Tours de magie, systèmes de numération de bases 3 ou 4 ou négatives. E-Book

Dominique Souder

• Herausgeber: Books on Demand
• Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
• Serie: Collection Dominique Souder : Les références en magie mathématique
• Sprache: Französisch

Seitenzahl: 129

Veröffentlichungsjahr: 2023

Beschreibung

Dans ce tome 4 consacré aux systèmes de numération de bases 3 ou 4 ou négatives, vous verrez qu'au lieu d'utiliser notre système décimal habituel utilisant les dix chiffres de 0 à 9, l'on peut écrire tous les nombres avec seulement les trois chiffres 0, 1 et 2 (ce sera une numération de base trois) ou avec les quatre chiffres 0, 1, 2, et 3 (ce sera une numération de base quatre). On explorera ensuite deux bases négatives : négabinaire et négaternaire. Et ceci vous permettra de réaliser des effets merveilleux et magiques pour vous amuser en famille ou avec des amis. Tout est expliqué, reproductible à partir de 13 ans. Vous allez vous régaler !

Leseprobe

© 2023 Dominique SOUDER. Tous droits réservés.

Editions BOD, format epub

Contact : [email protected]

ISBN : 9782322459001

Tours de magie liés aux systèmes de numération de bases trois ou quatre, et bases négatives…

Si vous avez déjà lu le fichier «Tours numériques de magie basés sur les puissances de 2 et le système binaire» ce que vous avez sous les yeux maintenant vous sera plus facile à comprendre, mais il n’est pas indispensable d’avoir fait cette lecture avant.

Au lieu d’utiliser notre numération décimale habituelle utilisant les dix chiffres de 0 à 9, il est possible d’écrire les nombres avec seulement les trois chiffres 0, 1, 2 (ce sera une numération de base trois) ou avec les quatre chiffres 0, 1, 2, 3 (ce sera une numération de base quatre).

Ensuite nous envisagerons le cas des bases négatives, où un entier N se décompose en somme de puissances d’un nombre négatif.

SOMMAIRE

Tours utilisant la base de trois

Tour n° 1: Bleu-blanc-rouge…

Tour n° 2: Les trois tas

Tour n° 3: Les trois tas, la bonne carte au bon endroit

Tour n° 4: Double prédiction en base trois

Tour n° 5: Le spectateur manipule

Tour n° 6:Par cœur!

Tour n° 6 bis:Les prénoms

Tour n° 7: La physique des frottements

Tours utilisant la base quatre

Tour n° 8 :Les couleurs du Soudan…

Le tour de magie

Tour n° 9: Le magicien et son fils

Tour n° 10:Association d’images…

Tour n° 11: Le magicien aux 32 cartes

Tour n° 12:Carte blanche au mathématicien

Tours utilisant des bases négatives

Base négaternaire

Tour n° 13: Les conditions extrêmes du désert

Base négabinaire

Tour n° 14: Le saut à l’élastique

Annexe

Cinq cartes négaternaires

Sept cartes négabinaires

Ressources et bibliographie

Tours utilisant la base de trois

Tour n° 1: Bleu-blanc-rouge

Matériel

Utiliser les 4 cartons représentés ci-dessous.

Cartes A et B

Cartes C et D

Déroulement

Le magicien demande au spectateur de choisir mentalement un entier compris entre 1 et 80.

Le magicien dispose des quatre cartes suivantes, qu’il va présenter au spectateur l’une après l’autre…

Pour chaque carte le magicien demande au spectateur de lui dire:

Soit «bleu» si le nombre choisi figure sur la carte et est écrit en bleu.

Soit «rouge» si le nombre choisi figure sur la carte et est écrit en rouge.

Soit «blanc» si le nombre choisi n’est pas écrit sur la carte (il est écrit en blanc sur fond blanc, c’est pour cela qu’on ne le voit pas!).

Le magicien, à l’issue des quatre indications de couleurs peut révéler quel nombre a été choisi.

