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Da wollte ich doch nur mal die fünf platonischen Körper genauer betrachten und dann so was! Sie haben eine geometrische Symmetrie, die ich nicht erwartet habe - je zwei von ihnen sind miteinander verwandt. Dann habe ich eine Anordnung der platonischen Körper entdeckt, in der auch die Kugel, die regelmäßigen Vielecke, die drei regelmäßig gegliederten "platonischen Flächen" und vieles mehr ihren Platz haben - und diese Anordnung war eine perfekte Hyperbel mit der Kugel an einem zentralen Platz. Das sah aus, als wenn es da noch mehr zu entdecken gäbe ... Dann habe ich die Ähnlichkeit zwischen dem Tetraeder und dem roten Dreieck bemerkt, das man bei den Kundalini-Meditationen im Wurzelchakra imaginiert. Daraufhin habe ich in meinen Meditationen das Dreieck durch einen Tetraeder ersetzt und war verblüfft über die große und vielfältige Wirkung, die das hatte. Da lag es nahe, auch die anderen platonischen Körper den Chakren zuzuordnen. Dabei hat sich herausgestellt, daß die platonischen Körper und die Chakren genau dieselben Symmetrien enthalten. Auch hier waren die Wirkungen bei der Anwendung mehr als überzeugend. Daraufhin habe ich einige andere Menschen ebenfalls die platonischen Körper in ihren Chakren imaginieren lassen, was zu genau denselben Phänomenen wie bei mir geführt hat. Schließlich habe ich auch noch Anwendungsmöglichkeiten in der Heilung und in der Magie gefunden. Die platonischen Körper sind homöopathische Kügelchen für die Chakren.
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Seitenzahl: 198
Veröffentlichungsjahr: 2020
Die platonischen Körper
Die Systematik der platonischen Körper
Eine genauere Definition der platonischen Körper
Die Anzahl der Seitenflächen
Die Anzahl der Kanten
Die Anzahl der Ecken
Der Zusammenhang zwischen den Zahlen
Drei Symmetrien
Die Euler-Formel
Ecken der Flächen und Flächen an den Ecken
Kanten und Flächen an einer Ecke
Kanten und Anzahl der Ecken an den Flächen
Kanten und Flächen
Kanten und Ecken
Berechnung der Seiten-Anzahl
Berechnung der Ecken-Anzahl
Berechnung der Kanten-Anzahl
Dualität
Die drei Ansichten
Platonische Körper in platonischen Körpern
Zusammenfassung
Die platonischen Körper und ihr Umfeld
Die Eigenschaften der platonischen Körper
Die geometrischen Eigenschaften
Ikosaeder
Oktaeder
Tetraeder
Würfel
Dodekaeder
Zusammenfassung
Die astrologischen Aspekte
Ikosaeder
Oktaeder
Tetraeder
Würfel
Dodekaeder
Zusammenfassung
Die platonischen Körper in der Natur
Ikosaeder
Oktaeder
Tetraeder
Würfel
Dodekaeder
Zusammenfassung
Zahlen
Zahlensymbolik
Die Zahlen der platonischen Körper
Die platonischen Körper in der Magie-Tradition
Ikosaeder
Oktaeder
Tetraeder
Würfel
Dodekaeder
Zusammenfassung
Traumreisen zu den platonischen Körpern
Erste Traumreisen
Erste Traumreise zum Tetraeder
Zweite Traumreise zum Tetraeder
Erste Traumreise zum Oktaeder
Erste Traumreise zum Würfel
Erste Traumreise zum Ikosaeder
Erste Traumreise zum Dodekaeder
Erste Zusammenfassung
Ikosaeder
Oktaeder
Tetraeder
Würfel
Dodekaeder
allgemein
Weiterführende Traumreisen
Die platonischen Körper in menschlicher Gestalt
Die Wirkung der platonischen Körper
Pentagone
