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- Herausgeber: Clube de Autores
- Kategorie: Sachliteratur, Reportagen, Biografien
- Sprache: Spanisch
Dispone de 157 ejercicios y multitud de ejemplos resueltos; puede solicitar gratuitamente las soluciones a todas las actividades en el email [email protected] Capacidades que se adquieren con este Manual: - Conocer y manejar los elementos matemáticos básicos, números enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos; unidades de medida, símbolos, elementos geométricos, etc. - Resolver problemas, utilizando adecuadamente los distintos números, las cuatro operaciones elementales, los procedimientos básicos de la proporcionalidad numérica (regla de tres, cálculo de porcentajes) y el lenguaje algebraico para resolver ecuaciones de primer grado. - Resolver problemas cotidianos sobre unidades monetarias y unidades de medida usuales y calcular longitudes, áreas, volúmenes y ángulos. - Elaborar e interpretar informaciones estadísticas más usuales e información gráfica sobre la vida cotidiana y fenómenos sencillos de probabilidad.
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Seitenzahl: 138
Veröffentlichungsjahr: 2025
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Competencia matemática N2
Autor: D. Miguel Ángel Ladrón de Guevara.
© EDITORIAL TUTOR FORMACIÓN
C/ San Millán, 7, bajo 10
26004 Logroño (La Rioja)
Tlf. 610687276
Email: [email protected]
Web: https://tutorformacion.esohttps://editorial.tutorformacion.es
Edición: 2024
ISBN: 978-84-19189-62-2
Depósito legal: LR 262-2024
Contenido
Utilización de los números para la resolución de problemas
Sistema posicional de numeración decimal
Números naturales
Representación y comparación de números naturales
Operaciones básicas con números naturales
Divisibilidad de números naturales
Múltiplos y divisores de un número. Criterios de divisibilidad.
Números primos. Números compuestos. Descomposición de números en factores primos.
El máximo común divisor de varios números
El mínimo común múltiplo de varios números
Aplicaciones de la divisibilidad y uso del m.c.d. y del m.c.m. en la resolución de problemas asociados a situaciones cotidianas
Números enteros
Representación y comparación de números enteros
Operaciones básicas con números enteros
Fracciones y decimales en entornos cotidianos
Unidades decimales
El valor de las cifras de un número decimal
Comparación y ordenación de decimales
Operaciones con números decimales
Significados y usos de las fracciones en la vida real
Fracciones equivalentes. Simplificación y amplificación de fracciones; identificación y obtención de fracciones equivalentes.
Reducción de fracciones a común denominador
Comparación de fracciones
Operaciones con fracciones
Porcentajes
Aumentos y disminuciones porcentuales
Magnitudes directamente proporcionales
Regla de tres simple directa
Regla de tres simple inversa
Repartos directamente proporcionales
Repartos inversamente proporcionales
Utilización de las medidas para la resolución de problemas
Unidades monetarias
Conversión de moneda
El Sistema Internacional de Unidades (S.I.)
El sistema métrico decimal
Medidas de longitud. El metro, múltiplos y submúltiplos.
Medidas de superficie. El metro cuadrado.
Medidas de volumen. El metro cúbico.
Aplicación de la geometría en la resolución de problemas
Elementos básicos de la geometría del plano
Rectas
Semirrectas
Segmentos
Ángulos
Tipos de ángulos
Medida de ángulos
Operaciones con ángulos
Coordenadas cartesianas
Polígonos
Definiciones
Notación
Clasificación
Perímetro y área
Área del triángulo
Área del cuadrado
Área del rectángulo
Área del romboide
Área del rombo
Área del trapecio
Área de un polígono regular de más de cuatro lados
La circunferencia y el círculo
Longitud de la circunferencia
Área del círculo
Cuerpos geométricos: prismas y pirámides.
Los prismas
Área del prisma
Volumen del prisma
La pirámide
Área de la pirámide
Volumen de la pirámide
Cuerpos de revolución: el cilindro, el cono y la esfera.
El cilindro
Área del cilindro
Volumen del cilindro
El cono
Área del cono
Volumen del cono
La esfera
Área de la esfera
Volumen de la esfera
Aplicación del álgebra en la resolución de problemas
Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico. Empleo de letras para simbolizar cantidades o números desconocidos.
Utilización de los símbolos para representar relaciones numéricas. Valor numérico de una expresión algebraica.
Suma de expresiones algebraicas
Multiplicación y división de expresiones algebraicas
Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Significado de las ecuaciones
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado
Aplicación del análisis de datos, la estadística y la probabilidad en la resolución de problemas.