Comment expliquer la réussite de ce tour?

Explication

Pour tous les nombres de 1 à 80, nous avons cherché à les décomposer en une somme de nombres choisis parmiceux-ci : 1, 3, 9, 27. Attention on avait le droit de prendre deux fois un même nombre (mais pas plus de deux fois). On s’est aperçu que cette décomposition se fait de façon unique.

En présentant de gauche à droite des colonnes disant nos besoins ou non d’utiliser le nombre 27, puis le nombre 9, puis le 3, puis le 1,on a construit le tableau ci-dessous :

Nombre

Décom-

position

Nb

de 27

Nb

 de 9

Nb

de 3

Nb

de 1

Nombre

Décom-

position

Nb

de 27

Nb

 de 9

Nb

de 3

Nb

de 1

1

1

0

0

0

1

20

2×9+2×1

0

2

0

2

2

2×1

0

0

0

2

21

2×9+3

0

2

1

0

3

3

0

0

1

0

22

2×9+3+1

0

2

1

1

4

3+1

0

0

1

1

23

2×9+3+2×1

0

2

1

2

5

3+2×1

0

0

1

2

24

2×9+2×3

0

2

2

0

6

2×3

0

0

2

0

25

2×9+2×3+1

0

2

2

1

7

2×3+1

0

0

2

1

26

2×9+2×3+2×1

0

2

2

2

8

2×3+2×1

0

0

2

2

27

27

1

0

0

0

9

9

0

1

0

0

28

27+1

1

0

0

1

10

9+1

0

1

0

1

29

27+2×1

1

0

0

2

11

9+2×1

0

1

0

2

30

27+3

1

0

1

0

12

9+3

0

1

1

0

31

27+3+1

1

0

1

1

13

9+3+1

0

1

1

1

32

27+3+2×1

1

0

1

2

14

9+3+2×1

0

1

1

2

33

27+2×3

1

0

2

0

15

9+2×3

0

1

2

0

34

27+2×3+1

1

0

2

1

16

9+2×3+1

0

1

2

1

35

27+2×3+2×1

1

0

2

2

17

9+2×3+2×1

0

1

2

2

36

27+9

1

1

0

0

18

2×9

0

2

0

0

37

27+9+1

1

1

0

1

19

2×9+1

0

2

0

1

38

27+9+2×1

1

1

0

2

Nb

Décom-

position

Nb

de 27

Nb

 de 9

Nb

de 3

Nb

de 1

Nb

Décom-

position

Nb

de 27

Nb

 de 9

Nb

de 3

Nb

de 1

39

27+9+3

1

1

1

0

60

2×27+2×3

2

0

2

0

40

27+9+3+1

1

1

1

1

61

2×27+2×3+1

2

0

2

1

41

27+9+3+2×1

1

1

1

2

62

2×27+2×3+2×1

2

0

2

2

42

27+9+2×3

1

1

2

0

63

2×27+9

2

1

0

0

43

27+9+2×3+1

1

1

2

1

64

2×27+9+1

2

1

0

1

44

27+9+2×3+2

1

1

2

2

65

2×27+9+2×1

2

1

0

2

45

27+2×9

1

2

0

0

66

2×27+9+3

2

1

1

0

46

27+2×9+1

1

2

0

1

67

2×27+9+3+1

2

1

1

1

47

27+2×9+2×1

1

2

0

2

68

2×27+9+3+2×1

2

1

1

2

48

27+2×9+3

1

2

1

0

69

2×27+9+2×3

2

1

2

0

49

27+2×9+3+1

1

2

1

1

70

2×27+9+2×3+1

2

1

2

1

50

27+2×9+3+2×1

1

2

1

2

71

2×27+9+2×3+2×1

2

1

2

2

51

27+2×9+2×3

1

2

2

0

72

2×27+2×9

2

2

0

0

52

27+2×9+2×3+1

1

2

2

1

73

2×27+2×9+1

2

2

0

1

53

27+2×9+2×3+2

1

2

2

2

74

2×27+2×9+2×1

2

2

0

2

54

2×27

2

0

0

0

75

2×27+2×9+3

2

2

1

0

55

2×27+1

2

0

0

1

76

2×27+2×9+3+1

2

2

1

1

56

2×27+2×1

2

0

0

2

77

2×27+2×9+1×3+2×1

2

2

1

2

57

2×27+3

2

0

1

0

78

2×27+2×9+2×3

2

2

2

0

58

2×27+3+1

2

0

1

1

79

2×27+2×9+2×3+1

2

2

2

1

59

2×27+3+2×1

2

0

1

2

80

2×27+2×9+2×3+2×1

2

2

2

2

Pour écrire les nombres de 1 à 80 ainsi «en base trois» il faut quatre chiffres choisis parmi les symboles 0, 1, 2 et ces quatre chiffres se repèrent dans les quatre colonnes, on les juxtapose pour former une écriture à quatre chiffres.

Exemples

neuf (0×27+1×9+0×3+0×1) s’écrit 0100,

treize (0×27+1×9+1×3+1×1) s’écrit 0111,

vingt (0×27+2×9+0×3+2×1) s’écrit 0202,

trente-deux (1×27+0×9+1×3+2×1) s’écrit 1012…

Les quatre cartes ci-dessus peuvent être repérées par leur premier nombre lisible en haut à gauche: 1, 3, 9 ou 27.

Comment les cartes ont-elles été constituées?

La carte 1 est constituée de tous les nombres de 1 à 80 qui s’écrivent avec 1 ou 2 comme chiffre à la position à l’extrême droite de l’écriture en base trois; les nombres en bleu correspondent à la présence du chiffre 1, les nombres en rouge à la présence du chiffre 2 (et l’absence de nombre correspond à un 0 dans l’écriture à cette position).

La carte 3 est constituée de tous les nombres de 1 à 80 qui s’écrivent avec 1 ou 2 comme chiffre en deuxième position à partir de la droitedans l’écriture en base trois; les nombres en bleu correspondent à la présence du chiffre 1, les nombres en rouge à la présence du chiffre 2 (et l’absence de nombre correspond à un 0 dans l’écriture à cette position).

La carte 9 est constituée de tous les nombres de 1 à 80 qui s’écrivent avec 1 ou 2 comme chiffre en troisième position à partir de la droitedans l’écriture en base trois; les nombres en bleu correspondent à la présence du chiffre 1, les nombres en rouge à la présence du chiffre 2 (et l’absence de nombre correspond à un 0 dans l’écriture à cette position).

La carte 27 est constituée de tous les nombres de 1 à 80 qui s’écrivent avec 1 ou 2 comme chiffre en quatrième position à partir de la droitedans l’écriture en base trois; les nombres en bleu correspondent à la présence du chiffre 1, les nombres en rouge à la présence du chiffre 2 (et l’absence de nombre correspond à un 0 dans l’écriture à cette position).

Comment le magicien calcule-t-il le nombre choisi?

Pour la carte «1» il retient «1» si on lui dit «bleu» et «2» si on lui dit «rouge».

Finalement il additionne les quatre nombres correspondant aux quatre réponses.

Exemple

Si les cartes présentées sont celles de 1, 3, 9, 27 dans cet ordre, les réponses successives «rouge-blanc-rouge-bleu» correspondent au nombre:

La connaissance des quatre couleurs successives correspond à la connaissance de l’écriture en base trois du nombre. Il reste à faire la traduction en base décimale pour connaître le nombre choisi.

Tour n° 2: Les trois tas

Déroulement

Voici un tour assez connu, mais dont les gens ignorent en général qu’il est basé sur l’utilisation de la numération en base trois. Le magicien propose à un spectateur de choisir une carte des yeux parmi un paquet de 27 cartes retournées visiblement. Les cartes sont battues. Le magicien dispose ensuite les cartes faces visibles en 3 tas, une pour le 1er tas, une pour le 2e tas, une pour le 3e tas, une pour le 1er tas, etc.

