- Tours de magie et congruences E-Book

Dominique Souder

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Collection Dominique Souder : Les références en magie mathématique
• Sprache: Französisch

Seitenzahl: 180

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Dans ce tome 7 de la collection Dominique Souder de tours de magie mathématique, consacré aux congruences, vous verrez que diverses propriétés de celles-ci permettent de réaliser des effets merveilleux et magiques pour s'amuser en famille ou avec des amis. De plus les congruences sont utilisées dans notre vie de tous les jours sans qu'on s'en rende compte (numéros de carte bancaire, de Sécurité Sociale, codage des livres, problèmes de calendreier, etc.) aussi en lisant ce texte vous deviendrez un citoyen et un consommateur plus avisé ! Tout est expliqué, reproductible à partir de 13 ans. Vous allez vous régaler !

Leseprobe

Livre numérique

© 2023 Dominique SOUDER

Tous droits réservés.

Editions BOD, format epub

Contact : [email protected]

ISBN : 9782322472079

Vous ne rencontrez plus abondamment le mot "congruences" dans les programmes de mathématiques de notre enseignement (primaire, et même secondaire) comme ce fut le cas dans le passé, mais ce n'est pas pour cela que c'est une notion mathématique difficile. La preuve avec quelques tours math&magiques qui les utilisent et qui sont l’objet de cet ouvrage.

SOMMAIRE

CONGRUENCES modulo 7 (on y verra 7 tours)

CONGRUENCES modulo 10 (pour 1 tour)

CONGRUENCES modulo 2 (pour 5 tours)

CONGRUENCES modulo 9 (pour 21 tours)

CONGRUENCES modulo 4 (pour 7 tours)

CONGRUENCES modulo 13 (pour 3 tours)

CONGRUENCES modulo 17 (pour 1 tour)

CONGRUENCES d'importance historique mais méconnues modulo 60, 105, 280, 70 et 97 (pour 5 tours)

Deux congruences de modulos différents dans un tour du quotidien

Ressources

Bibliographie

Imaginons un monde où n’existeraient que les nombres de 1 à 12, comme sur une horloge. Cela permet une curieuse arithmétique. Après 12, on retrouve 1, 2, 3 ...

Le 12 se confond avec le 0, le 13 avec le 1; le 14 avec le 2. On peut aussi bien dire qu'il est 13h ou 1h de l’après midi, qu’il est 14h ou 2h de l'après-midi. On dira que 13 modulo 12 est égal à 1, que 14 modulo 12 est égal à 2, ou encore que 12 est congru à 0 modulo 12, que 13 est congru à 1 modulo 12, que 14 est congru avec 2 modulo 12. Le terme « Modulo12 » est un mot qui signifie que l'on met en rang par 12.

Si on range les nombres par 7 on fera des congruences modulo 7, si on les range par 4 ce sera des congruences modulo 4.

On pourra faire des opérations modulo un nombre. Par exemple 7h après 7h il sera 14h soit 2h et on écrira que 7+7 vaut 2 modulo 12, ou encore 8h+9h soit 17h c’est aussi 5h donc 8+9 vaudra 5 modulo 12.

Plus généralement deux nombres a et b sont congrus modulo n quand leur différence (a-b) est un multiple de n. Ainsi 8 ou 15 sont congrus à 1 modulo 7 car les différences (8-1) qui vaut 7 et (15-1) qui vaut 14 soit 2 fois 7, sont des multiples de 7.

On dira aussi que deux entiers a et b sont congrus modulo n si le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n. Ainsi dans la division de 8 ou 15 par 7 le reste entier est le même soit 1 dans les deux cas. 

On fait des congruences dans la vie de tous les jours sans s’en rendre compte, et les magiciens réalisent des tours de magie les utilisant, sans le savoir. Les congruences modulo 9 qui sont les plus utilisées par les magiciens et sont à l’origine de nombreux tours de magie numérique.

CONGRUENCES modulo 7

Avant d’aborder de bien jolis tours de magie, faisons un peu de mathématiques…

Congruences modulo 7

Prenez un nombre entier positif. Enlevez-lui autant de fois 7 qu’il est possible jusqu’à obtenir un nombre de 1 à 7. Vous venez de faire une congruence modulo 7.

On peut observer que les nombres de 1 à 6 qu’on obtient sont les restes de la division entière par 7 de notre nombre de départ. Si le nombre est multiple de 7, en soustrayant 7 un certain nombre de fois on arrive à retomber à 7, on peut convenir ici de ne pas aller plus loin jusqu’au 0 (qui serait le reste nul de la division par 7 qui tomberait juste dans le cas d’un dividende multiple de 7).

On peut faire des opérations modulo 7 comme l’addition, la soustraction, la multiplication… Complétons le tableau suivant, c’est la multiplication par 3 :

Nombre n

1

2

3

4

5

6

7

Son triple (3×n)

Modulo 7

3

6

2

5

1

4

7

Faisons maintenant une soustraction, par exemple enlevons 2 aux nombres triples précédents mais en faisant bien attention de trouver un résultat entre 1 et 7 (donc : modulo 7) :

Nombre n

1

2

3

4

5

6

7

Son triple (3×n)

Modulo 7

3

6

2

5

1

4

7

(3n–2) modulo 7

1

4

7

3

6

2

5

Une expérience avec des cartes 

On prend les sept cartes de la famille carreau 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 classées dans cet ordre de haut en bas, faces cachées. On distribue alternativement les cartes une à une en deux tas, faces cachées et l’on obtient :

7

5

6

3

4

1

2

Posons l’un des deux tas sur l’autre. Selon les deux possibilités on obtient de bas en haut : soit 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, soit 2, 4, 6, 1, 3, 5, 7.

Distribuons ces sept cartes (faces cachées) en cercle sur la table, en respectant leur ordre depuis le haut du paquet, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Choisissons l’une de ces cartes, retournons-la pour voir sa valeur et comptons, dans le sens des aiguilles d’une montre, autant de sauts d’une carte à l’autre que cette valeur. On arrive sur une carte qu’on retourne, on regarde sa valeur, et on compte, dans le sens des aiguilles d’une montre, autant de sauts d’une carte à l’autre que cette valeur. On continue ainsi jusqu’à ce que six cartes soient retournées. Quelle est la dernière face encore cachée ?

Deux cas peuvent se présenter :

Si l’on a tiré pour commencer une valeur de 1 à 6, on s’aperçoit que l’on passe par toutes les valeurs entre 1 et 6, et que la dernière carte qui reste cachée est le 7.

Si l’on a tiré le 7 pour commencer, on va sur le 7 (on n’en bouge donc pas).

On peut expliquer ceci à partir du tableau de calcul du triple modulo 7 (où le nombre 7 correspond au zéro modulo 7). Passer sur le cycle d’une case à la suivante dans le sens des aiguilles d’une montre c’est ajouter 2 modulo 7 à la valeur de départ. Si votre case de départ vaut « n », en vous déplaçant de n cases vous augmentez de 2×n modulo 7 la valeur de départ. Vous allez arriver sur une case d’arrivée valant : n+2n, soit 3n. On peut trouver la valeur de la case d’arrivée à partir de la valeur de la case de départ en utilisant le tableau de calcul du triple modulo 7.

En partant du 1 les six valeurs qu’on obtient successivement sont 1, 3, 2, 6, 4, 5. Si on continuait ensuite ce serait 1. Si on part du 2 la succession est 2, 6, 4, 5, 1, 3. De même pour toute valeur, entre 1 et 6, prise comme départ, on obtient les six valeurs de 1 à 6 et jamais le 7.

En partant du 7, après 7 sauts on revient sur le 7.