Die Kugel
Der Kubus
Der Kegel
Die Quadrate-Fläche
Die Dreiecke-Fläche
Die Waben-Fläche
Zweite Zusammenfassung
Ikosaeder
Oktaeder
Tetraeder
Würfel
Dodekaeder
allgemein
Magie-Experimente
Die bisherigen Experimente
Weitere Versuche
Kundalini-Meditation
Die platonischen Körper in den Chakren – Teil 1
Die platonischen Körper im Raum
Die platonischen Körper in den Chakren – Teil 2
Die platonischen Körper in den Chakren – Teil 3
Die platonischen Körper in den Chakren – Teil 3
Erfahrungen anderer Menschen
Versuche 1
Die regelmäßig unterteilten Flächen
Versuche 2
Zusammenfassung
allgemein
Tetraeder
Würfel
Dodekaeder
Kugel
Ikosaeder
Oktaeder
umgekehrter Tetraeder
Die Einordnung der Ergebnisse
Bücherverzeichnis
Ein platonischer Körper ist auf eine einfache Weise definiert: Alle seine Seitenflächen haben dieselbe Form und sie bilden insgesamt die geschlossene Oberfläche eines Körpers. Die Flächen, aus denen sich diese Oberfläche zusammensetzt, sind stets regelmäßige Vielecke: gleichseitiges Dreieck, Quadrat (Viereck) und Pentagon (Fünfeck).
Es gibt lediglich fünf verschiedene platonische Körper:
Tetraeder:
4 Dreiecke
Oktaeder:
8 Dreiecke
Ikosaeder:
20 Dreiecke
Würfel:
6 Vierecke
Dodekaeder:
12 Fünfecke
Verschiedene griechische Philosophen in der Antike wie Plato (nach dem die fünf Körper benannt worden sind) haben versucht, alle Stoffe in der Natur auf diese fünf Körper als deren kleinste Einheit zurückzuführen. Die platonischen Körper waren also eine frühe Form des Atom-Modells.
Spätestens ab dieser Zeit, also um 400 v.Chr., waren alle fünf platonischen Körper bekannt – der Oktaeder und der Ikosaeder scheinen als letzte entdeckt worden zu sein.
Diese fünf Körper wurden auch den vier Elementen und der Quintessenz zugeordnet:
Würfel:
Erde
Ikosaeder:
Wasser
Oktaeder:
Luft
Tetraeder:
Feuer
Dodekaeder:
Licht (Quintessenz)
Die damalige (und heutige) Argumentation für diese Zuordnung sah im Wesentlichen wie folgt aus:
Diese Zuordnung bleib lange bestehen und noch Johannes Kepler hat um 1600 zunächst versucht, die Planetenbahnen mit Hilfe der platonischen Körper zu erklären. Dies war einer der ersten Versuche, die Planetenbewegungen auf einfache Grundprinzipien zurückzuführen.
In seinem Buch „Harmonices mundi“ („Harmonien der Welt“) hat Kepler noch die klassische Zuordnung der platonischen Körper zu den vier Elementen und der Quintessenz illustriert.
In Indien gibt es im Yoga fünf alte Symbole („Tattwas“) für die vier Elemente, die teilweise den platonischen Körpern ähnlich sehen.
Die drei deutlichen Übereinstimmungen zwischen platonischem Körper und Tattwa-Symbol kann man aus den Eigenschaften ableiten, die man den vier Elementen und der Quintessenz zugeschrieben hat:
- Die feste Erde ist quadratisch (Würfel).
- Das Feuer strebt nach oben (Dreieck).
- Das Wasser „rollt“ einem aus der Hand (Kugel, Mondsichel) – wobei die Tattwa-Mondsichel vermutlich aus der Assoziation des Mondes mit dem Wasser (er verursacht die Gezeiten des Meeres) entstanden ist und nicht aus seiner Auffassung als Teil eines Kreises.
Die beiden anderen Paare von platonischem Körper und Tattwa (Quintessenz und Luft) weisen kaum eine Ähnlichkeit miteinander auf auf.
Schließlich gibt es noch die Element-Symbole aus der Alchemie, die man ebenfalls mit den platonischen Körpern und den Tattwas vergleichen kann.
Die vier Elemente waren u.a. durch die Gegensatz-Paare „heiß und kalt“ sowie „trocken und feucht“ definiert, die allerdings nicht so ganz überzeugend ist. Nach dieser Zuordnung ist
Feuer heiß und trocken (was zutrifft),
Luft heiß und feucht (was nur manchmal zutrifft)
Wasser kalt und feucht (was meistens zutrifft) und
Erde kalt und trocken (was nur manchmal zutrifft).
Die Qualitäten der vier Elemente
heiß
kalt
trocken
Feuer
Erde
feucht
Luft
Wasser
Die Elemente-Symbole der Alchemisten bestehen aus einem Dreieck und einem Querstrich:
- Die beiden aufrechten Dreiecke finden sich bei den aktiven, „heißen“ Elementen; die beiden nach unten weisenden Dreiecke bei den passiven, „kalten“ Elementen.
- Die Querstriche finden sich jedoch nicht bei den beiden „trockenen“ bzw. bei den beiden „feuchten“ Elementen, wie man es eigentlich erwarten sollte. Stattdessen finden sie sich bei Luft und Erde.
Man könnte Feuer und Wasser daher als den „primären Gegensatz“ auffassen und Luft und Erde als den sekundären Gegensatz.
In ähnlicher Weise gibt es im I Ging den Ur-Gegensatz von Yang/Feuer/Diesseits und Yin/Wasser/Jenseits. Aus ihnen entsteht dann die Vierheit „Feuer, Wasser, Erde, Himmel“, die zumindestens in etwa den vier Elementen entspricht.
Zunächst einmal sind dies natürlich alles nur Symbole. Es stellt sich also die Frage, ob es tiefergehende Zusammenhänge zwischen den fünf platonischen Körpern und den vier Elementen und der Quintessenz gibt oder ob sich aus der Form der platonischen Körper selber bestimmte Eigenschaften ableiten lassen.
Um dies erkennen zu können, ist als erstes eine genauere Betrachtung der geometrischen Eigenschaften der platonischen Körper notwendig.
Wie bei allen Forschungen weiß man anfangs nicht, wohin diese Reise ins Unbekannte führen wird …
Zunächst einmal sehen die fünf platonischen Körper wie eine recht willkürliche Ansammlung von geometrischen Körpern aus. Bei genauerer Betrachtung findet sich bei ihnen jedoch eine erstaunliche Symmetrie.
Jeder platonische Körper läßt sich durch zwei Zahlen definieren:
durch die Anzahl der Ecken seiner regelmäßigen Flächen und
durch die Anzahl der Kanten bzw. Flächen, die sich an einem Eckpunkt treffen.
Eigenschaften der platonischen Körper
Ecken der Flächen
3
4
5
Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen
3
Tetraeder
Würfel
Dodekaeder
4
Oktaeder
5
Ikosaeder
Hier zeigt sich, daß die platonischen Körper durch die Zahlen „3“, „4“ und „5“ geprägt sind. Weiterhin zeigt sich, daß sie in diesem Diagramm regelmäßig angeordnet sind.
Es gibt zudem nur die drei Kombinationen „3/3“, „3/4“ und „3/5“. Offenbar ist die „3“ ein unverzichtbares Element bei einem platonischen Körper. Zunächst einmal ist jedoch noch nicht klar, ob das eine tiefere Bedeutung hat.
Die platonischen Körper haben alle eine unterschiedliche Anzahl von Seiten, die in der folgenden Tabelle unter ihren Namen angefügt ist.
Anzahl der Seitenflächen der platonischen Körper
Ecken der Flächen
3
4
5
Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen
3
Tetraeder -4-
Würfel -6-
Dodekaeder -12-
4
Oktaeder -8-
5
Ikosaeder -20-
Zunächst einmal zeigt sich, daß alle Seiten-Anzahlen gerade Zahlen sind. Man kann nun schauen, ob man in diesen Seiten-Anzahlen eine Regelmäßigkeit findet. Dafür wäre es naheliegend, vom Tetraeder aus waagerecht und senkrecht nach außen zu den größeren platonischen Körpern zu gehen.
4 Seiten (Tetraeder)
·
1,5
6
Seiten (Würfel)
6 Seiten (Würfel)
·
2
12
Seiten (Dodekaeder)
4 Seiten (Tetraeder)
·
2
8
Seiten (Oktaeder)
8 Seiten (Oktaeder)
·
2,5
20
Seiten (Ikosaeder)
Wenn man diese drei Faktoren, also „1,5“, „2“ und „2,5“ mit „2“ multiplizert, erhält man interessanterweise wieder die drei Zahlen „3“, „4“ und „5“. Das sieht nicht nach einem Zufall aus. Diese drei Zahlen scheinen wesentliche Eigenschaften der platonischen Körper zu sein.
Die platonischen Körper haben auch eine unterschiedliche Anzahl von Kanten, die in der folgenden Tabelle wieder unter ihren Namen angefügt ist.
Anzahl der Kanten der platonischen Körper
Ecken der Flächen
3
4
5
Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen
3
Tetraeder -6-
Würfel -12-
Dodekaeder -30-
4
Oktaeder -12-
5
Ikosaeder -30-
Man kann auch hier wieder schauen, welche Verhältnisse man zwischen den Kanten-Anzahlen findet:
6
Kanten (Tetraeder)
·
2
12
Kanten (Würfel)
12
Kanten (Würfel)
·
2,5
30
Kanten (Dodekaeder)
6
Kanten (Tetraeder)
·
2
12
Kanten (Oktaeder)
12
Kanten (Oktaeder)
·
2,5
30
Kanten (Ikosaeder)
Hier sind wieder die „2“ und die „2,5“ zu finden, aber die „1,5“ fehlt. Wenn man die beiden Zahlen mit „2“ multipliziert, erhält man „4“ und „5“. Das ist inzwischen keine große Überraschung mehr …
Die platonischen Körper haben auch eine unterschiedliche Anzahl von Ecken, die in der folgenden Tabelle unter ihren Namen angefügt ist.
Anzahl der Ecken der platonischen Körper
Ecken der Flächen
3
4
5
Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen
3
Tetraeder -4-
Würfel -8-
Dodekaeder -20-
4
Oktaeder -6-
5
Ikosaeder -12-
Man kann auch hier wieder schauen, welche Verhältnisse man zwischen den Ecken-Anzahlen findet:
4 Ecken (Tetraeder)
·
2
8
Ecken (Würfel)
8 Ecken (Würfel)
·
2,5
20
Ecken (Dodekaeder)
4 Ecken (Tetraeder)
·
1,5
6
Ecken (Oktaeder)
6 Ecken (Oktaeder)
·
2
12
Ecken (Ikosaeder)
Wenn man diese Zahlen mit „2“ multipliziert, erhält man wieder die drei Zahlen „3“, „4“ und „5“. Offensichtlich sind diese drei Zahlen für die platonischen Körper von großer Bedeutung.
Was zeigt sich nun, wenn man alle Zahlen in der Geometrie der platonischen Körper miteinander vergleicht?
Um diese Symmetrien zu erkennen, ist eine etwas andere Darstellungsweise hilfreich.
Die Zahlen der platonischen Körper
platonischer Körper
Ecken der Flächen
Flächen an einer Ecke
Anzahl der Flächen
Anzahl der Kanten
Anzahl der Ecken
Ikosaeder
3
5
20
30
12
Oktaeder
3
4
8
12
6
Tetraeder
3
3
4
6
4
Würfel
4
3
6
12
8
Dodekaeder
5
3
12
30
20
Es sind drei Symmetrieen zu sehen:
Die Anzahlen der Kanten sind „30 – 12 – 6 – 12 – 30“, also symmetrisch.
Die Anzahlen der Flächen und die Anzahlen der Ecken sind genau gespiegelt: „20 – 8 – 4 – 6 – 12“ und „20 – 8 – 4 – 6 – 12“.
Die Anzahlen der Ecken der Flächen und der Flächen an den Ecken sind ebenfalls genau gespiegelt: „3 – 3 – 3 – 4 – 5“ und „5 – 4 – 3 – 3 – 3“.
Der Mathematiker Leonard Euler hat eine Formel für den Zusammenhang einiger dieser Größen gefunden, die auch für die meisten anderen geometrischen Körper gilt (aber z.B. nicht für für einen Ring). Diese Formel lautet:
Für die platonischen Körper wäre das:
Ikosaeder:
20
+
12
–
30
2
Oktaeder:
8
+
6
–
12
2
Tetraeder:
4
+
4
–
6
2
Würfel:
6
+
8
–
12
2
Dodekaeder:
12
+
20
–
30
2
Aus der Multiplikation der Ecken der Flächen mit der Anzahl der Flächen an einer Ecke ergibt sich eine einfache Symmetrie: „15 – 12 – 9 – 12 – 15“.
Die Zahlen dieser Symmetrie ergeben sich aus den drei Multiplikationen der „3·3“ „3·4“ und „3·5“ – also nicht viel Neues:
Ikosaeder:
3 · 5
15
Oktaeder:
3 · 4
12
Tetraeder:
3 · 3
9
Würfel:
4 · 3
12
Dodekaeder:
5 · 3
15
Es gibt noch eine weitere Regelmäßigkeit: Die Anzahl der Kanten läßt sich stets ohne Rest durch die Anzahl der Flächen an einer Ecke teilen.
Ikosaeder:
30
:
5
6
Oktaeder:
12
:
4
3
Tetraeder:
6
:
3
2
Würfel:
12
:
3
4
Dodekaeder:
30
:
3
10
Auch diese beiden Zahlen lassen sich ohne Rest teilen:
Ikosaeder:
30
:
3
10
Oktaeder:
12
:
3
4
Tetraeder:
6
:
3
2
Würfel:
12
:
4
3
Dodekaeder:
30
:
5
6
Diese Zahlenfolge ist genau umgekehrt wie zuvor bei der Division der Anzahl der Kanten durch die Anzahl der Flächen an einer Ecke.
Wenn man die Anzahl der Kanten durch die Anzahl der Flächen teilt, ergeben sich die folgenden Zahlen:
Ikosaeder:
30
:
20
1,5
Oktaeder:
12
:
8
1,5
Tetraeder:
6
:
4
1,5
Würfel:
12
:
6
2
Dodekaeder:
30
:
12
2,5
Diese drei Zahlen sind ja mittlerweile gut bekannt – wenn man sie mit „2“ mutipliziert, erhält man „3“, „4“ und „5“.
Bei den drei platonischen Körpern, deren Oberfläche aus Dreiecken besteht, ist der Quotient aus Kanten-Anzahl und Flächen-Anzahl immer „1,5“.
Der Quotient ist stets halb so groß wie die Anzahl der Seiten einer Fläche.
Da die Anzahlen der Kanten symmetrisch sind und die Anzahlen der Flächen spiegelsymmetrisch zu den Anzahlen der Ecken sind, erhält man bei der Division der Kanten-Anzahl durch die Ecken-Anzahl wieder dieselben Zahlen, nur in umgekehrter Reihenfolge.
Ikosaeder:
30
:
12
2,5
Oktaeder:
12
:
6
2
Tetraeder:
6
:
4
1,5
Würfel:
12
:
8
1,5
Dodekaeder:
30
:
20
1,5
Bei den drei platonischen Körpern, bei denen stets drei Flächen an einer Ecke zusammenstoßen, ist der Quotient aus Kanten-Anzahl und Ecken-Anzahl immer „1,5“.
Die Formel für die Berechung der Anzahl der Seiten ist ein wenig kompliziert und wird daher hier nicht hergeleitet:
4 · Anzahl der Flächen an einer Ecke
4 – (Anzahl der Flächen an einer Ecke – 2) · (Anzahl der Ecken einer Fläche – 2)
Ikosaeder:
4·5 : [4- (5-2)·(3-2)]
20 : [4 – 3·1]
20:1
20
Oktaeder:
4·4 : [4- (4-2)·(3-2)]
16 : [4 – 2·1]
16:2
8
Tetraeder:
4·3 : [4- (3-2)·(3-2)]
12 : [4 – 1·1]
12:3
4
Würfel:
4·3 : [4- (3-2)·(4-2)]
12 : [4 – 1·2]
12:2
6
Dodekaeder:
4·3 : [4- (3-2)·(5-2)]
12 : [4 – 1·3]
12:1
12
Als „Elemente“ in diesen Berechnungen kommen wieder nur die Zahlen von „1“ bis „5“ vor.
Die Anzahl der Ecken kann einfach berechnet werden:
Die Formel lautet folglich:
Die fünf Berechnungen lauten somit:
Ikosaeder:
20
·
3
:
5
12
Oktaeder:
8
·
3
:
4
6
Tetraeder:
4
·
3
:
3
4
Würfel:
6
·
4
:
3
8
Dodekaeder:
12
·
5
:
3
20
Auch die Anzahl der Kanten kann recht einfach berechnet werden:
Jede Fläche hat soviele Kanten wie Seiten.
Jede Kante stößt an zwei Flächen.
Also muß lautet die Formel:
Daraus ergeben sich die folgenden fünf Berechnungen:
Ikosaeder:
20
·
3
:
2
30
Oktaeder:
8
·
3
:
2
12
Tetraeder:
4
·
3
:
2
6
Würfel:
6
·
4
:
2
12
Dodekaeder:
12
·
5
:
2
30
Es gibt noch einen speziellen Zusammenhang zwischen den platonischen Körpern, der sich aus den Zahlensymmetrien ergibt.
Wenn ein Körper dieselbe Anzahl an Spitzen hat wie ein anderer Körper Seitenflächen hat, dann kann man den einen Körper so in den anderen setzen, daß jede Spitze des inneren Körpers jeweils die Mitte einer Seite des äußeren Körpers berührt. Dieser Zusammenhang wird Dualität genannt.
In diesem Zusammenhang wird zwischen dem Tetraeder (Spitze nach oben) und dem umgekehrten Tetraeder (Spitze nach unten) unterschieden – sie sind in diesem Zusammenhang zwei verschiedene platonische Körper.
Der Tetraeder ist zu sich selber dual:
Tetraeder:
4 Flächen / 4 Ecken
umgekehrter Tetraeder:
4 Flächen / 4 Ecken
Der Würfel ist zum Oktaeder dual:
Würfel:
6 Flächen / 8 Ecken
Oktaeder:
8 Flächen / 6 Ecken.
Der Ikosaeder ist zum Dodekaeder dual:
Ikosaeder:
20 Flächen / 12 Ecken
Dodekaeder:
12 Flächen / 20 Ecken.
Es gibt folglich 6 Möglichkeiten dieser Art von Kombinationen. Durch sie werden die sechs platonischen Körper zu drei Paaren zusammengefügt:
Tetraeder im umgekehrten Tetraeder
umgekehrter Tetraeder im Tetraeder
Würfel im Oktaeder
Oktaeder im Würfel
Ikosaeder im Dodekaeder
Dodekaeder im Ikosaeder
Alle Spitzen des inneren platonischen Körpers berühren jeweils die Mitte aller Flächen des äußeren platonischen Körpers.
Das sieht dann wie folgt aus:
Die Dualität der platonischen Körper
umgekehrter Tetraeder im Tetraeder
Tetraeder im umgekehrter Tetraeder
Würfel im Oktaeder
Oktaeder im Würfel
Ikosaeder im Dodekaeder
Dodekaeder im Ikosaeder
Diese drei Dualitäten sind auch auf der graphischen Anordnung der platonischen Körper symmetrisch angeordnet:
Die Dualität der platonischen Körper
Ecken der Flächen
3
4
5
Anzahl der Flächen, die sich an einer Ecke treffen
3
Tetraeder
dual zum umgekehrten Tetraeder
Würfel
dual zum Oktaeder
Dodekaeder
dual zum Ikoseder
4
Oktaeder
dual zum Würfel
5
Ikosaeder
dual zum Dodekaeder
Jenachdem, ob man einen platonischen Körper so betrachtet, daß man genau auf eine Fläche, eine Kante oder eine Ecke blickt, sieht er recht verschieden aus:
Die drei Ansichten der platonischen Körper
Fläche
Kante
Ecke
Tetraeder
Dreieck
Quadrat
Dreieck
Würfel
Quadrat
unregelmäßiges Viereck
Sechseck
Oktaeder
Sechseck
unregelmäßiges Viereck
Quadrat
Dodekaeder
Zehneck
unregelmäßiges Sechseck
unregelmäßiges Zwölfeck
Ikosaeder
Sechseck
unregelmäßiges Sechseck
Zehneck
Es fällt auf, wieviele ähnliche Umriß-Formen bei dieser Betrachtung erscheinen. Das liegt vor allem an der Dualität der platonischen Körper.
Dreieck:
Flächen-Ansicht des Tetraeders
Spitzen-Ansicht des Tetraeders
=> Der Tetraeder ist mit sich selber dual.
Quadrat:
Flächen-Ansicht des Würfels
Spitzen-Ansicht des Oktaeders
=> Oktaeder und Würfel sind dual zueinander.
Kanten-Ansicht des Tetraeders
regelmäßiges Sechseck:
Flächen-Ansicht des Oktaeders
Spitzen-Ansicht des Würfels
=> Oktaeder und Würfel sind dual zueinander.
Flächen-Ansicht des Ikosaeders
regelmäßiges Zehneck:
Flächen-Ansicht des Dodekaeders
Spitzen-Ansicht des Ikosaeders
=> Dodekaeder und Ikosaeder sind dual zueinander.
Jeder der fünf platonischen Körper läßt sich so in die vier anderen platonischen Körper einfügen, daß es eine vollkommne Symmetrie gibt. Dabei berühren die inneren Körper stets auf eine vollkommen regelmäßige Weise den äußeren Körper.
Die vier Möglichkeiten der Berühungs-Orte sind:
die Ecken,
die Mitte der Kanten,
die Mitte der Flächen und
die gesamte Fläche.
Die fünf platonischen Körper sind offenbar auf vielfältige Weise miteinander verwandt.
In der Tabelle auf der nächsten Seite steht oben der äußere Körper, links der innere Körper. Unter der Skizze steht, auf welche Weise der innere Körper den äußeren Körper berührt.
Zunächst einmal fällt auf, daß nur der Tetraeder auf regelmäßige Weise in sich selber eingefügt werden kann – der Tetraeder ist dual zu sich selber.
platonische Körper in platonischen Körpern
Ikosaeder
Oktaeder
Tetraeder
Würfel
Dodekaeder
Ikosaeder
Fläche an Flächenmitte
Fläche an Flächenmitte
Kante an Flächenmitte
Ecke an Flächenmitte
Oktaeder
Ecke an Kantenmitte
Fläche an Flächenmitte
Ecke an Flächenmitte
Ecke an Kantenmitte
Tetraeder
Ecke an Flächenmitte
Ecke an Flächenmitte
Ecke an Flächenmitte
Kante an Flächenmitte
Ecke an Ecke
Würfel
Ecke an Flächenmitte
Ecke an Flächenmitte
Ecke an Flächenmitte
Kante an Diagonale
Dodekaeder
Ecke an Flächenmitte
Ecke an Flächenmitte
Ecke an Flächenmitte
Kante an Flächenmitte
Welche Regelmäßigkeiten gibt es hier?