Recogida de datos. Técnicas elementales de recogida de datos.
Tipos de medida
Constantes y variables
La recogida de datos en sí
Frecuencia absoluta, relativa, acumulada y tablas estadísticas
Frecuencia absoluta
Frecuencia Relativa
Frecuencia acumulada
Intervalos de clase
Representación gráfica de los datos. Formas de representar la información: tipos de gráficos estadísticos.
Diagrama de barras
Polígono de frecuencias
Histograma
Pictograma
Diagrama de sectores
Medidas de centralización: media aritmética, moda, mediana y rango.
Media aritmética ()
Moda
Mediana
Rango
Carácter aleatorio de algunas experiencias. Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación del grado de probabilidad de un suceso.
Espacio muestral y sucesos
Regla de Laplace
Utilización de los números para la resolución de problemas
Sistema posicional de numeración decimal
Representamos los números mediante unos símbolos o signos denominados cifras. Nuestro sistema actual de numeración utiliza diez cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Con sólo diez cifras podemos formar cualquier número de nuestro sistema de numeración; la cantidad de números naturales es infinita, porque siempre es posible agregar un número más. No existe un número que sea el mayor de todos.
Un Sistema de Numeración es un conjunto de normas que se emplean para escribir y expresar cualquier número. Nuestro Sistema de numeración tiene dos características fundamentales, es decimal y posicional:
Nuestro Sistema de Numeración es decimal porque utilizamos 10 cifras para construir todos los números. Por lo tanto 1 unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades del orden inmediato inferior y a la inversa 10 unidades de cualquier orden constituyen 1 unidad del orden inmediato superior. Cuando en un número no hay algún orden de unidades se completa su lugar con la cifra cero. Por ejemplo: 1 centena equivale a 10 decenas y 10 centenas equivalen a 1 millar.
1. Completa la siguiente tabla:
C.MI
D.MI.
U.MI.
C.M.
D.M.
U.M.
C.
D.
U.
21435679
147
315438700
1268
326570
29086
2. ¿Cuántas centenas de millar son 1 millón? ¿Y 6 millones?
Nuestro Sistema de Numeración es posicional, porque el valor que representa cada cifra depende de la posición que ocupa dentro del número. Por ejemplo, en el número 573.843 aparece dos veces la cifra «tres» y tiene distinto valor dependiendo de su posición dentro del número. Contando de derecha a izquierda, el primer tres representa las unidades y equivale, por lo tanto, a tres unidades. En cambio, el segundo tres representa las unidades de millar y equivale, por lo tanto, a tres mil unidades.
3. Indica el valor de posición de la cifra 7 en cada uno de los números del ejercicio anterior.
Para leer los números se realizarán las siguientes operaciones:
El número se divide en grupos de seis cifras, empezando de derecha a izquierda. Entre el primer grupo de seis cifras y el segundo se intercala el subíndice 1, entre el segundo grupo de seis cifras y el tercero se intercala el subíndice 2, entre el tercer grupo de seis cifras y el cuarto se intercala el subíndice 3 y así sucesivamente.
Cada grupo de seis cifras se divide, mediante un punto, en dos grupos de tres cifras.
Se comienza a leer el número por la izquierda leyendo la palabra trillón al llegar al subíndice 3, la palabra billón al llegar al subíndice 2, la palabra millón al llegar al subíndice 1 y la palabra mil cada vez que llegamos a un punto.
Por ejemplo, para leer el número 6538906537809742156784 lo primero que haremos será dividirlo en grupos de 6 cifras contando de derecha a izquierda:
3 24 4 7 8 3 9 63 5 2 9 0 2 72 6 5 6 3 8 11 9 4 6 1 2 6
A continuación, dividiremos cada grupo de 6 cifras, en dos grupos de 3 cifras cada uno, mediante un punto:
3 24 4 7 8. 3 9 63 5 2 9. 0 2 72 6 5 6. 3 8 11 9 4 6. 1 2 6
Ahora es fácil leer el número, sólo deberemos intercalar la palabra mil en todos los puntos y las palabras cuatrillón en el subíndice 4, trillón en el subíndice 3, billón en el subíndice 2 y millón en el subíndice 1:
«treinta y dos cuatrillones, cuatrocientos setenta y ocho mil trescientos noventa y seis trillones, quinientos veintinueve mil veintisiete billones, seiscientos cincuenta y seis mil trescientos ochenta y un millones, novecientos cuarenta y seis mil ciento veintiséis».
