- Tours de magie et assemblages numériques jubilatoires E-Book

Dominique Souder

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Collection Dominique Souder : Les références en magie mathématique
• Sprache: Französisch

Seitenzahl: 149

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Après 40 ans de réflexion et de travail pour essayer de relier les thèmes mathématiques des programmes scolaires avec une présentation sous forme de tours de magie mystérieux et excitants, susceptibles de motiver les élèves à s'investir davantage en maths, et 10 livres format papier édités, Dominique Souder décline une collection de 8 fascicules au format numérique consacrés aux thèmes de magie mathématique les plus importants. Dans ce tome 8 fêtant des assemblages numériques jubilatoires, vous verrez que l'on peut jouer avec les nombres pour célébrer des anniversaires, des millésimes, et construire des objets mathématiques originaux, étonnats, à propos d'u=invariants choisis. Tout est expliqué, reproductible à partir de 13 ans. Vous allez vous régaler !

Leseprobe

Tours de magie et assemblages numériques jubilatoires

par Dominique Souder

Livre numérique

© 2023 Dominique Souder

Tous droits .

Editions BOD, format Epub

Contact : [email protected]

ISBN : 9782322472116

Remerciements et amitiés :

A Alexandre Sarwa pour la conception de la couverture,

à Alain Schumacher pour la conversion du livre en ePub.

Table des matières

Introduction

Pour commencer à s’étonner, et jubiler…

Carrés gréco-latins et carrés semi-magiques

Carrément magique

Magiques certes, mais sans être carrés !

Mathématiques festives…

Fêtons les anniversaires de plusieurs façons originales !

Cubes numériques

Millésimes…

Bibliographie de Dominique SOUDER

Oui on peut s’amuser avec les mathématiques, prendre plaisir à manipuler les nombres, éprouver le sentiment du beau devant des assemblages de chiffres astucieux ou harmonieux…

L’adjectif jubilatoiresignifie « qui inspire, exprime, traduit la jubilation », c’est-à-dire une joie expansive, un contentement extrême et qui ne peut être contenu, l'individu se trouvant débordé par l'émotion qui le traverse.

Un jubilé est une fête marquant un intervalle qui a évolué dans l’histoire et selon les civilisations (100 ans, 50 ans, 25 ans, …) et c’est devenu aussi l'anniversaire joyeux d'un événement dont les effets se prolongent dans le temps (règne, mariage, etc.).

Dans l'Égypte antique, un « jubilé » était fêté à partir de la 30e année de règne d'un pharaon. Ensuite, ces fêtes, aux vertus régénératrices, étaient célébrées avec un intervalle de quelques années en fonction de la situation politique du pays et de l'état de santé du pharaon.

Le terme est rendu en latin par jubilæus (de jubilare, se réjouir) dans la Vulgate de Jérôme de Stridon. Cette année-là est une année de libération générale, les terres aliénées ou gagées devaient être rendues, les dettes remises et les esclaves libérés.

Dans un contexte sportif, notamment au football, un « jubilé » correspond à une célébration pour rendre honneur à un joueur ayant longtemps rendu service à une équipe.

Nous voulons dans cet ouvrage rendre hommage aux mathématiques en les mettant en valeur lors de circonstances festives de notre vie quotidienne, par exemple la célébration d’anniversaires, de changements d’année, de nouveaux millésimes…

Et nous voulons faire des tours de magie basés sur des assemblages numériques excitant notre curiosité et touchant au merveilleux… et quand on s’aperçoit qu’il y a quelque chose à comprendre, et qu’en plus on comprend, alors, c’est vraiment jubilatoire !

Nous vous souhaitons autant de plaisir dans la lecture de ce livre que nous en avons eu en l’élaborant.

Pour commencer à s’étonner, et jubiler…

Tour n° 1 : Le carton magique aux 10 pions de l’année 2021

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Déroulement 

Le magicien tend le carton ci-dessus à un spectateur et lui demande de bien vouloir…

Placer dessus dix pions respectant les consignes suivantes : un seul pion par ligne, un seul pion par colonne.

Calculer la somme des dix nombres écrits sous les dix pions.

Combien trouve-t-on ?

Tout ceci va prendre un certain temps, et le magicien, secourable, peut prêter une calculatrice pour l’addition finale, qui donnera toujours le total 2021, ce qui justifie l’appellation c’est le tour de l’année s’il est présenté à la fête des écoles en 2021 !

