Das Buch der Mathematik: Band 2 E-Book

Simone Malacrida

• Herausgeber: Simone Malacrida
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Sprache: Deutsch

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend von den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.
Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht als auch aus der Sicht der Sicht und Definitionen jedes bestimmten Typs und auf praktischer Ebene angenommen, um mehr als 1.000 Übungen zu lösen.
Der Ansatz zur Mathematik wird durch progressives Wissen vergeben und die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge aufgedeckt, damit der Leser einen kontinuierlichen Weg in der Untersuchung dieser Wissenschaft aufbauen kann.
Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analyse und Geometrie verabreichte fortgeschrittene Mathematik und schließlich den Teil der Statistiken, Algebra und Logik.
Das Schreiben steht als All-inclusive-Arbeit in Bezug auf die Mathematik und lässt keinen Aspekt der vielen Facetten aus, die es übernehmen kann.

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

„Das Buch der Mathematik: Band 2“

MULTIVARIABLE REALE FUNKTIONEN

DIFFERENTIALGEOMETRIE

MULTIVARIABLE INTEGRALE BERECHNUNG

INTEGRALE VON OBERFLÄCHE UND VOLUMEN

TENSOREN UND TENSORIAL-MATHEMATIK

KOMPLEXE ANALYSE

FUNKTIONSANALYSE

VERWANDELN

VERTEILUNGEN

GEWÖHNLICHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN

PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

„Das Buch der Mathematik: Band 2“

SIMONE MALACRIDA

Der größte Teil der Mathematik wird in diesem Buch vorgestellt, beginnend mit den grundlegenden und elementaren Konzepten bis hin zu den komplexeren und fortgeschritteneren Bereichen.

Die Mathematik wird sowohl aus theoretischer Sicht angegangen, indem Theoreme und Definitionen jedes einzelnen Typs erläutert werden, als auch auf praktischer Ebene, indem mehr als 1.000 Aufgaben gelöst werden.

Die Herangehensweise an die Mathematik ist durch progressives Wissen gegeben, wobei die verschiedenen Kapitel in einer logischen Reihenfolge dargestellt werden, so dass der Leser einen kontinuierlichen Pfad im Studium dieser Wissenschaft aufbauen kann.

Das gesamte Buch ist in drei verschiedene Abschnitte unterteilt: elementare Mathematik, die durch Analysis und Geometrie gegebene fortgeschrittene Mathematik und schließlich der Teil über Statistik, Algebra und Logik.

Die Schrift versteht sich als umfassendes mathematisches Werk, das keinen Aspekt der vielen Facetten auslässt, die es annehmen kann.

Simone Malacrida (1977)

Ingenieur und Autor, hat in den Bereichen Forschung, Finanzen, Energiepolitik und Industrieanlagen gearbeitet.

ANALYTISCHER INDEX

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26 – MULTIVARIABLE REAL-FUNKTIONEN

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27 – DIFFERENZIALGEOMETRIE

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28 – M ULTIVARIABLE LE INTEGRALE BERECHNUNG

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29 – INTEGRALE S VON OBERFLÄCHE UND VOLUMEN

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30 – TENSOR S UND TENSORIAL-MATHEMATIK

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31 – KOMPLEXE ANALYSE

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32 – FUNKTIONSANALYSE

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33- TRANSFORMIEREN

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34- DISTRIBUTIONEN

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35 – GEWÖHNLICHE DIFFERENZGLEICHUNGEN

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36 – PARTIELLE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN

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26

MULTIVARIABLE REALE FUNKTIONEN

Einführung

Funktionen von reellen Variablen mit mehreren Variablen sind eine Erweiterung dessen, was für reelle Funktionen mit einer Variablen gesagt wurde.

Fast alle für Funktionen mit einer Variablen erwähnten Eigenschaften bleiben gültig (wie Injektivität, Surjektivität und Bijektivität), mit Ausnahme der Ordnungseigenschaft, die nicht definierbar ist.

Der Definitionsbereich einer multivariaten Funktion ist durch das kartesische Produkt der Definitionsbereiche gegeben, die für die einzelnen Variablen berechnet wurden.

Eine Pegelmenge oder Pegelkurve ist die Menge von Punkten, so dass:

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Operationen

Die topologische Definition des Grenzwerts ist die gleiche wie für Funktionen mit einer Variablen, die metrische Definition ändert sich wie folgt:

Die Grenze liegt vor, wenn ihr Wert nicht von der Richtung abhängt, in der sie berechnet wird.

Gleiches gilt für die Kontinuität.

Eine Funktion heißt getrennt in Bezug auf eine ihrer Variablen stetig, wenn sie als Funktion der einzelnen Variablen stetig ist und die anderen Konstanten beibehält.

Getrennte Kontinuität ist eine schwächere Bedingung als globale Kontinuität über alle Variablen hinweg.

Für eine Funktion aus mehreren Variablen gibt es jedoch unterschiedliche Ableitungskonzepte.

Wir nennen partielle Ableitung die Ableitung, die nur an einer der Variablen durchgeführt wird, wobei die Ableitung immer als Grenze eines inkrementellen Verhältnisses definiert wird.

Um die partielle Ableitung von der Gesamtableitung zu unterscheiden, wird das Symbol verwendet .

Partielle Ableitungen höherer Ordnung geben die Ordnung an den Exponenten dieses Symbols zurück.

Ein Punkt wird als einfach bezeichnet, wenn die ersten partiellen Ableitungen stetig und nicht Null sind, aber wenn eine der Ableitungen Null ist oder nicht existiert, wird der Punkt als singulär bezeichnet.

Partielle Differenzierbarkeit impliziert getrennte Stetigkeit.

Indem wir das Konzept der partiellen Ableitung von einem Pfad entlang der Koordinatenachsen auf einen beliebigen Pfad erweitern, haben wir die Richtungsableitung.

Sobald ein generischer Einheitsvektor definiert ist, ist die Richtungsableitung entlang dieses Vektors gegeben durch:

Die Richtungsableitung gibt die Änderungsrate der Funktion in Bezug auf die gegebene Richtung an.

Die Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen, die die gegenseitige Abhängigkeit der Variablen selbst berücksichtigt, wird als Gesamtableitung bezeichnet.

Zum Beispiel haben wir:

Differenzierbarkeit ist jedoch keine hinreichende Bedingung für Stetigkeit.

Eine hinreichende Bedingung ist stattdessen durch Differenzierbarkeit gegeben.

Eine Funktion mehrerer Variablen ist an einem Punkt in einer offenen Menge des n-dimensionalen euklidischen Raums R differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung L gibt, so dass die folgende Beziehung gilt:

Das gesamte Primzahldifferential ist durch das folgende Produkt gegeben:

Während die Gesamtableitung gegeben ist durch .

Die Funktion ist differenzierbar, wenn sie an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist.

Der totale Differentialsatz besagt, dass eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist, wenn alle partiellen Ableitungen in einer Umgebung des Punktes existieren und wenn diese partiellen Ableitungen stetig sind.

Ist die Anwendung auch stetig, so heißt die Funktion stetig differenzierbar.

Das gesamte Primzahldifferential kann auch ausgedrückt werden als:

Gesamtdifferentiale höherer Ordnung können für eine Funktion zweier Variablen wie folgt ausgedrückt werden:

Wir nennen gemischte Ableitungen die Ableitungen höherer Ordnung als die erste, die die Ableitung voneinander verschiedener Variablen vorsehen.

Für eine auf einer offenen Menge definierte Funktion zweier Variablen gilt, wenn sie kontinuierliche gemischte zweite Ableitungen zulässt, der Satz von Schwarz, wonach die Reihenfolge der Ableitung umgekehrt werden kann, ohne das Ergebnis zu ändern:

Wenn eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist, dann existieren alle an diesem Punkt berechneten partiellen Ableitungen und sind stetig.

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Jacobische, hessische und Nabla-Algebra

Die als Summe der ersten partiellen Ableitungen definierte lineare Abbildung ist eine Matrix m Zeilen n Spalten, die als Jacobi-Matrix bezeichnet wird und genau das Äquivalent der zuvor erwähnten linearen Abbildung L ist:

Der Umkehrfunktionssatz besagt, dass eine stetig differenzierbare Funktion genau dann invertierbar ist, wenn ihre Jacobi-Determinante ungleich Null ist.

Wenn eine Funktion mehrerer Variablen differenzierbar ist, dann existiert die Richtungsableitung und ist gleich dem Skalarprodukt zwischen dem Gradienten bezüglich der einzelnen Variablen und dem Versor selbst.

Die Richtungsableitung nimmt also einen maximalen Wert an, wenn der Gradient und der Einheitsvektor parallel und übereinstimmend sind, einen minimalen Wert, wenn sie parallel und diskordant sind, und einen Nullwert, wenn sie senkrecht stehen.

Ein Differential heißt exakt genau dann, wenn es integrierbar ist, dh wenn es als Funktion der zweiten Klasse der einfach zusammenhängenden Stetigkeit ausgedrückt werden kann (mit anderen Worten, der Satz von Schwarz muss gelten).

Wir definieren den Gradienten als die Größe, die, multipliziert mit dem Skalarprodukt mit einem beliebigen Vektor, die Richtungsableitung der Funktion in Bezug auf den Vektor ergibt.

Der Gradient ist ein Vektorfeld und bei einem kartesischen Bezugssystem die Summe der Produkte zwischen den ersten partiellen Ableitungen und Versen:

Wobei im zweiten Glied die Notation nach dem Nabla-Operator steht.

Dieser Differentialoperator ist wie folgt definiert:

Wir definieren die Divergenz eines kontinuierlichen und differenzierbaren Vektorfeldes als die Skalarfunktion, die durch das Skalarprodukt zwischen dem Operator nabla und dem Vektorfeld gegeben ist:

Wir definieren curl eines kontinuierlichen und differenzierbaren Vektorfeldes, eines Vektorfeldes, das durch das Vektorprodukt zwischen dem Operator nabla und dem Feld selbst gegeben ist:

Wir definieren Laplace das Quadrat des Nabla-Operators gleich zu:

Einige Eigenschaften des Nabla-Operators sind wie folgt:

Wenn alle zweiten partiellen Ableitungen existieren, definieren wir die Jacobi-Matrix des Gradienten als Hesse-Matrix der Funktion:

Wenn alle zweiten Ableitungen stetig sind, gilt der Satz von Schwarz und die Hesse-Matrix ist symmetrisch.

Wenn der Gradient der Funktion an einem Punkt Null ist, wird dieser Punkt als kritischer Punkt bezeichnet.

Wenn an dieser Stelle auch die Determinante der Hesse-Matrix Null ist, dann heißt der kritische Punkt entartet.

Wenn die Hesse-Matrix für einen nicht entarteten kritischen Punkt positiv definit ist, hat die Funktion an diesem Punkt ein lokales Minimum, wenn sie stattdessen negativ definit ist, gibt es ein lokales Maximum.

Wenn die Hesse-Matrix alle Eigenwerte ungleich Null hat und sie sowohl positive als auch negative Werte annehmen, wird dieser Punkt Sattelpunkt genannt.

In allen anderen Fällen, zB für positive oder negative semidefinite hessische Matrizen, kann nichts über das Vorhandensein stationärer Punkte gesagt werden.

Suche nach stationären Punkten und Methode der Lagrange-Multiplikatoren

Eine notwendige Voraussetzung für die Suche nach eingeschränkten Maxima und Minima ist das sogenannte Lagrange-Multiplikator-Verfahren.

Für eine zweidimensionale Funktion besagt diese Methode, dass die notwendige Bedingung für ein eingeschränktes Extremum die folgende ist:

Die Werte von sind genau die Lagrange-Multiplikatoren, da die Funktion h als die Lagrange-Funktion des Systems definiert werden kann.

Ein praktischer Anwendungsfall dieses Formalismus ist der der Lagrangeschen Mechanik, in der die Bewegungsgleichungen durch Auffinden der stationären Punkte eines Integrals, genannt Aktion, erhalten werden.

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Implizite Funktionen

Implizite Funktionen sind Funktionen vom Typ:

Für zweidimensionale Funktionen gilt das folgende Dini-Theorem.

Betrachtet man eine stetig differenzierbare Funktion, die auf einer offenen Menge definiert ist, und eine nicht leere Menge, in der die Funktion f(x,y) Null ist, dann gibt es einen Punkt in dieser Menge, an dem die folgende Beziehung gilt:

Wenn dieser Punkt nicht kritisch ist, dh die Ungleichung gilt:

Dann existiert eine Umgebung dieses Punktes, so dass die Menge, die durch den Schnittpunkt dieser Umgebung und der Menge gegeben ist, in der sich der unkritische Punkt befindet, den Graphen einer differenzierbaren Funktion darstellt.

Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass es eine einzige explizite Funktion des Typs y=y(x) oder x=x(y) gibt, die die beiden Unbekannten in Beziehung setzt.

Dieser Satz liefert also eine hinreichende Bedingung für die Explizierung der impliziten Funktionen.

In mehreren Dimensionen können die Funktionsvariablen wie folgt in zwei Blöcke unterteilt werden, einen bis zum n-ten Grad und einen bis zum m-ten Grad:

Die in der n+m-dimensionalen offenen Menge berechnete Jacobi-Matrix kann in zwei Blöcke unterteilt werden, was an die Aufteilung der Variablen erinnert:

Angenommen, X ist invertierbar.

Der implizite Funktionssatz besagt, dass es eine eindeutige Explizierung der Funktion f(x,y)=0 gibt. Diese Funktion g(y)=x ist stetig differenzierbar und es gilt:

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Übungen

Übung 1

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die partiellen Ableitungen der folgenden Funktion:

Die Domäne wird durch den Nenner ungleich Null angegeben, also:

Die partiellen Ableitungen sind einfach:

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Übung 2

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die partiellen Ableitungen der folgenden Funktion:

Der Definitionsbereich ist durch den von Null verschiedenen Nenner und das von 90° verschiedene Tangentenargument und seine Vielfachen gegeben, daher:

Die partiellen Ableitungen sind einfach:

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Übung 3

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die partiellen Ableitungen der folgenden Funktion:

Der Definitionsbereich ergibt sich aus dem Nenner ungleich Null und dem Argument des Logarithmus größer als Null, also:

Die partiellen Ableitungen sind einfach:

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Übung 4

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und die partiellen Ableitungen der folgenden Funktion:

Der Definitionsbereich ergibt sich aus dem Nenner ungleich Null und der Wurzel größer oder gleich Null, also:

Die partiellen Ableitungen sind einfach:

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Übung 5

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion zweier Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse.

Die gegebene Menge ist kompakt.

Nach dem Satz von Weierstrass gibt es ein Maximum und ein Minimum der Funktion in der Menge.

Wir verwenden die Lagrange-Multiplikatormethode, um diese Punkte zu finden.

Ort:

Wir suchen die stationären Punkte der Funktion:

Das bedeutet, dass:

Oder:

Erweiterung der Konten, die wir haben:

Die stationären Punkte dieser Funktion sind daher:

Zurück zur Startfunktion, die stationären Punkte sind:

Da Sie haben:

Der erste Punkt ist das absolute Maximum, der zweite das absolute Minimum.

––––––––

Übung 6

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion zweier Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse.

Die gegebene Menge ist kompakt.

Nach dem Satz von Weierstrass gibt es ein Maximum und ein Minimum der Funktion in der Menge.

Wir haben:

Ort:

Es ist zu sehen, dass:

Das bedeutet, dass:

Die ersten beiden Punkte sind also das absolute Minimum, während die zweiten beiden das absolute Maximum sind.

––––––––

Übung 7

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion zweier Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse.

Die gegebene Menge ist kompakt.

Nach dem Satz von Weierstrass gibt es ein Maximum und ein Minimum der Funktion in der Menge.

Wir verwenden die Lagrange-Multiplikatormethode, um diese Punkte zu finden.

Ort:

Wir suchen die stationären Punkte der Funktion:

Das bedeutet, dass:

Oder:

Erweiterung der Konten, die wir haben:

Die stationären Punkte dieser Funktion sind daher:

Zurück zur Startfunktion, die stationären Punkte sind:

Da Sie haben:

Der erste Punkt ist das absolute Minimum, der zweite das absolute Maximum.

Übung 8

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion zweier Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse.

Die gegebene Menge ist kompakt (überprüfen Sie, ob sie abgeschlossen und beschränkt ist, indem Sie die topologischen Eigenschaften der Komplementarität verwenden).

Nach dem Satz von Weierstrass gibt es ein Maximum und ein Minimum der Funktion in der Menge.

Wir verwenden die Lagrange-Multiplikatormethode, um diese Punkte zu finden.

Wir suchen die stationären Punkte der Funktion:

Das bedeutet, dass:

Oder:

Erweiterung der Konten, die wir haben:

Die stationären Punkte dieser Funktion sind daher:

Zurück zur Startfunktion, die stationären Punkte sind:

Da Sie haben:

Die ersten beiden Punkte sind das Allzeittief, während die zweiten beiden das Allzeithoch sind.

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Übung 9

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion zweier Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse.

Die gegebene Menge ist kompakt.

Nach dem Satz von Weierstrass gibt es ein Maximum und ein Minimum der Funktion in der Menge.

Wir suchen zunächst die inneren Extrempunkte von M:

Die Extrempunkte sind unter den stationären zu finden, also:

Also wir haben das:

Der einzige interne stationäre Punkt ist daher:

Um festzustellen, ob es sich um Maximum oder Minimum oder Sattel handelt, berechnen wir die Hesse-Matrix:

Dann ist die hessische Matrix am Punkt gegeben durch:

Der Punkt ist also ein lokales Minimum und die Funktion ist an diesem Punkt gültig:

Wir suchen nun die stationären Punkte auf der Kante:

Wir haben das:

Ort:

Die Extrempunkte sind zwischen den stationären Punkten und den Extremwerten des Intervalls [-1,1] zu finden, wo diese neue Funktion definiert ist.

Seit:

Daraus folgt, dass ein stationärer Punkt ist:

Wenn wir das Vorzeichen der Ableitung studieren, sehen wir, dass dieser Punkt ein Minimum ist. Es ist ein lokales Minimum. Am Ende des Intervalls haben wir:

x=-1 ist also ein absoluter Maximalpunkt, während x=1 ein lokaler Maximalpunkt ist. Vergleicht man die Werte der Minima, so stellt man fest:

Es ist ein absolutes Minimum.

Übung 10

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion zweier Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse.

Die gegebene Menge ist kompakt.

Nach dem Satz von Weierstrass gibt es ein Maximum und ein Minimum der Funktion in der Menge.

Wir suchen zunächst die inneren Extrempunkte von M:

Die Extrempunkte sind unter den stationären zu finden, also:

Also wir haben das:

Der einzige interne stationäre Punkt ist daher:

Um festzustellen, ob es sich um Maximum oder Minimum oder Sattel handelt, berechnen wir die Hesse-Matrix:

Dann ist die hessische Matrix am Punkt gegeben durch:

Der Punkt ist also ein lokales Minimum und die Funktion ist an diesem Punkt gültig:

Wir suchen nun die stationären Punkte auf der Kante:

Wir haben das:

Ort:

Die Extrempunkte sind zwischen den stationären Punkten und den Extrema des Intervalls [-2,2] zu finden, in dem diese neue Funktion definiert ist. Seit:

Daraus folgt, dass es keine stationären Punkte gibt.

Also ist (-2,0) ein absoluter Minimalpunkt für f auf der Kante, während (2,0) ein absoluter Maximalpunkt für f auf der Kante ist. Sein:

Wir sehen, dass (1,0) der Punkt des absoluten Minimums für f über der ganzen Menge M ist.

Übung 11

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion von drei Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse.

Die gegebene Menge ist kompakt.

Nach dem Satz von Weierstrass gibt es ein Maximum und ein Minimum der Funktion in der Menge.

Wir suchen zunächst die inneren Extrempunkte von M:

Die Extrempunkte sind unter den stationären zu finden, also:

Also wir haben das:

Deshalb:

Die internen stationären Punkte sind:

Diese Punkte sind das absolute Minimum, da:

Das beobachten wir auch bei den Punkten

Sie sind stationär und vom absoluten Minimum, aber sie sind nicht M-intern.

Wir suchen nun die stationären Punkte auf der Kante:

Wir fahren mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren fort.

Ort:

Wir haben das:

Die stationären Punkte sind äquivalent zum Lösen von:

Bei den Berechnungen haben wir:

Die stationären Punkte dieser Funktion sind:

Die stationären Punkte von f sind also:

Die ersteren sind die Punkte des absoluten Maximums, während wir die letzteren als die des absoluten Minimums finden.

––––––––

Übung 12

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion von drei Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse

.

Die Menge M ist abgeschlossen und unbeschränkt, daher kann der Satz von Weierstraß nicht angewendet werden.

Trotzdem können wir mit der Definition von limit schreiben:

Die Funktion f ist symmetrisch in M bezüglich der xy-Ebene, dh:

Mit anderen Worten, wenn wir beweisen, dass es ein Maximum gibt, muss es auch ein Minimum geben.

Unter Verwendung eines beliebigen R-Werts kann Folgendes geschrieben werden:

Der Schnittpunkt zwischen M und einer solchen Menge:

Es ist eine kompakte und nicht leere Menge und enthält auch den fraglichen Punkt.

In dieser Menge kann der Satz von Weierstrass angewendet werden, für den die Funktion ein Maximum und ein Minimum zulässt.

Wir suchen zunächst die inneren Extrempunkte von M:

Die Extrempunkte sind unter den stationären zu finden, also:

Also wir haben das:

Deshalb:

Die internen stationären Punkte sind:

Das beobachten wir auch bei den Punkten

Sie sind stationär, aber nicht M-intern.

Alle diese Punkte sind weder Minimum noch Maximum, tatsächlich:

Aber es gilt auch:

Wir suchen nun die stationären Punkte auf der Kante:

Wir fahren mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren fort.

Ort:

Wir haben das:

Die stationären Punkte sind äquivalent zum Lösen von:

Bei den Berechnungen haben wir:

Die stationären Punkte dieser Funktion sind:

Die stationären Punkte von f sind also:

Wir haben das:

Daher sind die absoluten Maxima:

Während das absolute Minimum:

––––––––

Übung 13

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion von drei Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse

Die Menge M ist kompakt.

Wir können den Satz von Weierstrass anwenden, dass die Funktion ein Maximum und ein Minimum zulässt.

Wir suchen zunächst die inneren Extrempunkte von M:

Die Extrempunkte sind unter den stationären zu finden, also:

Also wir haben das:

Die Funktion lässt keine stationären Punkte zu, also auch keine Maxima und Minima.

Wir suchen nun die stationären Punkte auf der Kante:

Wir fahren mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren fort.

Ort:

Wir haben das:

Die stationären Punkte sind äquivalent zum Lösen von:

Bei den Berechnungen haben wir:

Die stationären Punkte dieser Funktion sind:

Die stationären Punkte von f sind also:

Wir haben das:

Daher sind die absoluten Maxima:

Während das absolute Minimum:

Zu den Punkten:

Wir stellen fest, dass basierend auf der Wahl der Nachbarschaften die beiden folgenden Beziehungen gelten:

Und deshalb sind diese Punkte weder Maximum noch Minimum.

––––––––

Übung 14

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion von drei Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse

Die Menge M ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.

Wir können den Satz von Weierstrass anwenden, dass die Funktion ein Maximum und ein Minimum zulässt.

Wir fahren mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren fort.

Ort:

Wir haben das:

Die stationären Punkte sind äquivalent zum Lösen von:

Bei den Berechnungen haben wir:

Die stationären Punkte dieser Funktion sind:

Die stationären Punkte von f sind also:

Wir haben das:

Daher sind die absoluten Maxima:

Während das absolute Minimum:

Zu den Punkten:

Wir stellen fest, dass basierend auf der Wahl der Nachbarschaften die beiden folgenden Beziehungen gelten:

Und deshalb sind diese Punkte weder Maximum noch Minimum.

––––––––

Übung 15

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion von drei Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse

Die Menge M ist abgeschlossen und unbeschränkt, daher kann der Satz von Weierstraß nicht angewendet werden.

Trotzdem können wir mit der Definition von limit schreiben:

Die Funktion f ist symmetrisch in M bezüglich der Ebenen xy=1 und x+y=1, also:

Mit anderen Worten, wenn wir beweisen, dass es ein Maximum gibt, muss es auch ein Minimum geben.

Unter Verwendung eines beliebigen R-Werts kann Folgendes geschrieben werden:

Der Schnittpunkt zwischen M und einer solchen Menge:

Es ist eine kompakte und nicht leere Menge und enthält auch den fraglichen Punkt.

In dieser Menge kann der Satz von Weierstrass angewendet werden, für den die Funktion ein Maximum und ein Minimum zulässt.

Wir suchen zunächst die inneren Extrempunkte von M:

Die Extrempunkte sind unter den stationären zu finden, also:

Also wir haben das:

Deshalb:

Die internen stationären Punkte sind:

Alle diese Punkte sind weder Minimum noch Maximum, tatsächlich:

Aber es gilt auch:

Wir suchen nun die stationären Punkte auf der Kante:

Wir fahren mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren fort.

Ort:

Wir haben das:

Die stationären Punkte sind äquivalent zum Lösen von:

Bei den Berechnungen haben wir:

Die stationären Punkte dieser Funktion sind:

Die stationären Punkte von f sind also:

Wir haben das:

Daher sind die absoluten Maxima:

Während das absolute Minimum:

––––––––

Übung 16

Bestimmen Sie die lokalen und absoluten Minimum- und Maximumpunkte für die folgende Funktion von drei Variablen auf der angegebenen Menge:

Die Funktion ist Klasse

Die Menge M ist abgeschlossen und unbeschränkt, daher kann der Satz von Weierstraß nicht angewendet werden.

Trotzdem können wir mit der Definition von limit schreiben:

Die Funktion f ist symmetrisch in M bezüglich der Ebenen xy=0 und x+y=0, also:

Mit anderen Worten, wenn wir beweisen, dass es ein Maximum gibt, muss es auch ein Minimum geben.

Unter Verwendung eines beliebigen R-Werts kann Folgendes geschrieben werden:

Der Schnittpunkt zwischen M und einer solchen Menge:

Es ist eine kompakte und nicht leere Menge und enthält auch den fraglichen Punkt.

In dieser Menge kann der Satz von Weierstrass angewendet werden, für den die Funktion ein Maximum und ein Minimum zulässt.

Wir suchen zunächst die inneren Extrempunkte von M:

Die Extrempunkte sind unter den stationären zu finden, also:

Also wir haben das:

Die internen stationären Punkte sind:

Alle diese Punkte sind weder Minimum noch Maximum, tatsächlich:

Aber es gilt auch:

Wir suchen nun die stationären Punkte auf der Kante:

Wir fahren mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren fort. Ort:

Wir haben das:

Die stationären Punkte sind äquivalent zum Lösen von:

Bei den Berechnungen haben wir:

Die stationären Punkte dieser Funktion sind:

Die stationären Punkte von f sind also:

Wir haben das:

Daher sind die absoluten Maxima:

Während das absolute Minimum:

27

DIFFERENTIALGEOMETRIE

Einführung

Die Differentialgeometrie befasst sich mit der Untersuchung geometrischer Objekte durch mathematische Analyse.

Der Differentialgeometrie liegt der Begriff der differenzierbaren Mannigfaltigkeit zugrunde, der sowohl die Konzepte von Kurve und Fläche in einem Raum beliebiger Dimension als auch den Ansatz topologischer Mannigfaltigkeiten verallgemeinert.

Die differenzierbaren Mannigfaltigkeiten stellen auch den Zusammenhang mit der differentiellen Topologie dar, denn sie sind topologische Räume und lokal euklidische Räume, die durch differenzierbare Funktionen miteinander verbunden sind.

Betrachtet man eine topologische Varietät, so können die offenen Mengen, aus denen seine Hülle besteht, durch eine Menge von Homöomorphismen, denen wir den Namen Atlas geben, mit einer offenen Menge des euklidischen Raums in Beziehung gesetzt werden (während der einzelne Homöomorphismus Karte genannt wird).

Die Funktionszusammenstellung, die aus einer Karte und ihrer Umkehrfunktion besteht, wird als Übergangsfunktion bezeichnet.

Eine topologische Mannigfaltigkeit ist differenzierbar, wenn die Übergangsfunktion differenzierbar ist.

Eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist eine Teilmenge, die als Nullstelle einer differenzierbaren Funktion beschrieben wird.

Im Fall von Untermannigfaltigkeiten mit einer Kodomäne gleich der Menge der reellen Zahlen sprechen wir von einer Hyperfläche, und die Bedingung der Differenzierbarkeit entspricht der Forderung, dass der Gradient der Untermannigfaltigkeit auf jeder Abbildung überall von Null verschieden ist.

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Operationen

Wir definieren das äußere Produkt in einem Vektorraum, ein Produkt aus assoziativen und bilinearen Vektoren:

sind linear abhängig

Eine auf einer offenen Menge definierte Differentialform wird durch den folgenden Ausdruck angegeben:

Mit Funktionen, die durch differenzierbare Funktionen gegeben sind.

Die Form soll von der Ordnung k sein.

Eine Form nullter Ordnung ist eine differenzierbare Funktion, die auf dem Referenzsatz definiert ist.

Zwei Formen der Ordnung k können mit einem Skalar addiert oder multipliziert werden, wodurch ein Vektorraum entsteht.