D’où l’idée du tour de magie suivant :

Le 7 de carreau

Déroulement

Le magicien prend les sept cartes de la famille carreau 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 classées dans cet ordre de haut en bas, faces cachées. Il distribue alternativement les cartes une à une en deux tas, faces cachées et demande au spectateur de mettre l’un des petits paquets sur l’autre, selon son choix. Ensuite il distribue en cercle dans l’ordre inverse des aiguilles d’une montre les sept cartes.

Le magicien pose sur la table un papier plié contenant une prédiction écrite (il a écrit 7 de carreau avant l’arrivée du spectateur).

Le spectateur est invité à choisir et retourner une carte :

S’il s’agit d’une valeur de 1 à 6, le magicien explique qu’il faut compter, dans le sens des aiguilles d’une montre, autant de sauts d’une carte à l’autre que cette valeur. On arrive sur une carte qu’on retourne, on regarde sa valeur, et on compte, dans le sens des aiguilles d’une montre, autant de sauts d’une carte à l’autre que cette nouvelle valeur. On continue ainsi jusqu’à ce que six cartes soient retournées.

S’il s’agit du 7 de carreau le magicien dévoile sa prédiction : le tour est terminé, et vite réussi !

Quelle est la dernière carte encore face cachée ? C’est celle que le magicien a prédit sur son papier, qu’il retourne maintenant : le 7 de carreau.

Variante

Le magicien peut recommencer le tour en disant que les cartes vont être davantage mélangées au départ.

Cette fois-ci on fera successivement une distribution en deux tas, avec reconstitution du paquet par le spectateur selon son choix du tas du dessous ou du dessus, puis une autre distribution et reconstitution après choix. Le tour continue selon le modèle précédent.

Pouvez expliquer pourquoi il réussit là encore ?

Mais pourquoi serait-il dangereux pour le magicien de faire trois distributions-reconstitutions successives ?

Voyez la solution en fin de chapitre…

Dans le tour de magie suivant, de même type mais à la présentation plus élaborée, il sera question encore, sans en avoir l’air, de congruences modulo 7 et d’opérations modulo 7…

L’unique parmi les 7

Votre équipe de handball vient de gagner un tournoi. Vous êtes bien sûr tous les 7 joueurs très forts, mais pour faire la fête après la victoire c’est vous le meilleur ! Vous allez  le prouver, et en profiter pour laisser le sort désigner, parmi vous, l’homme du match, celui de la finale...

Déroulement

Vous, le magicien, avez préparé 7 cartons ou papiers de la taille de cartes à jouer, numérotés de 1 à 7. Vous proposez d’écrire en plus sur chaque carton le nom d’un des garçons de l’équipe, et montrez l’exemple en écrivant le vôtre sur le carton numéro 1. Ensuite vous passez le crayon aux autres.

Les cartons sont rassemblés dans l’ordre croissant, faces cachées, le 1 en haut du paquet, le 7 en-dessous.

Le magicien distribue de gauche à droite les cartes, une à une, alternativement, en deux piles. On  pose, au choix d’un des présents, l’une des piles sur l’autre, et un joueur volontaire coupe le paquet et complète la coupe. Le magicien distribue alors les 7 cartons en cercle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, faces cachées. Il place au milieu du cercle un papier blanc sur lequel rien n’est écrit des deux côtés, comme tout le monde peut le vérifier.

Il demande au capitaine de l’équipe de choisir une carte, de la retourner en la laissant à sa place.

On regarde le numéro. On compte ce nombre de cartes, en comptant 1 sur la carte retournée à l’instant, mais maintenant dans le sens des aiguilles d’une montre, et on retourne la carte sur laquelle on arrive. On regarde son numéro, on compte ce nombre de cartes en comptant 1 sur elle au départ, et on continue ainsi de carte en carte, jusqu’à ce que toutes les cartes soient retournées sauf une (on compte sur toutes les cartes, même retournées).

Le magicien fait remarquer que c’est toujours la dernière carte qui est la plus importante : c’est elle qui donnera le nom du meilleur de l’équipe ! Il pourra aussi faire remarquer qu’il est assez extraordinaire tout au long du tour de ne pas retomber sur un carton déjà retourné…

Le dernier carton est retourné : c’est le numéro 1, celui où est écrit le nom du magicien, le vôtre ! Ce n’est pas fini ! Le magicien demande un briquet, prend le papier blanc, le tient au dessus de la flamme (attention de ne pas tout faire brûler) : des mots apparaissent sur le papier : « le 1 est unique, c’est le meilleur d’entre nous ! ». Vous le numéro 1, vous triomphez, avec votre modestie habituelle…

Explication

Réglons tout de suite une question : sur le papier blanc, vous avez écrit au préalable le texte magique avec un stylo effaceur (le 1 est unique, c’est le meilleur d’entre nous !). Cela marche très bien, ça ne se voit pas, et ça remplace le jus de citron, l’encre sympathique du passé.

Le principe de base du tour est que, quel que soit le point de départ sur le cercle, sauf le 1, le circuit des cartes laissera le 1 à l’écart : toutes les cartes seront retournées avant lui. Mais si le capitaine choisit de retourner au départ le carton qui se révèle être le vôtre, le numéro 1, arrêtez tout de suite le tour, en enchaînant avec le message secret sur le papier.

Le mélange des cartons au départ amène les numéros à se succéder sur le cercle, dans le sens des aiguilles d’une montre, selon un ordre qui est le suivant : 1-3-5-7-2-4-6.

Vous savez que quand on a une barrière rectiligne, le nombre d’intervalles vaut 1 de moins que le nombre de piquets. Ici on retourne un carton de valeur « n »,  le comptage de 1 à n démarre dessus (on dit « 1 » sur le retourné), donc le nombre d’intervalles pour arriver à la nouvelle position est seulement (n-1), mais la longueur de l’intervalle entre deux valeurs  successives est le nombre 2.

Nombre n

1

2

3

4

5

6

7

Son triple (3×n)

modulo 7

3

6

2

5

1

4

7

(3n−2) modulo 7

1

4

7

3

6

2

5

Si on retourne un 2 qu’arrive-t-il ensuite ? Suivez, en vous aidant du tableau… Du 2 on va au 4, puis du 4 on va au 3, etc. On obtient les retournements 2-4-3-7-5-6- et ensuite on passerait de nouveau par 2 : on ne passera jamais par le 1.

Si on retourne un 3 la succession est 3-7-5-6-2-4- et de nouveau 3 : toujours pas de 1 dans la progression.

On a six valeurs en cycle, on peut choisir comme départ n’importe laquelle, on finira par les parcourir toutes les six mais on laissera de côté le 1 toujours, et donc le dernier carton, pas encore retourné, sera le 1. La seule façon d’obtenir le 1 c’est de le choisir au départ.

Remarque

Pour faire le tour, attention à bien prendre, dans des sens différents, la distribution en cercle des 7 cartes au début, et le comptage vers les cartes retournées ensuite.

Voici un tour  proche de ce dernier, mais dans une présentation très différente…

Saturne, l'unique maître du temps…

Saturne est un dieu terrible qui veut toujours rester le seul maître et qui est même prêt pour cela à manger ses enfants...

Dans le monde de Saturne il n'y a pas douze heures mais sept sur les horloges. Les heures se succèdent ainsi, en cercle comme chez nous, à partir de la position la plus haute, mais selon l'ordre chiffré suivant : 1-3-5-7-2-4-6, toutefois les aiguilles tournent dans le sens horaire habituel.

Dans notre Moyen Age terrestre il y avait un fou du Roi qui était chargé de le divertir. Sur Saturne il y a un fou de Dieu, qui, par peur, s'applique dans toutes les occasions à flatter son maître et à glorifier le seul nombre qui compte : le 1.

Déroulement

Le magicien se présente comme ce fou du Dieu Saturne, chargé de célébrer la gloire de son maître. Voici le jeu qu'il propose à tout spectateur sujet saturnien, en insistant sur le fait qu'il va lui prouver que Saturne est, comme le nombre 1,  l'alpha et l'oméga de tout ce qui compte…

Choisir une certaine heure sur l'horloge saturnienne, poser dessus un jeton.

Compter à partir de cette heure choisie, et dans le sens des aiguilles d'une montre, le nombre choisi en commençant par compter 1 sur l'endroit où l'on vient de poser le jeton.

Par exemple si on démarre de la position "5" on compte 1 sur le 5, 2 sur le 7, 3 sur le 2, quatre sur le 4, et 5 sur le 6.

On place un jeton sur la position horaire où l'on vient d'arriver, et on continue à partir d'elle ainsi,  en utilisant la valeur d'arrivée. Dans l'exemple on place un deuxième jeton sur le "6", on redémarre de ce "6" en comptant 1 sur le 6, 2 sur le 1, 3 sur le 3, 4 sur le 5, 5 sur le 7, 6 sur le 2 où l'on arrive et place un troisième jeton.

On continue ainsi jusqu'à ce que six jetons aient été placés et qu'il ne reste qu'une seule position horaire (sur les sept) sans jeton.

Que l'on ait choisi au départ n'importe quel nombre de 2 à 7 c'est toujours sur le 1 qu'on arrivera à la fin, aussi le magicien/fou pourra s'extasier avec obséquiosité sur le fait que Saturne restera toujours le dernier car il est le maître du temps pour toujours, et l'unique Dieu qui compte, comme le nombre 1 d'où découlent tous les autres.

Si le spectateur a choisi de démarrer avec le 1, le jeu s'arrête de suite, le magicien/fou sortant de sa poche un papier sur lequel est écrit "Saturne est unique, c'est le grand 1, celui qui génère tout, et celui qui survit à tout !", vous voyez votre esprit a été influencé et c'est à ce 1 que vous avez tout de suite pensé !

Explication

Vous savez que quand on a une barrière rectiligne, le nombre d’intervalles vaut 1 de moins que le nombre de piquets. Ici on choisit au départ une heure de valeur « n »,  le comptage de 1 à n démarre dessus (on dit « 1 » sur le nombre de départ), donc le nombre d’intervalles pour arriver à la nouvelle position est seulement (n-1), mais la longueur de l’intervalle entre deux valeurs  successives est le nombre 2.

Nombre n

1

2

3

4

5

6

7

Son triple (3×n)

    modulo 7

3

6

2

5

1

4

7

(3n–2) modulo 7

1

4

7

3

6

2

5

Si on démarre sur un 2 qu’arrive-t-il ensuite ? Suivez, en vous aidant du tableau…Du 2 on va au 4, puis du 4 on va au 3, etc. On obtient les successions 2-4-3-7-5-6- et ensuite on passerait de nouveau par  2 : on ne passera jamais  par le 1. Si on retourne un 3 la succession est 3-7-5-6-2-4- et de nouveau 3 : toujours pas de 1 dans la progression.

On a six valeurs en cycle (les nombres de 2 à 7), on peut choisir comme départ n’importe laquelle, on finira par les parcourir toutes les six successivement mais on laissera de côté le 1 toujours, et donc le dernier nombre, sur lequel il n'y aura pas de jeton de passage, sera le 1.

La seule façon d’obtenir le 1 c’est de le choisir au départ.

Voici maintenant deux tours très différents qui ont un rapport avec le célèbre Blaise Pascal, notre grand philosophe, écrivain (« Les pensées ») et scientifique, qui fut inventeur et constructeur de la première machine à calculer en 1642, « la Pascaline ».

Les pyramides de Pascal

Matériel