Par exemple avec la disposition suivante des 10 pions :

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Pour toute disposition correcte il trouvera le total de 2021.

Explication

Pour fabriquer ce carton 10×10 dont le total magique est 2021 il faut d’abord choisir 20 nombres dont le total sera 2021, et les disposer sur les bords rouges de la table 10×10 : on met dix d’entre eux en abscisse et dix d’entre eux en ordonnées, avant d’effectuer les cent additions. On n’oubliera pas de découper les bords rouges qui ont servi à la fabrication, avant de présenter le matériel pour faire le tour.

+

93

94

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98

100

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104

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94

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Ci-dessus vous voyez une des présentations possibles, à partir des 20 nombres suivants (dont le total est 2021) :

Horizontalement : 93, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106, 108, 110.

Verticalement : 94, 95, 97, 99, 100, 101, 103, 105, 107, 109.

Le spectateur trouvera donc toujours 2021 avec ce carton, quel que soit son choix respectant les consignes,^ pourquoi ?

Chaque pion est égal au total de deux nombres rouges et le total des 10 pions est égal au total de 20 nombres rouges, mais comme il n’y a qu’un pion par ligne ou par colonne chaque case rouge ne peut être utilisée qu’une seule fois. Le total des 10 pions est exactement celui des 20 cases rouges, donc si on a rempli ces cases rouges pour avoir un total de 2021, le total des 10 pions sera lui aussi 2021.

Vous pouvez adapter le tour pour n’importe quel total autre que 2021, il suffit d’inventer les cases rouges dont le total sera votre nombre souhaité puis de compléter la table d’addition.

+

3

5

6

7

1

4

6

7

8

4

6

7

8

2

5

7

8

9

5

7

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4

7

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10

11

7

9

10

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8

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11

13

14

15

Les professeurs de maths trouveront une application dans mon livre paru chez SOS Éducation, niveau lycée, pour renouveler des exercices d’entraînement à des additions d’angles modulo 2π, à des additions de logarithmes, des additions de nombres complexes…

On y verra aussi qu’on peut faire ce genre de travail avec d’autres opérations que l’addition (à condition d’être commutatives et associatives, comme la multiplication) et s’entraîner à multiplier des puissances, des exponentielles, des nombres complexes, etc.

Voici ainsi un autre tour pour célébrer par exemple ci-dessous l’année 2024.

Tour n° 2 :La table multiplicative cachée de Pythagore

x

1

2

23

1

1

2

23

1

2

23

4

4

8

92

4

8

92

11

11

22

253

11

22

253

Explication

Voilà ! Ces assemblages de nombres conduisant à un invariant de façon inattendue ont quelque chose de jubilatoire quand on les fabrique. Vous verrez que vous serez capable d’en réaliser vous aussi, grâce aux nombreux exemples et méthodes associées que nous vous proposerons… Et si vous les proposez dans des circonstances agréables de la vie quotidienne (pour fêter des anniversaires par exemple), vous rendrez grand service à la promotion des mathématiques dans le grand public !

Carrés gréco-latins et carrés semi-magiques

A propos de carré gréco-latin…

Un carré latin d’ordre n est un tableau carré à n lignes et n colonnes composé avec n éléments (lettres, nombres, figures géométriques…) disposés de façon à ce qu'ils n'apparaissent qu'une fois et une seule sur chaque ligne et dans chaque colonne. Les éléments permutent entre les lignes et entre les colonnes; chaque élément est écrit n fois dans le tableau.

Les grilles de Sudoku sont des carrés latins.

Exemple

Le carré latin d’ordre 4 obtenu avec les quatre chiffres arabes de 1 à 4 :

1

2

3

4

4

3

2

1

2

1

4

3

3

4

1

2

On obtient un carré latin d’ordre 4:

A

B

C

D

D

C

B

A

B

A

D

C

C

D

A

B

On obtient un carré latin de lettres grecques :

α

β

γ

δ

δ

γ

β

α

β

α

δ

γ

γ

δ

α

β

Mais on peut en imaginer d’autres, par exemple :

α

β

γ

δ

γ

δ

α

β

δ

γ

β

α

β

α

δ

γ

Deux carrés latins à n lignes et n colonnes, chacun constitué avec n symboles, sont qualifiés d'orthogonaux si leur superposition compose un nouveau carré constitué avec 2n symboles comportant les n×n couples différents possibles. Ce nouveau carré est alors appelé "gréco-latin".

Si on superpose le carré latin de lettres latines ci-dessus et le premier carré latin de lettres grecques ci-dessus on obtient :

Aα

Bβ

Cγ

Dδ

Dδ

Cγ

Bβ

Aα

Bβ

Aα

Dδ

Cγ

Cγ

Dδ

Aα

Bβ

Ce n’est pas un carré gréco-latin. On y retrouve quatre couples différents Aα, Bβ, Cγ, Dδ (chacun écrit quatre fois) et non 16 couples différents. C’est un carré latin mais non gréco-latin.

Mais si on superpose le carré latin de lettres latines ci-dessus et le deuxième carré latin de lettres grecques ci-dessus on obtient :

Aα

Bβ

Cγ

Dδ

Dγ

Cδ

Bα

Aβ

Bδ

Aγ

Dβ

Cα

Cβ

Dα

Aδ

Bγ

C’est un carré gréco-latin car les 16 couples sont différents.

Carré latin diagonal

Sur les grandes diagonales du carré ci-dessous les quatre éléments ne sont pas différents, contrairement à ce qui se passe sur chaque ligne et chaque colonne…

1

2

3

4

2

1

4

3

3

4

2

1

4

3

1

2

Il s’agit d’un carré latin, mais non diagonal.

Cependant sur les quatre premiers carrés latins du début de ce chapitre (le Sudoku, les carrés de lettres latines ou grecques) on trouvait sur les grandes diagonales tous les éléments différents. C’étaient des carrés latins diagonaux.

Différences avec la notion de carré magique

Avec n² nombres on peut fabriquer un carré magique d’ordre n.

Un carré de n×n nombres est magique quand la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne, et de chaque diagonale donne le même total.

On a vu qu’un Sudoku était un carré latin.

Le Sudoku écrit en début d’article est un carré latin diagonal, c’est aussi un carré magique, de somme 10.

Mais le carré de chiffres juste ci-dessus, qui est latin mais non diagonal, n’est pas un carré magique à cause de ses diagonales. Remarquons que ce n’est pas non plus un Sudoku : on ne peut pas faire de régionnement par quarts de carré des quatre valeurs.

Toutefois on peut avoir un Sudoku qui ne soit pas un carré magique, voici un exemple, sous forme d’un Sudoku carré latin non diagonal :

1

2

3

4

3

4

1

2

4

1

2

3

2

3

4

1

Voici un carré gréco-latin d’ordre 10 fabriqué avec dix lettres latines et les nombres de 1 à 10 :

Un carré gréco latin 7×7 

Le qualificatif « gréco-latin » d'un carré peut être observé par exemple dans le tableau 7×7 ci-dessous :

α B

η C

ζ D

ε E

δ F

γ G

β A

ζ G

ε A

δ B

γ C

β D

α E

η F

ε F

δ G

γ A

β B

α C

η D

ζ E

δ E

γ F

β G

α A

η B

ζ C

ε D

β C

α D

η E

ζ F

ε G

δ A

γ B

γ D

β E

α F

η G

ζ A

ε B

δ C

η A

ζ B

ε C

δ D

γ E

β F

α G

Les sept lettres grecques α β γ δ ε ζ η sont utilisées, ainsi que les sept lettres latines A B C D E F G. Dans chaque case on trouve une lettre grecque et une lettre latine, et les 49 cases sont différentes; on ne trouve qu’une seule fois sur chaque ligne et chaque colonne chaque lettre grecque et chaque lettre latine.

Voici une application sous forme de tour de magie numérique…

Tour n° 3

Matériel

Un carton reproduisant le carré ci-dessous…

21

37

46

55

64

73

12

76

15

24

33

42

51

67

65

74

13

22

31

47

56

54

63

72

11

27

36

45

32

41

57

66

75

14

23

43

52

61

77

16

25

34

17

26

35

44

53

62

71

Déroulement

Le magicien se place de façon à ce qu’il ne puisse pas voir ce tableau.

Le magicien donne une pièce de monnaie au spectateur et lui demande de la lancer :

si le résultat est pile le spectateur utilisera une ligne horizontale du tableau

si le résultat est face le spectateur utilisera une colonne verticale du tableau.

Le magicien demande au spectateur de penser à son chiffre préféré de 1 à 7 (sans le communiquer au magicien). Cette valeur donne le numéro de la ligne ou de la colonne auquel le spectateur va s’intéresser.

Le magicien demande au spectateur d’entourer, sur la ligne ou la colonne que le sort vient de désigner, un nombre. Il tend au spectateur une calculatrice et lui demande d’ajouter tous les nombres sauf celui entouré dans la colonne ou la ligne en question.

Le spectateur dit son total, le magicien donne alors la valeur du nombre entouré.

Explication

Le tableau est rempli de nombres dont l’écriture nécessite deux chiffres : celui des unités et celui des dizaines. Sur chaque ligne et sur chaque colonne chaque chiffre de 1 à 7 ne figure qu’une fois à la place des unités, et ne figure qu’une fois à la place des dizaines.

(Il s’agit d’un carré gréco-latin 7×7 pour les deux caractéristiques « chiffre des dizaines, chiffre des unités »)

Quand le spectateur annonce son total de sept nombres, soit T, le magicien calcule de tête (308−T) et trouve ainsi le nombre manquant.

Exemples 

Le spectateur a obtenu « face », donc il utilisera une colonne, il aime le chiffre 7, il regarde la septième colonne à partir de la gauche. Il souhaite entourer le nombre 34. Il calcule la somme : 12+67+56+45+23+71 et trouve 274.

Le magicien calcule (308−274) et trouve 34.

Le spectateur a obtenu « pile » donc il utilisera une ligne, il aime le chiffre 2, il regarde la deuxième ligne à partir du haut. Il a souhaité entourer le nombre 33. Il calcule la somme : 76+15+24+42+51+67 et trouve 275.

Le magicien calcule (308−275) et trouve 33.

A noter 

Pour le magicien la soustraction ne sera jamais difficile à faire dans la colonne des unités (il n’y aura jamais de retenue). Le chiffre des unités de 308 est 8, et le nombre à trouver finit par une valeur de 1 à 7 ce qui fait que le total des six nombres finit toujours par un nombre de 7 à 1, ce qui facilite la soustraction.

Variante 

Si vous n’avez pas de calculatrice sous la main, et si vous êtes inquiet de la capacité du spectateur à faire des additions justes, voici une parade à cette situation désagréable.

Une fois un nombre entouré par le spectateur, au lieu de faire calculer le total des sept autres, le magicien peut faire énoncer ces sept nombres (même dans un ordre farfelu), et déclarant qu’il a une mémoire exceptionnelle, trouver le nombre entouré. Pour cela le magicien doit noter les sept nombres énoncés et repérer dans les sept unités proposées quelle est celle qui manque, puis repérer dans les sept chiffres des dizaines proposés quel est le chiffre qui manque. S’il manque 3 comme unité et 2 comme dizaine, le nombre entouré est 23.

Voici maintenant, et de plus en plus fort…

Un carré arabo-gréco-latin

Observez la structure suivante, en 4×4 cases, d’un carré arabo-gréco-latin : on utilise quatre symboles dans chacun des alphabets latin, grec, et les chiffres arabes, et l’on vérifie que chaque ligne, chaque colonne utilise une et une seule fois chacun des douze symboles :

aα1 

bβ2

cγ3

dδ4

bγ4

aδ3 

dα2

cβ1

cδ2

dγ1 

aβ4

bα3

dβ3

cα4

bδ1

aγ2

Maintenant on peut remplacer les lettres latines et les lettres grecques par les chiffres 1, 2, 3, 4. En variant les façons de remplacer, on peut bâtir des tableaux différents comme les quatre ci-dessous… et imaginer un tour de magie…

Tour n° 4

Déroulement du tour 

Le magicien, éloigné d’un carton présentant les 4 tableaux ci-dessus, s’adresse au spectateur…

Choisissez un des quatre tableaux, puis une ligne ou une colonne, puis un nombre à l’intérieur. Dites-moi les 3 autres nombres de cette ligne ou colonne, je retrouverai votre nombre choisi.

Variante 

Choisissez un des tableaux, puis une ligne ou une colonne, puis un nombre à l’intérieur. Donnez-moi le total des 3 autres nombres de votre ligne ou colonne du tableau choisi, je retrouverai votre nombre.

Solution