Le spectateur doit dire à la fin de l’opération dans quel tas se trouve sa carte. Le magicien ramasse les 3 tas faces cachées sur le dessus, en plaçant discrètement celui qui contient la carte choisie au milieu des 2 autres.

Une deuxième fois, il dispose les cartes en 3 tas, le spectateur lui indique celui où se trouve sa carte, le magicien le met au milieu des 2 autres, et une troisième fois l’opération est recommencée.

Finalement, le magicien trouve la carte choisie : c’est la 14e à partir du dessus, et c’est aussi celle du milieu du paquet.

L’explication vous sera donnée plus loin, patience…

Tour n° 3: Les trois tas, la bonne carte au bon endroit

Déroulement

Il s’agit d’un tour proche du précédent sauf que non seulement le magicien doit trouver la carte parmi les 27, mais qu’en plus il va se débrouiller pour qu’à la fin des opérations elle soit à une place dans le paquet fixée par le spectateur dès le début.

 Pour cela il va falloir que le magicien utilise un changement de la base dix vers la base trois. Le tableau précédent de conversion n’est pas à apprendre par cœur, et il est difficile d’en sortir une copie quand le magicien fait le tour, alors? Il va falloir faire la conversion de tête, et pour cela effectuer des divisions par 3 dont on reconnaîtra le quotient et le reste…

Exemple

On peut procéder ainsi, pour convertir par exemple le nombre qui s’écrit 17 en base décimale,vers la base trois :

Dans la conversion en base trois de tous les nombres de 0 à 26, il n’est nécessaire d’utiliser que trois chiffres: vous pouvez reprendre le tableau précédent et négliger le chiffre de gauche qui est toujours 0 pour ces nombres.

Nombre en base décimale

0

1

…

7

…

17

…

23

…

26

Nombre en base trois

000

001

021

122

212

222

Remarquons un exemple particulier de conversion qui nous servira: le nombre qui s’écrit en base décimale 13 s’écrit 111 en base trois.

Revenons à notre tour. Que doit faire le magicien pour réussir?

Exemple

Le spectateur veut que sa carte soit trouvée en 16ème position à partir du dessus. Le magicien doit calculer tout ce qui suit mentalement très vite. En 16ème position, la carte a donc 15 cartes au-dessus d’elle.

En base trois, 15 s’écrit 120.

Il faut considérer les chiffres dans l’ordre de droite à gauche, c’est à dire commencer par le chiffre des «unités» ici 0, pour finir par celui des «neuvaines», ici le 1. Le 0 doit être interprété ainsi : il faut mettre le 1er paquet de 9 contenant la carte sur le dessus des autres paquets (dos des cartes apparents). Le 2 doit être interprété : il faut mettre la 2e fois le paquet contenant la carte en dessous des autres. Le 1 doit conduire à mettre le paquet intéressant au milieu des autres lors de la 3e opération.

Vous pouvez retenir : le 0 en haut, le 1 au milieu, le 2 en bas. Vous essaierez de comprendre pourquoi il y a analogie entre la position d’un paquet de 9 et la position d’un chiffre dans l’écriture en base trois.

Vous pouvez vérifier maintenant dans le cas simple du tour précédent. En effet, la 14e position correspond à 13 cartes au-dessus d’elle, et 13 s’écrit 111 en base trois, ce qui invite à mettre le tas de 9 intéressant au milieu à chaque fois.

Ce tour permet donc la double réussite de retrouver la carte choisie parmi 27 et de la placer dans le paquet à la position (entre 1 et 27) demandée par le spectateur au début du tour.

Il peut être utile pour le magicien de s’habituer à compter les 27 cartes de 0 (celle du haut) à 26 (celle du bas) alors qu’un spectateur préférera compter les cartes de 1 à 27. Pour le magicien le nombre 0 c’est n’avoir aucune carte par-dessus, c’est donc être la carte du dessus.

Tour n° 4:Double prédiction en base trois

Voici un tour original que je vous ai concocté, et mieux qu’une double réussite finale sans annonce préalable, c’est cette fois-ci une double prédiction du magicien écrite au départ du tour qui va être réalisée…

Déroulement

Le mathémagicien donne à battre un jeu de 27 cartes à un spectateur. Il saisit ensuite une ardoise (ou un petit tableau pour feutres) où il écrit en ligne les 3lettres A, B, C. L’ardoise est maintenue verticale sur une table, les 3 lettres vont servir de repère pour la confection de 3piles de 9 cartes chacune, présentées sur la table faces visibles.

Le mathémagicien explique au spectateur qu’il lui faudra, à partir du jeu présenté faces cachées sur le dessus, distribuer une à une les cartes faces visibles en trois piles A, B, C, A, B, C, etc. Le magicien joint le geste à la parole pour être mieux compris. Il remet les cartes prises en exemple sur le jeu tout en repérant discrètement celle qui sera sur le dessus: mettons que ce soit le roi de cœur. Le mathémagicien prend alors un papier et annonce qu’il écrit en secret une double prédiction; le papier est plié et laissé au vu de tous sur la table. Le mathémagicien annonce qu’il ne touchera plus les cartes maintenant, qu’il se tiendra assis derrière l’ardoise, ne pouvant même pas voir les cartes sur la table. Seul le spectateur officiera…

Le mathémagicien invite le spectateur à choisir un nombre de 1 à 27, à lui dire sa valeur, et à regarder la carte située dans le paquet à la position correspondant à ce nombre, comptée à partir de 1 pour la carte du dessus du paquet présenté faces cachées. La carte choisie doit être laissée à sa place. Le mathémagicien fait remarquer qu’il a fait sa prédiction avant que le spectateur donne son nombre, puis il invite le spectateur à distribuer les cartes en 3 piles faces visibles comme exposé précédemment, A, B, C, etc.

Le mathémagicien demande au spectateur de prendre l’une des piles faces visibles puis lui indique dans quel ordre mettre les deux autres piles dessus. Le paquet doit alors être retourné, les dos des cartes venant sur le dessus. Le mathémagicien invite le spectateur à distribuer une deuxième fois les cartes en 3 piles faces visibles. Puis il donne les consignes d’ordre à respecter pour empiler l’un sur l’autre les trois petits paquets (faces visibles). Le paquet constitué est retourné, et le spectateur est invité à distribuer une troisième et dernière fois les cartes en 3 piles faces visibles. Le mathémagicien indique l’ordre d’empilement, puis le paquet est retourné.

Le mathémagicien invite le spectateur à prendre connaissance de la double prédiction:

la carte que vous aviez choisie est maintenant la première à partir du haut du paquet;

le nombre que vous aviez choisi conduit, en comptant toujours à partir du haut du paquet, au roi de cœur (à la carte qui était la première).

Le spectateur vérifie l’exactitude des deux prédictions. Applaudissements (j’espère)!

Explication de la première prédiction

Comment amener la carte choisie en haut du paquet?

Le tiers de 27 est 9, le tiers de 9 est 3, le tiers de 3 est 1. En trois choix successifs on peut déboucher sur une seule carte, à condition de bien partager les paquets qui rétrécissent (27, 9, 3), ceux où doit se trouver la carte choisie. Si l’on sait que celle-ci est dans une certaine pile de 9, mettons cette pile sous les deux autres piles (faces visibles), tournons le paquet: la pile des 9 possibles vient dessus.

En distribuant maintenant, 3 cartes parmi les 9 vont venir dans la pile A, 3 dans la B, 3 dans la C, précisément en dessous de ces piles directement en contact avec la table.