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- Herausgeber: Clube de Autores
- Kategorie: Sachliteratur, Reportagen, Biografien
- Sprache: Spanisch
Dispone de 154 ejercicios y multitud de ejemplos resueltos; puede solicitar gratuitamente las soluciones a todas las actividades en el email [email protected] Capacidades que se adquieren con este Manual: - Realizar cálculos con distintos tipos de números (racionales e irracionales) y unidades del sistema métrico decimal para resolver problemas relacionados con la vida diaria, comprendiendo su significado. - Resolver problemas empleando métodos algebraicos y operando con expresiones algebraicas, polinómicas y racionales así como con la proporcionalidad (directa e inversa) y los porcentajes (regla de tres simple y compuesta, intereses; etc.). - Resolver problemas mediante ecuaciones de primer y segundo grado, operar con matrices en el contexto de problemas profesionales y resolver problemas de longitudes, áreas y volúmenes utilizando modelos geométricos. - Representar gráficamente funciones matemáticas e interpretar gráficas en problemas relacionados con la vida cotidiana y fenómenos naturales y tecnológicos. - Elaborar e interpretar informaciones estadísticas y calcular parámetros estadísticos de uso corriente así como de probabilidad.
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Seitenzahl: 135
Veröffentlichungsjahr: 2025
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Ähnliche
Competencia matemática N3
Autor: D. Miguel Ángel Ladrón de Guevara.
© EDITORIAL TUTOR FORMACIÓN
C/ San Millán, 7, bajo 10
26004 Logroño (La Rioja)
Tlf. 610687276
Email: [email protected]
Web: https://editorial.tutorformacion.es y https://tutorformacion.es
Edición: agosto 2020
ISBN: 978-84-17943-71-4
Depósito legal: LR519 - 2020
Reservados todos los derechos de publicación en cualquier idioma.
Según el código penal vigente ninguna parte de este o cualquier otro libro puede ser reproducida, grabada en alguno de los sistemas de almacenamiento existentes o transmitida por cualquier procedimiento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cualquier otro, sin autorización previa y por escrito de D. Miguel Ángel Ladrón Jiménez; su contenido está protegido por la ley vigente que establece penas de prisión y/o multas a quienes intencionadamente reprodujeren o plagiaren, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica.
Contenido
Utilización de los números para la resolución de problemas
Números naturales
Descomposición de un número natural en factores primos
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Números enteros
Representación de los números enteros
Operaciones con números enteros
Uso del paréntesis y de las reglas de prioridad de las operaciones
Fracciones y decimales en entornos cotidianos
Significados y usos de las fracciones. Representación gráfica de las fracciones.
Ordenación de fracciones
Reducción de fracciones a común denominador
Comparación de fracciones
Operaciones con fracciones
Potencias y raíces cuadradas
Operaciones con potencias
Cálculo de potencias de base 10
Operaciones con raíces cuadradas
La proporcionalidad
Cálculo de proporcionalidad directa. Resolución de problemas.
Cálculo de la proporcionalidad inversa. Resolución de problemas.
Reglas de tres compuestas
Cálculo del tanto por ciento y tanto por uno
Utilización de los porcentajes en la economía. Interés simple. Descuentos. Impuestos (IVA).
Interés simple
Descuentos
IVA
Utilización de las medidas para la resolución de problemas
El sistema métrico decimal
Medidas de longitud. El metro, múltiplos y submúltiplos.
Medidas de superficie. El metro cuadrado.
Medidas de volumen. El metro cúbico.
Medidas de capacidad y masa. El litro y el Kilogramo.
Relación entre medidas de capacidad y volumen. Comparación y utilización del litro y del decímetro cúbico.
Ángulos
Tipos de ángulos
Medida de ángulos
Operaciones con ángulos
Aplicación de la Geometría en la resolución de problemas
Triángulos rectángulos
Significado y cálculo del teorema de Pitágoras
Aplicación del teorema de Pitágoras a la resolución de problemas
Polígonos
Propiedades y relaciones
Clasificación de polígonos
Significado y cálculo de perímetros y áreas
La circunferencia y el círculo
Cálculo de la longitud de la circunferencia aplicado a la resolución de problemas
Cálculo del área del círculo aplicado a la resolución de problemas
Cuerpos geométricos: prismas y pirámides.
Los prismas
La pirámide
Cuerpos geométricos: cilindros, conos y esferas.
El cilindro
El cono
La esfera
Aplicación del Álgebra en la resolución de problemas
Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico. Empleo de letras para simbolizar cantidades o números desconocidos.
Utilización de los símbolos para representar relaciones numéricas. Valor numérico de una expresión algebraica.
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Solución de un sistema
Métodos de resolución de sistemas
Representación gráfica
Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones
Aplicación de la Estadística y la probabilidad en la resolución de problemas
Organización en tablas de los datos recogidos en una experiencia
Cálculo de la Frecuencia absoluta
Cálculo de la Frecuencia relativa
Cálculo de la Frecuencia acumulada
Intervalos de clase
Expresión de los datos en diagramas: de barras y sectores.
Medidas de centralización: media, mediana y moda.
Parámetros de dispersión: rango y desviación típica.
Experimentos aleatorios
Comportamiento del azar
Realización de experimentos con dados y monedas. Cálculo de la frecuencia y probabilidad de un suceso.
Cálculo de probabilidades
Utilización de los números para la resolución de problemas
Números naturales
A lo largo de este manual no aparecen conceptos y operaciones muy básicas, se suponen sabidas; pero puede consultar nuestro manual “Competencia matemática N2, ISBN: 978-84-16482-43-6”.
Los números naturales aparecieron cuando el hombre tuvo la necesidad de ordenar conjuntos y saber la cantidad de elementos que los conformaban.
Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto.
Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra ℕ para representar el conjunto de los números naturales. No existe un número natural que sea más grande que todos los demás; como no terminan nunca, decimos que ℕ es un conjunto infinito. Tomaremos el conjunto de los naturales o ℕ a partir del 0, pues este número representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío.
En su función de representar cantidades, existen unos números naturales que representan más que otros. Decimos entonces que hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden. Para representar que un número es mayor que otro usaremos el símbolo “mayor que”, “>”, de la siguiente manera: ubicamos el número mayor al lado abierto del símbolo >, el menor lo ubicamos al otro lado. Tomemos como ejemplo el 4 y el 6. Sabemos que el 6 representa una mayor cantidad de elementos que el 4. Debemos escribir por lo tanto 6 > 4. Esta expresión debe ser leída como “seis es mayor que cuatro”. También usamos el símbolo “<”, que es leído como “menor que”. Podemos entonces representar la relación 4 < 6, que debe ser leída como “cuatro es menor que seis”.
Descomposición de un número natural en factores primos
Calculamos todos los divisores de 13:
Los divisores de 13 son solo el 1 y el 13
Se dice que un número es primo cuando tiene solamente dos divisores: el 1 y el mismo número.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41…
Calculamos ahora todos los divisores de 24:
Los divisores de 24 son el 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Se dice que un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores, es decir, aparte del 1 y de sí mismo, otros divisores.
1. Escribe todos los números primos comprendidos entre 60 y 80.
Descomposición de números en factores primos
Para entender las potencias que aparecen en este epígrafe es necesario primero estudiar el epígrafe “Potencias” dentro de “Operaciones básicas de números enteros”.
Los números 2, 3 y 5 son los factores primos de 180; se dice que 22 · 32 · 5 es la descomposición de 180 en factores primos.
La descomposición de un número en factores primos es la expresión del número como un producto de factores primos.
Para descomponer un número en factores primos:
Se divide el número por un número primo, comenzando por el 2 (primer número primo), y si no se puede por los siguientes: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Se divide el cociente obtenido por el mismo número primo, y si no se puede, con el siguiente que se pueda; se va repitiendo el procedimiento.
Se termina cuando el último cociente es 1.
El número es igual al producto de los factores primos por los que se ha ido dividiendo; hay que tener en cuenta, que si, por ejemplo, el factor primo 5 está repetido 3 veces no se pone 5 · 5 · 5, sino 5
3
Pongamos un ejemplo:
23400 2
11700 2
5850 2
2925 3
975 3
325 5
65 5
13 13
1
2. Descompón en factores primos los siguientes números:
2520
294
1300
484
1125
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
El máximo común divisor de varios números
Se quiere fabricar un rompecabezas de 30 cm de largo por 18 cm de ancho con piezas cuadradas iguales de modo que:
No sobre ni falte ninguna pieza
El lado del rompecabezas sea el mayor posible.
Para cumplir la primera condición, la longitud del lado de la pieza debe ser un divisor común de las medidas de longitud del largo y del ancho.
Calculamos los divisores comunes a 30 y 18:
Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Los divisores comunes a 30 y 18 son: 1, 2, 3 y 6.
Por tanto, se puede completar el rompecabezas utilizando piezas cuadradas cuyos lados midan: 1 cm, 2 cm, 3 cm o 6 cm.
Para que la pieza sea lo mayor posible (condición 2), su lado será de 6 cm.
Se dice que 6 es el máximo común divisor de 30 y 18.
El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Abreviadamente suele indicarse así: m.c.d.
Cálculo del máximo común divisor
Se descompone cada número como producto de sus factores primos. En el ejemplo anterior:
30 2 18 2
15 3 9 3
5 5 3 3
1 1
El máximo común divisor es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente con que aparezcan en la descomposición de cada número:
El 2 está común con el mismo exponente; se coge.
El 3 está común, pero hay que cogerlos con el menor exponente: 3.
El 5 no está común; no se coge.
El mínimo común múltiplo de varios números
Miguel colecciona monedas. Las puede colocar en lotes de 12 y no le sobra ninguna. Lo mismo le ocurre si las coloca en montones de 18. ¿Cuál es el menor número de monedas que puede tener Miguel?
Si puede colocarlas en montones de 12 monedas y forma montones completos, sin que quede ninguna moneda sin colocar, el número de monedas debe ser un múltiplo de 12. Como puede colocarlas del mismo modo en montones de 18 monedas, el número de monedas deber ser un múltiplo de 18. Luego el número de monedas debe ser múltiplo, a la vez (múltiplo común), de 12 y de 18: Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ...
Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...
Los múltiplos comunes son: 36, 72, 108, ...
Decimos que 36 es el menor de los múltiplos comunes o el mínimo común múltiplo de 12 y 18; así, 36 es el menor número de monedas que puede tener.
El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes distinto de cero. Se designa abreviadamente como m.c.m.
Cálculo del mínimo común múltiplo
Se descompone cada número como producto de sus factores primos. En el ejemplo anterior:
12 2 18 2
6 2 9 3
3 3 3 3
1 1
El mínimo común múltiplo es igual al producto de los factores primos no comunes y de los comunes elevados al mayor exponente con que aparezcan en la descomposición de cada número:
El 2 está común, pero hay que cogerlo con el mayor exponente: 2
2
El 3 está común, pero hay que cogerlo con el mayor exponente: 3
2
No hay ninguno no común, pero de haberlo habido también se cogería.
3. Halla el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes números:
24, 38, 150
66, 120
15, 35, 40, 60
Aplicaciones de la divisibilidad y uso del m.c.d. y del m.c.m. en la resolución de problemas asociados a situaciones cotidianas
Comprender bien lo que significa máximo común divisor y mínimo común múltiplo, ayuda a resolver situaciones que frecuentemente se presentan en la vida real. Pongamos ejemplos.
Una habitación rectangular de 7, 8 m de largo por 3 m de ancho se quiere solar con baldosas cuadradas lo más grandes posible. ¿cuánto deberá medir el lado de cada una si al colocarlas no se quiere romper ninguna?
780 2 300 2
390 2 150 2
195 3 75 3
65 5 25 5
13 13 5 5
1 1
El lado de cada baldosa cuadrada deberá medir 60 cm.
