat:

Flächen-Ansicht des Würfels

Spitzen-Ansicht des Oktaeders

=> Oktaeder und Würfel sind dual zueinander.

Kanten-Ansicht des Tetraeders

regelmäßiges Sechseck:

Flächen-Ansicht des Oktaeders

Spitzen-Ansicht des Würfels

=> Oktaeder und Würfel sind dual zueinander.

Flächen-Ansicht des Ikosaeders

regelmäßiges Zehneck:

Flächen-Ansicht des Dodekaeders

Spitzen-Ansicht des Ikosaeders

=> Dodekaeder und Ikosaeder sind dual zueinander.

II 5. m) Platonische Körper in platonischen Körpern

Jeder der fünf platonischen Körper läßt sich so in die vier anderen platonischen Körper einfügen, daß es eine vollkommne Symmetrie gibt. Dabei berühren die inneren Körper stets auf eine vollkommen regelmäßige Weise den äußeren Körper.

Die vier Möglichkeiten der Berühungs-Orte sind:

die Ecken,

die Mitte der Kanten,

die Mitte der Flächen und

die gesamte Fläche.

Die fünf platonischen Körper sind offenbar auf vielfältige Weise miteinander verwandt.

In der Tabelle auf der nächsten Seite steht oben der äußere Körper, links der innere Körper. Unter der Skizze steht, auf welche Weise der innere Körper den äußeren Körper berührt.

Zunächst einmal fällt auf, daß nur der Tetraeder auf regelmäßige Weise in sich selber eingefügt werden kann – der Tetraeder ist dual zu sich selber.

platonische Körper in platonischen Körpern

Ikosaeder

Oktaeder

Tetraeder

Würfel

Dodekaeder

Ikosaeder

Fläche an Flächenmitte

Fläche an Flächenmitte

Kante an Flächenmitte

Ecke an Flächenmitte

Oktaeder

Ecke an Kantenmitte

Fläche an Flächenmitte

Ecke an Flächenmitte

Ecke an Kantenmitte

Tetraeder

Ecke an Flächenmitte

Ecke an Flächenmitte

Ecke an Flächenmitte

Kante an Flächenmitte

Ecke an Ecke

Würfel

Ecke an Flächenmitte

Ecke an Flächenmitte

Ecke an Flächenmitte

Kante an Diagonale

Dodekaeder

Ecke an Flächenmitte

Ecke an Flächenmitte

Ecke an Flächenmitte

Kante an Flächenmitte

Welche Regelmäßigkeiten gibt es hier?