Otros ejemplos:
Los números hasta el 30 inclusive se escriben con letras en una sola palabra y a partir del 31 en dos palabras. Por ejemplo: diecisiete, veintiuno, veintidós, veintinueve, treinta y uno, cuarenta y nueve...
4. Escribe los números:
Ocho millones trescientos cuatro mil seis.
Setenta y dos millones cuatrocientos veinte mil ochenta y siete.
Cinco billones setecientos veinte mil seiscientos treinta millones ochocientos cincuenta y cuatro mil setecientos ochenta y cuatro.
5. Haz las divisiones en grupos de tres cifras y lee los siguientes números:
765893468936526
8465487687
8768
4683638653866786538536
27
76
Números naturales
Representación y comparación de números naturales
Los números naturales aparecieron cuando el hombre tuvo la necesidad de ordenar conjuntos y saber la cantidad de elementos que los conformaban.
Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto.
Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra ℕ para representar el conjunto de los números naturales. No existe un número natural que sea más grande que todos los demás; como no terminan nunca, decimos que ℕ es un conjunto infinito. Tomaremos el conjunto de los naturales o ℕ a partir del 0, pues este número representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío.
En su función de representar cantidades, existen unos números naturales que representan más que otros. Decimos entonces que hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden. Para representar que un número es mayor que otro usaremos el símbolo “mayor que”, “>”, de la siguiente manera: ubicamos el número mayor al lado abierto del símbolo >, el menor lo ubicamos al otro lado. Tomemos como ejemplo el 4 y el 6. Sabemos que el 6 representa una mayor cantidad de elementos que el 4. Debemos escribir por lo tanto 6 > 4. Esta expresión debe ser leída como “seis es mayor que cuatro”. También usamos el símbolo “<”, que es leído como “menor que”. Podemos entonces representar la relación 4 < 6, que debe ser leída como “cuatro es menor que seis”.
6. Ordena los siguientes números de menor a mayor con el símbolo correspondiente:
34, 65, 8, 35, 9, 67, 95, 17
Podemos representar los números naturales mediante una recta numérica:
7. Representa en una recta los siguientes números naturales: 2, 7, 4, 12, 8, 15.
Operaciones básicas con números naturales
La suma y la resta
En un museo, los datos de visitas de hoy son: 1096 mujeres y 789 hombres. ¿Cuántas personas ha habido en total hoy? ¿En cuántas unidades supera el número de mujeres al de hombres?
Para hallar el total se realiza una suma:
Sumandos Suma
1885 personas ha habido hoy en total.
Para hallar el valor de una parte se realiza una resta:
Minuendo Sustraendo Diferencia
El número de mujeres supera en 307 al de hombres.
8. Completa el término que falta en cada caso:
9. Me mandaron comprar chocolate, galletas y vino. El chocolate cuesta 8 €. Las galletas cuestan 17 € y el vino 5 €. Me dieron un billete de 20 € y otro de 5 € para pagar, ¿cuánto dinero me falta?
10. Pepito fue a la feria con 25 € y Antonio tenía 8 € menos que Pepito. ¿Cuántos euros tenían entre los dos?
La multiplicación y la división
En el museo, han entregado 3 paquetes con 5655 postales cada uno, para las personas que acudan a visitarlo. ¿Cuántas postales le corresponde a cada visitante?
Para hallar el número total de postales, se realiza una multiplicación:
Factores Producto
Para hallar la cantidad de postales que le corresponde a cada persona se realiza una división:
Dividendo Divisor Cociente
11. Completa la tabla:
Factor
Factor
Producto
23
67
75
225
45
180
12. Completa la tabla:
Dividendo
Divisor
Cociente
900
36
1587
23
89
6586
13. El corazón late 70 veces por minuto aproximadamente. ¿Cuántos latidos dará en media hora? ¿Y en una hora? ¿Y durante un día?
14. Un camión tiene que cubrir una distancia de 510 Km en 8 horas. Si durante las 2 primeras horas marcha a 54 Km/h, ¿a qué velocidad por hora debe ir durante el tiempo que le queda?
Divisibilidad de números naturales
Múltiplos y divisores de un número. Criterios de divisibilidad.
Múltiplos de un número
Calculamos ordenadamente los múltiplos de 7:
7 x 1, 7 x 2, 7 x 3, 7 x 4, 7 x 5, 7 x 6…, es decir, 7, 14, 21, 28, 35, 42…
Un número es múltiplo de otro cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número natural.
Para obtener los múltiplos de un número se multiplica ese número por los números naturales.
Divisores de un número
Un número es divisor de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta.
15. Escribe los 5 primeros múltiplos de 6.
16. Comprueba si 524 es múltiplo de 7.
17. Escribe tres números mayores que 40 que tengan 9 por divisor.
Criterios de divisibilidad
Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en cifra par.
Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.
Un número es divisible por 10 si acaba en 0
Un número es divisible por 3 si al sumar sus cifras da como resultado un múltiplo de 3:
Un número es divisible por 11:
Sumamos separadamente las cifras que ocupan los lugares pares y los impares.
Hallamos la diferencia entre las dos sumas anteriores.
Si el resultado es 0 o múltiplo de 11, entonces el número será divisible por 11.
Por ejemplo, con el 72479:
18. Sin hacer las divisiones, comprueba si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 5, 10 y 11
9847354
3520
763902
Números primos. Números compuestos. Descomposición de números en factores primos.
Calculamos todos los divisores de 13:
Los divisores de 13 son solo el 1 y el 13
Se dice que un número es primo cuando tiene solamente dos divisores: el 1 y el mismo número.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41…
Calculamos ahora todos los divisores de 24:
Los divisores de 24 son el 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Se dice que un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores, es decir, aparte del 1 y de sí mismo, otros divisores.
19. Escribe todos los números primos comprendidos entre 60 y 80.
Descomposición de números en factores primos
Para entender las potencias que aparecen en este epígrafe es necesario primero estudiar el epígrafe “Potencias” dentro de “Operaciones básicas de números enteros”.
Los números 2, 3 y 5 son los factores primos de 180; se dice que 22 · 32 · 5 es la descomposición de 180 en factores primos.
La descomposición de un número en factores primos es la expresión del número como un producto de factores primos.
Para descomponer un número en factores primos:
Se divide el número por un número primo, comenzando por el 2 (primer número primo), y si no se puede por los siguientes: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Se divide el cociente obtenido por el mismo número primo, y si no se puede, con el siguiente que se pueda; se va repitiendo el procedimiento.
Se termina cuando el último cociente es 1.
El número es igual al producto de los factores primos por los que se ha ido dividiendo; hay que tener en cuenta, que si, por ejemplo, el factor primo 5 está repetido 3 veces no se pone 5 · 5 · 5, sino 5
3
Pongamos un ejemplo:
234002
117002
58502
29253
9753
3255
655
13 13
1
20. Descompón en factores primos los siguientes números:
2520
294
1300
484
1125
El máximo común divisor de varios números
Se quiere fabricar un rompecabezas de 30 cm de largo por 18 cm de ancho con piezas cuadradas iguales de modo que:
No sobre ni falte ninguna pieza
El lado del rompecabezas sea el mayor posible.
Para cumplir la primera condición, la longitud del lado de la pieza debe ser un divisor común de las medidas de longitud del largo y del ancho.
Calculamos los divisores comunes a 30 y 18:
Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Los divisores comunes a 30 y 18 son: 1, 2, 3 y 6.
Por tanto, se puede completar el rompecabezas utilizando piezas cuadradas cuyos lados midan: 1 cm, 2 cm, 3 cm o 6 cm.
Para que la pieza sea lo mayor posible (condición 2), su lado será de 6 cm.
Se dice que 6 es el máximo común divisor de 30 y 18.
El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Abreviadamente suele indicarse así: m.c.d.
Cálculo del máximo común divisor
Se descompone cada número como producto de sus factores primos. En el ejemplo anterior:
302182
153 93
55 33
1 1
El máximo común divisor es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente con que aparezcan en la descomposición de cada número:
El 2 está común con el mismo exponente; se coge.
El 3 está común, pero hay que cogerlos con el menor exponente: 3.
El 5 no está común; no se coge.
El mínimo común múltiplo de varios números
Miguel colecciona monedas. Las puede colocar en lotes de 12 y no le sobra ninguna. Lo mismo le ocurre si las coloca en montones de 18. ¿Cuál es el menor número de monedas que puede tener Miguel?
Si puede colocarlas en montones de 12 monedas y forma montones completos, sin que quede ninguna moneda sin colocar, el número de monedas debe ser un múltiplo de 12. Como puede colocarlas del mismo modo en montones de 18 monedas, el número de monedas deber ser un múltiplo de 18. Luego el número de monedas debe ser múltiplo, a la vez (múltiplo común), de 12 y de 18:
