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- Herausgeber: Simone Malacrida
- Kategorie: Wissenschaft und neue Technologien
- Sprache: Französisch
Dans ce livre, des exercices sont réalisés sur les sujets mathématiques suivants :
intégrales définies et indéfinies
intégrales incorrectes
applications géométriques et théorèmes remarquables du calcul intégral.
Des premières indications théoriques sont également présentées pour faire comprendre l'exécution des exercices.
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Veröffentlichungsjahr: 2023
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Table des Matières
"Exercices de calcul intégral"
INTRODUCTION
INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES
INTÉGRALES IMPROPRES
"Exercices de calcul intégral"
SIMONE MALACRIDA
Dans ce livre, des exercices sont réalisés sur les sujets mathématiques suivants :
intégrales définies et indéfinies
intégrales incorrectes
applications géométriques et théorèmes remarquables du calcul intégral.
Des premières indications théoriques sont également présentées pour faire comprendre l'exécution des exercices.
Simone Malacrida (1977)
Ingénieur et écrivain, il a travaillé sur la recherche, la finance, la politique énergétique et les installations industrielles.
INDEX ANALYTIQUE
––––––––
INTRODUCTION
––––––––
I – DÉFINI ET INDÉFINI INTEGRALES
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
Exercice 10
Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16
Exercice 17
Exercice 18
Exercice 19
Exercice 20
Exercice 21
Exercice 22
Exercice 23
Exercice 24
Exercice 25
Exercice 26
Exercice 27
Exercice 28
Exercice 29
Exercice 30
Exercice 31
Exercice 32
Exercice 33
Exercice 34
Exercice 35
Exercice 36
Exercice 37
Exercice 38
Exercice 39
Exercice 40
Exercice 41
Exercice 42
Exercice 43
Exercice 44
Exercice 45
Exercice 46
Exercice 47
Exercice 48
Exercice 49
Exercice 50
Exercice 51
Exercice 52
––––––––
II – INTÉGRALES IMPROPRES
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
Exercice 10
Exercice 11
Exercice 12
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16
INTRODUCTION
Dans ce cahier d'exercices, quelques exemples de calculs relatifs aux intégrales définies, indéfinies et impropres sont effectués.
De plus, les principaux théorèmes utilisés en calcul intégral sont présentés, ainsi que les remarquables applications géométriques de ce secteur de l'analyse mathématique.
Le calcul intégral est une étape importante dans l'analyse mathématique : la recherche de primitives et la convergence d'intégrales impropres ont représenté non seulement un défi mathématique majeur, mais aussi une solution élégante à de nombreux problèmes physiques et applicatifs.
Afin de comprendre plus en détail ce qui est expliqué dans la résolution des exercices, le contexte théorique de référence est rappelé au début de chaque chapitre.
Ce qui est présenté dans ce cahier est généralement abordé au cours de la dernière année des lycées scientifiques et, surtout, dans le premier cours d'analyse mathématique proposé au niveau universitaire.
I
INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES
Considérant une fonction continue dans un intervalle fermé et borné [a,b], on peut définir deux points à l'intérieur de toute partition de l'intervalle donnée par la borne inférieure et la borne supérieure comme suit :
Les sommes intégrales inférieure et supérieure sont construites comme suit :
Nous définissons la quantité suivante comme une somme entière :
La limite de cette somme intégrale (si elle existe de manière finie) s'appelle l'intégrale de Riemann et est indiquée comme suit :
E représente la convergence entre la somme intégrale inférieure et supérieure.
La fonction est donc dite intégrable dans l'intervalle fermé [a,b].
Une condition suffisante d'intégrabilité est donnée par la continuité de la fonction sur un intervalle fermé et borné : une fonction uniformément continue est donc intégrable.
Une fonction est dite absolument intégrable si son module est intégrable (il va de soi qu'une fonction absolument intégrable est intégrable).
––––––––
L'intégrale de Riemann bénéficie des propriétés de linéarité, d'additivité et de monotonie .
Dans les formules nous avons :
De plus, deux théorèmes concernant la valeur absolue et la moyenne intégrale tiennent :
L'intégrale de Riemann proposée jusqu'à présent est appelée intégrale définie et c'est une fonctionnelle , c'est-à-dire qu'elle retourne une valeur numérique suite à une opération sur une fonction d'une variable réelle.
La signification géométrique de l'intégrale définie selon Riemann est facile à expliquer.
Rappelant que la somme intégrale supérieure est l'aire des rectangles circonscrits à la région du plan délimitée par le graphe de la fonction et l'axe des abscisses et que la somme intégrale inférieure est plutôt l'aire des rectangles inscrits dans cette région , la valeur définie intégrale calcule exactement l'aire sous-tendue entre le graphe de la fonction et l'axe des abscisses dans l'intervalle fermé et borné [a,b].
Ce résultat est également valable pour les régions planes comprises entre deux courbes, où l'intégrale définie de la différence des fonctions représente la mesure de l'aire de cette région plane (toujours en gardant à l'esprit que les aires géométriques sont positives et donc nous considérons toujours les valeurs absolues des différences).
Une autre application géométrique de l'intégrale définie est donnée par le calcul du volume et de la surface d'un solide de rotation . En fait, dans l'intervalle fermé et borné [a,b], ce qui suit est vrai :
––––––––
Au lieu de cela, nous appelons fonction intégrale (ou intégrale de Torricelli) une fonction donnée par une intégrale définie dans laquelle un extremum d'intégration est fixe tandis que l'autre est variable.
Le théorème fondamental du calcul intégral stipule que, étant donné une fonction intégrable f(x) et une fonction intégrale construite dessus :
Alors la fonction intégrale est continue dans [a,b]. De plus, si f(x) est continue, la fonction intégrale est dérivable dans le domaine ouvert (a,b) et vaut :