Calcular la capacidad del menor recipiente que puede llenarse con el líquido de un número exacto de garrafas de 4 litros, 3 litros o 6 litros.
4 2 3 3 6 2
2 2 1 3 3
1 1
La capacidad del recipiente de menor capacidad es de 12 litros.
4. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible.
a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
b) ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?
5. Un viajante va a La Rioja cada 18 días, otro cada 15 días y un tercero va cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Alfaro (La Rioja) los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en La Rioja?
Números enteros
En la vida real se presentan situaciones que no se pueden expresar completamente con los números naturales. Por ejemplo, si nos dicen que en una ciudad la temperatura ambiente es de 20º, nos dan una información incompleta, ya que sus habitantes pueden estar disfrutando de una temperatura agradable o pasando mucho frío.
En estos casos hay que precisar más. Para ello se necesita:
- Un número natural.
- Un signo, positivo (+) o negativo (-), que exprese la situación respecto a un origen.
Así, +20º indica que la temperatura es de 20º sobre cero, y -20º indica que la temperatura es de 20º bajo cero.
Vemos que es necesario ampliar los números naturales. La ampliación se hace del siguiente modo:
Los números naturales se consideran como enteros positivos. Los precede el signo más (+).
Por cada entero positivo se añade el correspondiente entero negativo. Los precede el signo menos (-).
Los números enteros son los enteros positivos, los enteros negativos y el cero.
Representación de los números enteros
Los números enteros se pueden representar en la recta numérica. Para ello se procede así:
Ordenación de los números enteros
En esta recta numérica están representados el 0, varios números enteros positivos y varios números enteros negativos.
Observamos:
Cualquier entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.
El 0 es menor que cualquier positivo y mayor que cualquier negativo.
5 > 3
-3 > -5
6. Ordena de mayor a menor los siguientes números y después represéntalos en la recta numérica: -7, +4, 0, -2, +10, -4, +6.
Operaciones con números enteros
Suma de números enteros
Respecto a esto, en este manual vamos a ser eminentemente prácticos, sin teorizar sobre los desplazamientos necesarios en la recta numérica para sumar números enteros positivos y negativos. Así:
Para sumar números del mismo signo, se pone ese signo y se suman sus valores absolutos:
Para sumar números de distinto signo, se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto y se restan:
Para sumar varios números enteros, es mejor primero sumar los positivos, luego sumar los negativos y operar con los dos últimos números que quedan:
-4 + 7 – 6 – 9 – 3 + 8 -10
Opero con los dos resultados: 15 – 32 (como son de distinto signo pongo el del mayor (-) y los resto): -17.
7. Realiza las siguientes operaciones:
-17 + 13
28 – 19
35 – 79
-12 – 24 + 28 – 75 + 23 + 5 – 34
100 – 34 – 67 – 89 + 25 + 78 – 53 – 30
Multiplicación y división de números enteros
Para calcular el producto de dos números enteros:
Se halla el producto de sus valores absolutos.
Al resultado obtenido se añade el signo más (+) si ambos tienen el mismo signo, y el signo menos (-) si tienen distinto signo.
Si hay varios números, “se arrastra” el signo:
8. Calcula:
-3 · (-9)
7 · (-8)
4 · 5
-3 · 7 · (-5) · (-4)
2 · 8 · (-6)
Para calcular la división de dos números enteros:
Se halla el cociente de sus valores absolutos.
Al resultado obtenido se añade el signo más (+) si ambos tienen el mismo signo, y el signo menos (-) si tienen distinto signo.
Si hay varios números, “se arrastra” el signo:
9. Calcula:
-18 : (-6)
24 : 8
36 : (-4) : 3
-200 : (-5) : (-2) : 4 : (-5)
Uso del paréntesis y de las reglas de prioridad de las operaciones
Operaciones con paréntesis en la suma de números enteros
Las operaciones en las que figuren paréntesis pueden hacerse de dos maneras:
